Vivências: Revista Eletrônica de Extensão da URI
ISSN 1809-1636
OSCILAÇÃO E VELOCIDADE DO PÊNDULO SIMPLES NA MODELAGEM
MATEMÁTICA
Swing speed and the pendulum simple mathematical modeling
Janine da Rosa ALBARELLO1
Kelly Pereira DUARTE2
Vanessa FAORO3
RESUMO
Em diversos problemas práticos de mecânica, as equações matemáticas que descrevem o seu
comportamento são equações diferenciais ordinárias não lineares. Naturalmente, quando são
consideradas pequenas amplitudes das oscilações envolvidas, estas equações podem ser
aproximadas por outras que são lineares. Este artigo discute um exemplo desse caso, o Pêndulo
Simples, objetivando o estudo e a simulação de oscilações de graus (ângulos) e velocidade com
relação ao tempo. Trata-se da modelagem matemática, da simulação computacional e da validação
experimental de um sistema mecânico do tipo Pêndulo Simples. O objetivo é descrever a sequência
de passos utilizados na formulação matemática do Pêndulo Simples. Utilizou-se o software
MatLab/Simulink instalado em um microcomputador para as simulações computacionais. Os
parâmetros utilizados para modelar o movimento do pêndulo são determinados por meio da balança,
da plataforma de teste (software utilizado pelo professor no dia do experimento) e são consideradas
as constantes, servindo para a validação experimental realizada. Como resultados, teve-se a
identificação experimental, as modificações do modelo para a sua simulação computacional (com
atrito) e a sua validação. Conclui-se que o presente trabalho pode servir didaticamente como
exemplo das etapas fundamentais de modelagem matemática de problemas reais nas mais diversas
áreas do conhecimento.
Palavras chave: Pêndulo Simples, Modelagem Matemática, Simulação Computacional, Validação
Experimental.
ABSTRACT
In many practical problems in mechanics, mathematical equations that describe their behavior are
nonlinear ordinary differential equations. Of course, when considering small amplitude oscillations
involved, these equations can be approximated by other than linear. This paper discusses an
example of this case, the Simple Pendulum, aiming to study and simulation of fluctuations in
degrees (angles) and velocity with respect to time. This is the mathematical modeling, computer
simulation and experimental validation of a mechanical system of type Simple Pendulum. The aim
is to describe the sequence of steps used in the mathematical formulation of the Simple Pendulum.
We used the MatLab/Simulink installed on a personal computer for the computer simulations. The
parameters used to model the motion of the pendulum is determined by the balance of the test
platform (software used by the teacher on the day of the experiment) and are considered constants,
serving for the experimental validation performed. As a result, there was the experimental
identification, the modifications of the model to its computer simulation (friction) and their
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validation. We conclude that this study can serve as a didactic example of the fundamental steps of
mathematical modeling of real problems in several areas of knowledge.
Keywords: Simple Pendulum, Mathematical Modeling, Computer Simulation, Experimental
Validation
Símbologia
M
L
Io
G
Massa do pêndulo
Comprimento do pêndulo
Momento de inércia do pêndulo
Gravidade
[kg]
[m]
[m2kg]
[m/s2 ]
1. INTRODUÇÃO
O estudo da natureza das oscilações e a descoberta da periodicidade do movimento pendular
foi desenvolvido por Galileu Galilei. O movimento de um Pêndulo Simples envolve basicamente
uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objeto leva para
percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o
movimento pendular é periódico). Em mecânica, um Pêndulo Simples é um instrumento ou uma
montagem que consiste num objeto que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa
movimentos alternados em torno da posição central, chamada posição de equilíbrio. O Pêndulo é
muito utilizado em estudos da força peso e do movimento oscilatório. Atualmente busca-se utilizar
o Pêndulo Simples para determinar a aceleração da gravidade da Terra. Apesar de todos os cuidados
adotados, há habilidades das interferências de erros nos resultados que podem até torná-los sem
valor.
