Universidade Castelo Branco
Escola de Formação de Professores
Licenciatura Plena
Fundamentos da Matemática – Trigonometria e Complexos
Professor Albino Rodrigues
Trabalho Avaliativo – A1 – 2014.1
Teorema de Pitágoras
1. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um
edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada
escorregar 4m para baixoo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?
escada
A) 4 m
B) 8 m
C) 9 m
D) 13 m
E) 15 m
Resolva este Problema.
Lista de Trigonometria – Medidas de Arcos e Ângulos - 2011
1. (PUC-MG)
MG) Na figura, o raio da circunferência mede r. A função f que expressa a medida da área do
triângulo de vértices A, B e C em função de r é:
a) f (r ) = 1 r 2
4
b) f (r ) = 1 r 2
3
c) f (r ) = 1 r 2
2
d) f (r ) = r 2
e) f (r ) = 2r 2
2. (UEPB) Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 16h44min.
16h44min
3. (UF-AM)
AM) Um setor circular de raio 5cm tem arco de comprimento 8cm. Calcule sua área em cm2.
4. (Unimontes-MG) Quando os ponteiros de um relógio marcam 1h50min, qual a medida do menor
ângulo central formado por eles?
5. (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instante, 1h15min. Admita que o ponteiro dos
minutos se movimente 36º. Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio.
relógio
6. (PUC–PR) Sendo O centro da circunferência de raio unitário calcule a área do
triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro,
diâmetro sabendo que α = 30º.
7. Expresse:
a) 45º em radianos
b) 5π rad em graus
c) 310º
10º em radianos
9
8. Numa circunferência de 32cm de diâmetro, marca-se
marca se um arco AB de 8cm de comprimento. Qual a
medida desse arco em radianos?
9. Expresse em graus e radianos a medida do arco que corresponde a 2 da medida da circunferência.
5
10. (UFOP-MG)
MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista
circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. (Use
(Us π = 3,14 ).
11. Encontre a medida do comprimento do arco AB, indicado na figura. (Use π = 3,14 ).
12. Quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante pára,, partindo da origem dos arcos, na
circunferência trigonométrica, percorrendo um arco de:
17π
a) 1810º?
b) 2350º?
c) -1200º?
d) 17
rad ?
8
13. Quantos centímetros percorre um corpo de descreve um arco de 600º numa circunferência
circunferên
de raio
10cm? (Use π = 3,14 ).
14. Determine o quadrante onde está a 1ª determinação positiva dos seguintes arcos:
a) -1640º
b) 2630º
c) 2487π rad
d) 1550º
e) 23π rad
f) -2165º
4
4
15. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujas medidas são dadas pela
expressão:
a) x = π + kπ, k ∈ Z
3
b) x = − π + kπ , k ∈ Z
8
2
c) x = 90º + k.90º , k ∈ Z
d) x = −120º + k.360º , k ∈ Z
16. (MACK-SP)
SP) O segmento AO descreve um ângulo de 30º em torno da origem, como indica a figura.
Adotando π = 3 , calcule a distância percorrida pelo ponto A.
17. (UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são
são tangentes em B e têm raios 1cm e
3cm.
Determine o comprimento da curva ABC.
18. (UNESP)) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como
mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1
radiano. Calcule o perímetro do “monstro” em cm.
19. (COL NAVAL) As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r = 0,5. O comprimento da
linha que as envolve é aproximadamente igual a:
a) 6,96
b) 7,96
c) 8,96
d) 9,96
e) 10,96
20. (UEL) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as medidas
dadas no esquema a seguir. As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que
q
transmite o movimento de uma roldana para outra. Calcule o comprimento dessa correia em centímetros.
centímetros
21. (UFF) A figura mostrada, representa duas circunferências C e C' de mesmo raio r. Se MN é o lado
comum de hexágonos regulares
es inscritos em C e C', calcule o perímetro da região sombreada.:
sombreada
22. (PUC-PR) Dois
ois diâmetros AB e CD são perpendiculares em um círculo de raio 1dm. Calcule a área
da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC em dm2.
Escolha 10 Questões e Resolva.
Resolva
Trigonometria no Triângulo Retângulo
1. Num triângulo retângulo, sabe-se que senα =
5
, α é um ângulo agudo e que a hipotenusa mede 39
13
cm. Calcule o perímetro do triângulo.
