Fundamentos Teóricos e
Metodológicos sobre ensinoaprendizagem de Números e
Medidas
FSA-2011
Antonio Carlos Brolezzi
[email protected]
Aula 2
Os números naturais
FSA-2011
Antonio Carlos Brolezzi
[email protected]
Números naturais
Um pouco de história
Com o nosso sistema de numeração,
usando apenas dez símbolos diferentes,
podemos escrever qualquer número,
enquanto que, nas numerações egípcia
e romana, para se escrever números
muito grandes seria preciso criar novos
símbolos: um para o dez mil, outro para
o dez milhões, outro para o cem
milhões etc.
Matemática do Egito Antigo
Fontes principais:
• inscrições em monumentos;
• inscrições em objetos;
• papiros.
Escrita principal: hieróglifos
Período imperial: 2800 - 715 aC
Região: litoral mediterrâneo da
África
Numerais egípcios em parede de um templo em Luxor
Numerais hieróglifos egípcios
em inscrição em uma tumba real
123.440 cabeças de gado
223.400 mulas
232.413 cabras
243.688 búfalos (?)
Gravura em um cetro real egípcio:
120.000 prisioneiros
1.422.000 cabras capturadas (!)
Decifrador dos hieróglifos egípcios:
Jean-François Champollion
(1790-1832 França)
Professor de História
Começou a estudar os hieróglifos com 17 anos
Pedra de Roseta
Chave para a decifração
dos hieróglifos egípcios
Um mesmo texto em três
escritas diferentes: hieróglifa
em cima, demótica no meio e
grega em baixo.
Datada de 196 aC
Encontrada por um soldado de
Napoleão em 1799
Entregue pela França ao Museu
Britânico em 1801
Champolion a traduziu em 1820,
após 12 anos de pesquisa
Numerais egípcios
Numerais egípcios
Numerais egípcios
Numerais egípcios
Numerais egípcios
Utilizavam
base 10
mas sem
valor
posicional
Numerais romanos
Derivados dos
numerais
etruscos (antigo
povo que
habitava a
Itália), são
usados até hoje!
Utilizavam base 10.
A posição era
importante mas
em outro sentido
(princípio
subtrativo)
Numerais
romanos:
observe que o “4”
no relógio não
segue o
princípio
subtrativo, para
tornar a leitura
mais clara.
Os sistemas de numeração egípcio e
romano apresentavam ainda uma
outra dificuldade:
era muito trabalhoso efetuar cálculos
usando esses números.
Para fazer contas com numerais
romanos, era necessário usar o ábaco.
O ábaco
romano era de
mesa, como
um tabuleiro.
Numerais
babilônios
Os babilônios
usavam base
sexagesimal
(base 60,
como nos
minutos e
segundos)
Tinham valor
posicional, pois
sua escrita em
tabletas de
barro era
muito
complexa.
Matemática dos Povos da Mesopotâmia
Fontes principais:
tabletas de barro cozido
Escrita: cuneiforme
Período: 3500 - 561 aC
Região: entre os rios
Tigres e Eufrates
(Oriente Médio)
Principal cidade-estado:
Babilônia
A tradução das
tabletas cuneiformes
teve início em 1870,
quando se descobriu
uma inscrição
trilingüe nas
encostas do monte
Behistun,
narrando a vitória do
rei Dario sobre
Cambises.
Tableta com numerais
cuneiformes babilônios
de 2800 aC
Somente em
1934 Otto
Neugebauer
decifrou,
interpretou e
publicou as
tabletas
matemáticas
babilônias.
Essa ausência de ligação linear com
a Matemática das civilizações préhelênicas contribuiu para a criação
da idéia de que a Matemática é uma
ciência que praticamente nasceu
pronta e sistematizada, como
aparece nas obras gregas.
Essas dificuldades foram superadas
pelos hindus, que foram os criadores
do nosso sistema de numeração.
Essas dificuldades foram superadas
pelos hindus, que foram os criadores
do nosso sistema de numeração.
Os hindus souberam reunir três
características que já apareciam em
outros sistemas numéricos da
Antiguidade:
o sistema de numeração hindu é decimal
(o egípcio, o romano e o chinês
também o eram);
o sistema de numeração hindu é
posicional (o babilônio também era);
o sistema de numeração hindu tem o
zero, isto é, um símbolo para o nada.
Estas três características, reunidas,
tornaram o sistema de numeração
hindu o mais prático de todos. Não
é sem motivo que hoje ele é usado
quase no mundo todo
Estamos tão acostumados com
sistema de numeração decimal que
ele nos parece incrivelmente
simples. No entanto, desde os
tempos em que os homens fizeram
suas primeiras contagens, até o
aparecimento do sistema de
numeração hindu, decorreram
milhares de anos.
É surpreendente que diversas
civilizações da Antiguidade, como as
dos egípcios, babilônios e gregos,
capazes de realizações
maravilhosas, não tenham chegado
a um sistema de numeração tão
funcional quanto o dos hindus.
Por que tanta dificuldade?
Uma possível resposta a esta
pergunta nos leva ao
Zero,
isto é,
a um símbolo para o nada.
Estamos tão familiarizados com o
zero que não sentimos a menor
dificuldade em raciocinar com ele.
As crianças o dominam com
facilidade. Entretanto, nem sempre
foi assim. Nossos antepassados
custaram muito para inventar o
zero e, mesmo depois de nascido, o
símbolo para o nada demorou a ser
aceito.
Depois do zero ter sido inventado para
resolver um problema do sistema
posicional de numeração, ocorreu uma
coisa interessante:
o zero passou a ser tratado como
qualquer um dos outros nove símbolos.
O zero passou a ser tão número
quanto os outros. O nada tornou-se
número também, sendo introduzido na
seqüência:
0, 1, 2, 3, etc...
Valor posicional
nosso sistema é posicional;
51 é diferente de 15;
o romano é posicional, mas não no
mesmo sentido do nosso sistema.
É diferente escrever VI ou IV.
o egípcio não é posicional