A atualização do Pêndulo Simples permite identificar a possibilidade de observar a influência
das fases da Lua sobre a variação do campo gravitacional da Terra e, consequentemente, nas marés
terrestres. O atual artigo apresenta um estudo teórico sobre um Pêndulo Simples, seguido de
equações que representam o modelo matemático, levando em consideração um Pêndulo sem atrito e
por fim representação através de simulações e conclusões sobre o mesmo. Este trabalho tem por
objetivo não só aprofundar os conhecimentos sobre o modelo matemático em questão, como
também avaliar os resultados obtidos na prática em relação aos computacionais, comparando ambos
os gráficos. Como metas, pretende-se desenvolver o modelo matemático do Pêndulo Simples, bem
como a construção do diagrama de blocos no MatLab/Simulink para realização das simulações a
fim de obter resultados aceitáveis aos do experimento real.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
O modelo matemático foi apresentado a partir do estudo e busca em referenciais teóricos,
fazendo um levantamento e seleção do material encontrado. A partir do experimento, será obtida a
solução utilizando os ferramentais no laboratório em Panambi, com uma plataforma de teste
utilizada pelo professor, balança para medir o peso da massa e também uma fita métrica.
Posteriormente, foi realizada a simulação no MatLab/simulink, utilizando o conhecimento e
as dicas fornecidas durante as aulas, pelo professor e também pelos colegas, a partir dos comandos e
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o recurso computacional do MatLab/simulink.
2.1 Modelagem Matemática
O Pêndulo Simples é um sistema mecânico ideal constituído de uma partícula de massa m
suspensa e raio r, ligada por um fio de comprimento L a um ponto fixo. [4]
Quando o Pêndulo está em posição de equilíbrio, as duas forças que agem sobre a partícula, o
seu peso (m g) tensão aplicada pelo fio, se equilibram. Porém, se o Pêndulo for afastado de sua
posição de equilíbrio, de modo que a direção do fio faça um ângulo Ө com a vertical, o componente
do peso perpendicular ao fio, de intensidade (-m g sin  ) no sentido de restaurar o equilíbrio,
fazendo o Pêndulo oscilar com um movimento periódico T. Em uma primeira aproximação
(desprezando o efeito da resistência do ar e atrito) consideramos que as forças que atuam são: peso
P = m g e a tensão no fio, T [4]
(1)
 F = m g <==> m g + T = m a.
Decompondo segundo as direções normal e tangencial à trajetória tem-se:
- Direção normal ao movimento: T + P cos  = manormal.
- Direção tangencial ao movimento:
P sin  = matangencial
(2)
Figura1: Pêndulo Simples
A Figura 1 mostra o Pêndulo simples e as forças que atuam sobre a esfera de massa m, onde L
é o comprimento do fio,  é o ângulo formado entre a posição de equilíbrio e o ponto de máxima
extensão medida em radianos, x é a projeção do movimento da massa sobre o eixo horizontal, T é a
força de tração do fio, p é a força peso da esfera, Px= m.g.sen  e Py= m.g.cos  .
d 2s
Assim, a aceleração tangencial é a derivada segunda da posição, então substituindo atang = 2
dt
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na equação (2).
d 2s
(3)
.
dt 2
A esfera descreve um arco de circunferência de comprimento s ao realizar o seu movimento.
A posição em cada instante pode ser escrita em função do raio da trajetória, L, e da posição angular
.
s=L
(4)
sendo: L = L0 + r
da mesma forma, a aceleração tangencial pode ser expressa em função de L e 
- m.g.sin  = m
atang =
d 2s d 2
= 2 L
dt 2
dt
(5)
d 2
(6)
dt 2
Substituindo na equação (3)
d 2
- mg sin  - mL 2 = 0
(7)
dt
Dividindo a equação (7) por “- mL”
g
d 2
+
sin  = 0
(8)
L
dt 2
Considerando que o ângulo  é suficientemente pequeno, sin  ≈ 0 ( 50 <  < 100), a equação
anterior representa a equação de um Movimento Harmônico Simples.
d 2 + g  = 0
(9)
L
dt 2
A solução desta Equação Diferencial Ordinária (EDO) é dada pela equação (10):
 (t) = c1 ewi + c2 e- wi.
(10)
Aplicando as propriedades dos números de Euler na equação
(10),
 (t) = c1(cos wt + i sin wt) + c2(cos wt – i sin wt)
(11)
 (t) = (c1 + c2) cos wt + i(c1 – c2) sin wt
(12)
onde C1 = (c1 + c2) e C2 = i(c1 - c2). Logo:
 (t) = C1 cos wt + C2 sin wt
(13)
atang =
Considerando w =
 (t) = C1cos (
g
, temos finalmente que:
L
g
g
t) + C2sin (
t)
L
L
(14)
Complementado com as condições iniciais  (0) =  0 e
dada por:
g
t)
L
é o ângulo máximo que o Pêndulo atinge.
