M23
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Nome: ______________________________________________________ Turma: ______ Nº ______
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
I PARTE
1. Certo tratamento médico consiste na aplicação, a um paciente, de uma determinada substância. Admita
que a quantidade Q de substância que permanece no paciente, t horas após a aplicação, é dada, em
miligramas, por Q (t ) = 250 1−0,1 t .
A quantidade de substância aplicada ao doente foi
(A) 10 mg
(B) 50 mg
(C) 100 mg
f (x) = 2 x e
2. Considere as funções f e g, de domínio ∇, definidas por
(D) 250 mg
g (x) = 3 x .
Qual é o conjunto solução da inequação f (x) > g (x) ?
(A)
IR
(B)
IR+
IR −
(C)
3. Considere as funções f e g definidas por f (x) = 5 x + 1
e
(D)
{ }
g (x) = 7 x + 1 .
O conjunto de valores que verifica a condição f (x) > g (x) é:
+
(A) IR
(B) ] - ∞ , 0 ]
(C) ] - 1, + ∞ [
(D) ] - ∞, - 1 [
4. Seja f (x) = k a x , com f (0) = 5 e f (3) = 40. Os valores de k e a são:
(A) k = 5 ; a = 8
(B) k = 5 ; a = 2
(C) k = - 5 ; a = - 2
(D) k = 5 ; a = - 2
5. Considere a função f definida por f (x) = a + e b x .
Os valores de a e de b, para os quais f (0) = 2 e f (1) = 1 + e 2 , são:
(A)
a=1
(B) a = 1 + e
b=0
b=2
(C) a = 2
(D) a = 1
b=1
b=2
1
6. A equação e x = 5 x, no intervalo ] – 5, 5 [ :
(A) Tem apenas uma solução
(B) Tem duas soluções
(C) Não tem soluções
(D) Tem exactamente três soluções
7. Seja g uma função de domínio A, definida por g (x) = ln ( 1 – x 2 ).
Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A ?
(A) ] – e + 1 , e – 1 [
(B) ] – 1, 1 [
(C) ] 0, + ∞ [
(D) ] - ∞, 1 [
8. Seja f a função definida por:
(A) IR
f (x) = 1 + ln ( | x – 3 | - 2 ) . O domínio de f é:
(B) IR \ {3}
(C) ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 5, + ∞ [
(D) ] 5, + ∞ [
9. O domínio da função definida pela expressão g (x) = ln ( 1 + x 2 ) – e – x é:
(A) IR
(B) IR \ {- 1, 1}
(C) ] - ∞ , - 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [
(D) ] 1, + ∞ [
10. Seja f a função definida por f ( x) = log (4 − x 2 ) . O domínio de f é:
(A)
{ - 2, 2 }
(B)
] - ∞, - 2 [ ∪ ] 2, + ∞ [
(C)
] – 2, 2 [
(D)
IR
 x −1 
11. A função g , definida por g (x) = ln 
 , tem domínio D. Então:
 x −2
(A)
D = ] - ∞, 1 [ ∪ ] 2, + ∞ [
(B) D = ] 2, + ∞ [
(C)
D = IR \ { 1, 2 }
(D)
D = IR \ { 2 }
 x 
12. Considere a função f, definida por f ( x) = ln 
 . O domínio da função é:
 x +1
(A)
IR +
(B)
] - ∞, -1 [ ∪ ] 0, + ∞ [
(C)
IR
(D)
IR \ { [ - 1, 0 ] }
13. Seja h a função de expressão analítica
(A)
IR+
(B) IR 0+
h (x) = log (1 - 2 x ) . O seu domínio é:
(C)
IR −
(D) IR 0−
14. A igualdade ln (x2 – 4) = ln (x – 2) + ln (x + 2) é válida para todo o x pertencente a:
(A) ] - ∞, - 2 [ ∪ ] 2, + ∞ [
(B) ∇+
(C) ] 2, + ∞ [
(D) ∇ \ { - 2, 2 }
2
15. Para a ∈ IR e b ∈ IR, ln
a
b
(A) Existe sempre que b ≠ 0
(C) Só existe se
(B) Existe sempre que a e b são não nulos
a
>0
b
(D) Só existe se a > 0 e b > 0
16. Em IR, o conjunto solução da condição
(A)
1