2. (Uftm 2012) Um pintor utiliza uma escada de 5 m de comprimento para pintar a área externa de uma
casa. Ao apoiar a escada, o pintor deixa uma das extremidades afastada y cm da parede e, assim, a outra
extremidade atinge uma altura x na parede.
Nessas condições, determine:
ˆ
a) a medida, em metros, indicada por y (figura 2), sabendo que senBˆ = 2senC.
b) a medida, em metros, indicada por h (figura 2), sabendo que a altura da parede é 6 m.
3. Calcule a altura de uma torre vista sob um ângulo de 60° por um observador com 1,80 m de altura que se
encontra a 10 m do centro da base dessa torre.
(Use 3 = 1,73)
H
60°
1,80 m
10 m
4. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um
topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois
pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de
60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o
ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura do rio?
a) 50 3 m
b) 75 3 m
c) 100 3 m
d) 150 3 m
e) 200 3 m
5. (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo),
na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente
Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,
desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da
camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do
balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada
com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b)1,9 km
c)3,1 km
d)3,7 km
e) 5,5 km
6. (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em
metros, a:
a) 500
b) 500 3
c) 1.000
d) 1.000 3
7. (UERJ) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60°
em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao
longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a uma altura de x metros,
exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lançamento.
Os valores de x e y são, respectivamente:
a) 90 e 90 3
b) 90 3 e 90
c) 450 e 450 3
d) 450 3 e 450
Escolha 3 Questões e Resolva.
Trigonometria – Relações Fundamentais
1. Considerando o < α < 90º calcule em cada caso os valores pedidos utilizando as informações dadas.
2
a) Se senα = , calcule cos α , tgα e sec α .
3
5
b) Se cos α = , calcule senα , tgα e sec α .
6
5
c) Se tgα = , calcule senα , cos α e sec α .
4
2 3
, calcule senα , cos α e tgα .
3
1
e) Se senα = , calcule cos α , tgα e sec α .
3
9
f) Se sec α = , calcule senα , cos α e tgα .
4
d) Se sec α =
2. Se sen18º =
5 −1
, calcule sen72º .
4
3. (PUC-RS) Se tgx = 2 , a expressão
a)
1
2
b)
1
3
c)
2
3
2 cos x
é igual a:
3senx
d)
5
3
e)
2 5
3
4. (F.Porto-Alegrense-RS) O valor numérico da expressão y =
a) 7
b)
1
2
5. Determine o valor exato de
c) 2
d)
sen50º
tg 25º
cos 20º
+ 2.
+
é:
cos 40º
cot g 65º 2 sen70º
7
2
e)
tg 60º −tg 30º
.
1 + tg 60º tg 30º
6. Sabendo que 9 senx + 3 5 cos x = 11 , com senx > 0 e cos x > 0 , calcule tgx .
Escolha 3 Questões e Resolva.
5
2
Lista de Trigonometria – Arcos e Ângulos
1. Complete a tabela.
GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS
0º
180º
30º
210º
45º
225º
60º
240º
90º
270º
120º
300º
135º
315º
150º
360º
2. Expresse em graus: a)
10π
rad
9
b)
11π
rad
8
c)
π
9
d)
rad
π
20
rad
e)
4π
rad
3
3. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
4. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de
π
12
radianos, que arco ponteiro
maior percorre?
5. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que
estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º.
6. (CEFET–MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um
relógio que está marcando 9h 30min?
7. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. Que horas o relógio estará marcando após o
ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º?
8. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas
dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira 72π .rad , uma engrenagem que
18π
compõe o velocímetro gira 2π .rad . Quando a roda gira
.rad , essa engrenagem gira quantos graus?
5
9. Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma
obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de arame
farpado devem ser comprados para cercar o terreno. Sabe-se que o
terreno tem a geometria da figura. O preço por metro de cerca é de R$
3,00. Quanto será gasto nessa cerca?
Dados:
2 = 1,4 ,
3 = 1,7 ,
5 = 2,2 e π = 3 .
10. Determine.
a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo
central correspondente mede 20°.
b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela
tem raio de 20cm.
c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15°
corresponde a um arco de 30cm.
11. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000
voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?
12. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas
rodas quando o automóvel percorre 9.891 km. Adote π = 3,14 .
13. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
11π
a) 1300º
b) 1440º
c) 170º
d)
rad
2
e)
43π
rad
5
f) – 1200º
14. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a) 1700º
b) – 700º
c)
49π
rad
4
d) 11π .rad
e)
33π
rad
8
15. Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos.
−
(
) 740º e 1460º
( ) 400º e 940º
( )
38π
26π
rad e
rad
3
3
( )
74π
rad e
5
19π
rad
5
16. Os arcos da forma k .180º + (−1) k .30º , k ∈ Z , têm extremidades em que quadrantes?
17. Determine os valores de:
a) y = 3 cos 540º −2 sen90º +tg180º
b) y = 4 sen900º −2 cos 630º + sec 720º
18. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:
a) y =
4 cos x + 1
3
b) y =
2 − 5senx
5
c) y = −3sen 2 x + 2
19. Que valores de m satisfarão a ambas as condições: senx = 3m e cos x = m − 1 .
20. Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: sec x = 2m − 1 e
tgx = m 2 + 4 .
21. Sendo x um arco do 2º quadrante e senx =
3
, determine: a) cos x
5
22. (U. F. VIÇOSA-MG) Sabendo que senx =
1 π
cos sec x − sec x
e < x < π , o valor de
é:
3 2
cot gx − 1
(
)
3 2
4
(
)
2 2
3
( ) −
3 2
4
b) tgx
( ) −
c) sec x
2 2
3
( )3
23. (F. M. Triângulo Mineiro – MG) Se 0 < x ≤ π e 3 cos x + senx = 3 , pode-se
se afirmar que:
1
1
1
1
( ) tgx < −1
( ) − 1 ≤ tgx < −
( ) − ≤ tgx <
( )
≤ tgx < 1
2
2
2
2
24. Relacione.
(a) cos 5240º
( )
1
2
(b) sen1200º
( ) − cos 20º
25. (UF-AL) A expressão
(
) −
(c) sen(−210º )
3
3
(
( )
3
6
(d) tg150º +2 sen120º − cos 330º
( ) cos 30º
1 + sen300º
é igual a:
tg 540º + cos(−120º )
)
3
4
( )
2− 3
4
( ) 2+ 3
Escolha 10 Questões e Resolva.
Resolva
Circunferênci
Lista de Trigonometria – Arcos na Circunferência
1. Observe as figuras.
a) Em que quadrante ocorre simultaneamente senx < 0 e cos x < 0? _____
b) Em que quadrante ocorre simultaneamente senx > 0 e cos x > 0? _____
c) Em que quadrante ocorre simultaneamente senx < 0 e cos x > 0? _____
( ) −2+ 3
2. Utilize a figura como apoio e complete a tabela com os dados pedidos.
ARCO
3000º
3105º
-2025º
-1395º
2460º
-1830º
13π
2
− 33π
4
− 15π
− 43π
3
− 17π
4
− 61π
6
1ª DETERMINAÇÃO QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE
4
3. (FATEC-SP) Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = − , qual o valor de senx ? __________
5
 π
4. (UNEB-BA) Se x pertence ao intervalo 0;  e tgx = 2 , qual o valor de cos x ? __________
 2
5. A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é
π
4
rad , as
medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são:
a)
3π
5π
e
4
4
b) π e
3π
2
c)
3π
e 2π
4
d)
π
2
e
5π
4
e)
3π
5π
e
4
8
6. Um relógio circular está marcando exatamente 10horas e 30 minutos. Calcule o seno, o cosseno e a
tangente do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos desse relógio.
7. Encontre os valores de A, B e C nas expressões:
2π
4π
− sen
3
3
a) A =
2π
4π
sen
− cos
3
3
− cos
7π
5π
+ cos
4
4
b) B =
3π
3π
cos
− sen
4
4
sen
c) C =
cos 1080º + sen(−315º )
sen 405º − cos 11π
8. As expressões x ∈ IR / x =
que têm seno igual a
a) senx =
π
4
+ 2kπ ou x ∈ IR / x =
3π
+ 2kπ , com k ∈ Z representam
representa todos os arcos
4
2
. Escreva agora a expressão geral de x para que se tenha:
2
1
2
b) cos x = −
3
2
c) tgx = 1
9. Se cos x = −
3 2
14
e tgx = −
, qual o valor de senx ?
5
6
10. Determine tgx sabendo que
3π
3
≤ x ≤ 2π e senx = − .
2
5
Escolha 4 Questões e Resolva.
Resolva