 (t) =  0 cos(
onde  0
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d
= 0, a solução da equação (14) é
dt
(15)
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 = amplitude do movimento no instante
 0= amplitude inicial do movimento (amplitude máxima)
g
= frequência angular do movimento,
L
t = instante do movimento oscilatório.
A equação (15) evidencia que o ângulo  é uma função periódica do tempo e que  varia
g
com freqüência natural fnat =
.
L
Então, o período da oscilação é:
L
.
(16)
T0 = 2 π
g
Sendo assim, uma função exclusiva do comprimento do Pêndulo e da aceleração da gravidade
no local. O conhecimento do período e do comprimento do Pêndulo permite calcular o valor da
aceleração da gravidade, na medida em que sejam válidas as aproximações assumidas na dedução
dessa equação.
No momento da realização do movimento oscilatório do pêndulo, há atrito, onde se opõe à
tendência de movimento do corpo sobre a superfície e é decorrente, entre outros fatores, da
existência de pequenas irregularidades das superfícies em contato. Para a implementação em
diagrama de blocos (Figura 3) no MatLab/Simulink usa-se a equação do atrito:
(17)
Onde TC representa o torque devido à característica de atrito Coulomb, TS torque de atrito
estático.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta etapa, foi abordada grande parte do processo, desde a experimentação no laboratório até
a pesagem da massa, medição de altura e regulagem de ângulo. Foi apresentado também o diagrama
de blocos feito a partir do MatLab/Simulink, sendo que o mesmo foi desenvolvido junto à
disciplina. A definição dos parâmetros utilizados na simulação foi exposta em uma tabela para a
melhor visualização dos dados, para posteriormente, ser apresentado o resultado dessa simulação e
a validação do experimento.
3.1 Diagrama de blocos
A construção do diagrama de blocos em que foi baseada através do MatLab/Simulink Library
Browser(Figura 4), onde foi baseada na equação Equação Diferencial Ordinária não linear, levando
em conta o atrito.
(17)
θ ''+ ßθ' /mL2 + g.sen( θ)/L=0
θ ''= - ßθ' /mL2 - g.sen( θ)/L
(18)
Sabendo que as condições iniciais:
θ (t=0)= θ0
θ(t=0)= θ0=0
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Figura 2: Diagrama de blocos do modelo matemático do pêndulo simples.
Para a construção foram utilizados dois integradores, pois a equação (17) é de segunda ordem,
através dos integradores, tem-se então o dTeta e Teta. Observou-se que esses estão sendo
multiplicados pelos seus respectivos coeficiente e funções, conforme a equação (18). O bloco To
workspace, serve para exportar dados do Simulink para o MatLab (área de comando).
O bloco torque de atrito está encapsulado em subsistemas e em variáveis, que descrevem a
força de atrito que está presente no problema, conforme a Figura 3:
Figura 3: Diagrama de blocos do modelo matemático do pêndulo simples.
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3.2 Definição dos parâmetros do sistema
Para adquirir os parâmetros, pega-se pelo menos duas amplitudes do gráfico gerado:
X1=85;
X2=77;
Sabe-se que o valor de delta é:
X1
(19)
ln
X2
Fazendo aproximação, chega-se:
ξ =1/(((2*pi)/delta)^2+1)^0.5
(20)
Sabendo que:
gravidade é: g=9.81;
massa=0.83 kg;
L=0.27 (comprimento);
θ = - 90;
Calcula-se então o valor de ß
ß=2*m*L^2*(g/L)^0.5*qsi
(21)
Descrição do parâmetro
Notação Valores
Massa do pêndulo
M
0.830 kg
Comprimento do pêndulo
L
0.27 m
Aceleração da gravidade
g
9.81 m/s2
B
0.007589N.s/
m
Coeficiente
amortecimento viscoso
de
Observações:
Determinada a partir da medição
com uma balança.
Medido com uma régua.
Tabela 1: Valores adotados para os parâmetros do modelo matemático do pêndulo simples.
3.3 Resultados de simulação computacional
Para a verificação dos resultados, foram gerados gráficos no MalLab, observando a oscilação
em relação ao tempo, graus, velocidade e comparando o gráfico experimental com o computacional
(através de dados coletados). Para a execução foi construído um M-File no MatlLab.
No carregamento desses dados, foi construído outro M-File, capaz de plotar gráficos,
visualizando o movimento oscilatório do Pêndulo. Com isso é possível observar o ângulo, o tempo,
a velocidade e também, comparar o gráfico gerado computacionalmente com a simulação
experimental.