 , − 3
2


2 ( ln x ) 2 + 5 ln x - 3 = 0
{ e, e }
−3
(B)
(C)
é
{ }
(D)
 − 12 3 
e , e 


17. As soluções da equação 5 x + 4 × 5 – x = 5 são:
(A) x =
1
; x=2
2
(B) x = log 5 2 ; x = − log 5 2
(C) x = 1 ; x = 4
(D) x = log 5 4 ; x = 0
18. Considera a equação ln x2 = k ( k ∈ IR ). Qual das seguintes afirmações é a correcta.
(A) A equação não tem soluções se k < 0.
(B) Para cada valor de k, a equação tem uma única solução.
(C) Para cada valor de k, a equação tem sempre duas soluções.
(D) Para k = e, a equação tem uma única solução.
19. Se ln a = 1 + ln b ( a > 0 e b > 0 ), então
(A)
a
=e
b
(B)
a=e+b
20. Considere a função f definida por
(C)
(D)
a=b
a
=1
b
f (x) = ln (3 x) .
Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f :
(A)
( e, e + ln 3 )
(B)
( e, e . ln 3 )
(C)
( e, ln 3 )
(D)
( e, 1 + ln 3 )
21. Considere a função f definida por f ( x) = e x + 3 .
Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f .
(A) A (- 3, 0)
(B) B (ln 2, 2 e 3 )
(C) C (- 1, ln 2)
(D) D (ln 5, 8)
22. Considere a função f definida por g ( x) = e x − 4 .
Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função g .
3
(A) A (4, 0)
(B) B (0, e 4 )


(C) C  ln 3 ,
3 

e4 
(D) D (ln 3, 3 – e – 4 )
23. Considere a função f definida por h ( x ) = ln (5 x + e) .
Indique qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função h .
(A) A (e, ln 6 + 1)
(B) B (e , 6 + ln e)
(C) C (- e, - 4)
24. Considere uma função f , de domínio IR, definida por
f ( x) = e
x+a
(D) D (e, 6)
, onde a designa um certo
número real. O gráfico de f intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 2. O valor de a é:
(A) ln 2
(C) e 2
(D) e + ln 2
(C) y = 9 x
(D) y =  
(B) 2
25. Considere a equação 3 y = log 2 x (x > 0).
Qual das seguintes equações é equivalente a esta equação ?
(A) x = 8 y
26.
(B) x = 3 y 2
Na figura está parte da representação gráfica da função f,
 x
3
2
y
de domínio IR+ , definida por f (x) = log8 x .
P é um ponto do gráfico de f, que tem ordenada
1
.
3
f
1
3
Qual é a abcissa do ponto P ?
(A)
8
3
(B)
P
0
2
(C)
x
8
ln  
 3
(D)
1
27. A expressão 2 ln ( e 5 ), é igual a:
(A)
10
(B)
25
(C) ln ( 2 × e 5 )
(D) e 10
28. Se log 3 10 = a e log 3 7 = b , então log 3 700 é igual a:
(A) 10 b + a
(B) 2 a b
(C) b + a 2
29. Sabe-se que log a b = 5 . O valor da expressão log a (a . b) + a
(A)
14
(B)
30. Se ln a = x e ln b = y, então
(A) e x + y
12
(C)
3 log a 2
11
(D) 2 a + b
é:
(D)
0
a
é:
b
(B) x × y
(C) e x × y
(D) e x − y
4
31. Se log 3 a =
1
, então:
9
(B) a = - 2
(A) a = 9
3
1
a9
(C)
(D) a = 9 3
=3
32. Se log 3 5 = x , então:
(A) x =
ln 5
ln 3
(B) x =
5
3
(D) Nenhuma das respostas anteriores
(C) x = ln  
33. Sabe-se que log x y = 2 . O valor da expressão x
(A)
log 3 5
ln 3
0
(B)
5
4 log
x
2
 x5 
− log x   é:
 y 
(C)
9
(D)
13
34. Sejam a, b e c três números reais tais que log a (b) = c. Qual é o valor de log a (a . b) ?
(A) 1 + c
(B) a + c
(C) a c
(D) a + b c
c
35. Sejam a, b e c números reais tais que log a b = log a c + 5 , então log a   é:
b
(A) 5
(B)
1
3
(C) - 5
(
36. Seja g: IR+
(D) 0,5
)
IR a função definida por g (x) = log 2 2 . 3 x .
Indique qual das expressões seguintes também pode definir a função g :
(A) 2 + log 2
( x)
3
(B)
37. Seja A = log 3 + 2 log a + log b −
(A) A = log
(C) A =
3 + log 2 x
3
(C) 2 × log 2
( x)
3
(D)
1
1
log 2 − log c . Qual das afirmações é verdadeira ?
2
2
3 a2 b
(B) A = log
2 c
3 × 2 a×b
2c
3 a2 b
2c
(D) Nenhuma das respostas anteriores
38. Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real positivo a, igual a
(A) 2 a
1 + log 2 x
2
(B) 2 + a
(C) 2 a
e 2 ln a ?
(D) a 2
5
39. A equação ln x = - 20,
1
(A) Tem por solução x =  
e
(C)
20
(B) Não tem solução
Tem por solução x = - e 20
(D) Tem por solução x = e 20
 10 
40. Seja f a função definida por f (x) = log x . Então f   + f ( x) é igual a:
 x
 10 
(B) ln   + log x
 x
(A) 1
41.
O valor de 5
2 + log 5 ( w + 1)
 10 
ln   × log x
 x
(C)
(D)
0
é igual a
(A) 25 w + 25
(B) 5 2 + w + 1
(C) 25 log 5 (w + 1)
(D) 25 + log 5 (w + 1)
42. A expressão a − 2 + 3 log a 2 , com a > 1, é equivalente a:
(A) a - 2 + 8
(B)
8
a2
(C)
1
+6
a2
(D) − 2 + log a 8
y
43. Sejam a = 5 x e b = 5 2 , então x – y é:
(A) 5
x−
y
2
44. A expressão
(B) log 5 (a − 2 . b)
e (ln a + ln b ) , com
(A) a + b
(C)
log 5 (a . b − 2 )
(D)
a
2 log 5  
b
a, b > 0 , é equivalente a:
(C) ln (a ⋅ b )
(B) ln a × ln b
(D) a ⋅ b
45. O contradomínio da função h, definida por h ( x) = 3 2 x + 1 − 5 , é:
(A) [ 5, + ∞ [
(B) ] - 5, + ∞ [
(C) ] - ∞, - 5 [
46. O contradomínio da função g, definida por g (x) = e x
(A) ] - ∞, - 2 ] ∪ [ 2, + ∞ [
(B) IR
+
2
−4
(D) [ - 5, + ∞ [
é:
(C)
 1