A Figura 4 demonstra o movimento oscilatório do pêndulo em relação ao grau (-90) e ao
tempo (segundos). Percebeu-se que inicialmente o movimento é transitório, conforme aumenta o
tempo, diminui a inclinação do ângulo, até chegar a um determinado momento, que tanto o tempo
quanto o grau serão próximos de zero, entrando em um movimento permanente até sua parada, que
ocorre após 30 segundos.
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Figura 4: Simulação Computacional, θ= -90, com tempo de atraso.
A Figura 4, foi simulada computacionalmente com um pequeno tempo de atraso real entre:
0.15 e 0.16 segundos iniciais, como percebeu-se no círculo vermelho. Após identificar esse tempo
de atraso, observando exatamente os segundos de diferença de quando começou o movimento de
oscilação, foi gerado o gráfico sem o tempo de atraso, conforme a Figura 5, para a melhor
visualização do referido gráfico.
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Figura 5: Simulação Computacional, θ= -90, sem o tempo de atraso.
Para o movimento do pêndulo, passar de oscilatório para permanente, ocorreu uma força, em
que sua velocidade muda conforme o tempo (Figura 6):
Figura 6: Simulação Computacional, θ= -90, velocidade sem o tempo de atraso.
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3.4 Descrição da bancada experimental
Para o experimento realizado com o pêndulo simples, utilizou-se uma bancada experimental,
composta por:
→ um pêndulo composto por um corpo, de determinada massa, preso a uma barra de ferro, de
comprimento L;
→ um leitor de movimento que capta a oscilação do pêndulo ao decorrer do tempo;
→ um microcomputador onde esta está ligada e no qual são gravados os dados do movimento do
pêndulo, retirados pelo leitor;
→ o MatLab é software utilizado para se obter os dados e acoplá-los ao microcomputador,
podendo-se, assim, expressar estes dados através de gráficos ou tabelas.
Figura 7: Imagem da bancada experimental.
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Figura 8: Imagem do software.
3.5 Resultados de validação experimental
O gráfico gerado foi comparado computacional e experimentalmente (modelo físico).
Percebeu-se que a equação do modelo matemático correspondeu ao fenômeno do modelo físico,
conforme a Figura 9. Isso comprova a validação dos dados coletados na plataforma de teste,
simulação experimental, com a simulação computacionalmente, feita através da equação diferencial
ordinária não linear, atrito e condições iniciais.
Figura 9: θ= -90, comparação da simulação computacional com a experimental
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4. CONCLUSÃO
Através deste trabalho foram demonstradas as etapas de modelagem matemática de um
pêndulo simples, em que a partir da utilização de algumas leis e conceitos físicos e matemáticos, foi
possível desenvolver a equação que rege este sistema.
O processo no laboratório foi muito importante, não só para a construção e a experiência
prática do conhecimento, mas também para a integração e cooperação entre os colegas de
experimento.
Com a prática realizada e com a posterior simulação computacional, foi possível visualizar o
movimento oscilatório do pêndulo. Percebeu-se a semelhança entre os gráficos resultantes gerados
com os dados obtidos na prática e computacional. Assim foi possível analisar o comportamento do
sistema, e validar o experimento.
5. AGRADECIMENTOS
Aos financiadores UNIJUÍ pelo oferecimento da bolsa e sua estrutura, ao professor Dr
Antonio Carlos Valdiero, pela oportunidade de realizar os ensaios no laboratório de Engenharia
Mecânica do Campus Panambi e ao professor Dr Daniel Curvello de Mendonça Muller pela
orientação.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-oscilatorio.htm. Acesso em 24/07/2013.
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php. Acesso em 24/07/2013.
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pendulo/PenduloSimples_HTML.htm.
Acesso
em
24/07/2013.
http://www.ufsm.br/gef/MHS/mhs05.pdf. Acesso em 24/07/2012. Acesso em 24/07/2013.
http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/06/pendulo-simples-laboratorio-de-fisica.html.
Acesso em 25/07/2013.
http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Relatorio-Pendulo-Simples/355928.html.
Acesso
em
25/07/2013.
Monteiro, L. H. (2002). Sistemas Dinâmicos. São Paulo: Editora Livraria da Física.
Zill, D. G. (2003). Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. São Paulo: Editora
Pioneira Thomson Learning.
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