 e4 , + ∞ 


(D) IR
47. O gráfico da função f definida por f (x) = e 2 x , intersecta a recta y = 6 em:
(A) Dois pontos: (- 2, 6) e (3, 6)
(B) Um ponto: (ln 3, 6)
6
(C) Um ponto: (ln
6 , 6)
(D) Nenhum ponto
48. Uma certa substância radioactiva, quando armazenada em determinadas condições, desintegra-se,
reduzindo-se a metade em cada ano que passa. Uma expressão que permite prever a quantidade de
substância armazenada ao fim de t anos é:
(A)
800 t
2
(B) 400 t
800 × 1,5 t
(C)
(D) 800 × 2 - t
49. No início de 1993 uma cidade tinha 1 500 000, e está a crescer à taxa anual de 2%.
49.1 A expressão que permite prever a população existente ao fim de t anos após 1993 é:
(A) 1,2 t . 1,5 . 10 6
(B) 0,02 t . 150 000
(C) 1,02 t - 1 . 1,5 . 10 6
(D) 1,02 t . 1,5 . 10 6
49.2 O ano em que se prevê que a população ultrapasse 2 milhões é:
(A) 1996
(B) 2008
(C) 2000
(D) 2007
50. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos feitos numa certa
modalidade. Um cliente desse banco fez um depósito de 500 euros, nessa modalidade.
Qual é, em euros, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos?
(A)
51.
500 + 0,8 n
(B) 500 × 1,08 n
(C)
500 × 1,8 n
(D) 500 × 1,08 n
No início de 1990, uma aldeia tinha 260 habitantes. A população da aldeia tem aumentado à taxa
anual de 2%. Uma expressão que permite prever o número de habitantes da aldeia ao fim de n anos
após 1990 é:
(A)
260 + 1,02 n
(B) 0,02 n × 260
(C)
260 × 1,02 n
(D) 5,2 n
7
II PARTE
1. Resolve as seguintes condições:
1.1 3 x +
2
1.2 0,5 2 x =
= 243 ;
3
1.7 2 x <
1
;
27
1.5 3 – 3 x ≤
1.4 8 x – 1 = 2 5 x ;
1.3 π x ≥ 1 ;
2 ;
1.6 11 2 x – 4 ≤ 0 ;
1.8 5 – 2 x > 1 ;
2 ;
1.9
81
≥ 9.
3x
2. Resolve, em IR, cada uma das seguintes inequações
1
;
27
2.1
3 x+5 >
2.3
2 x–3 > 2
2.2
23 ;
2 –2x+1 < 4 3x ;
2.4 9 x - 4 × 3 x ≤ - 3 .
3. Calcule:
3.1 log 2 (64) ;
3.2 log 16 (16) ;
3.3 log
3
3.4 log 2
( 8) ;
3.5 log
3.7 log
 1 
 ;
 64 
3.8 log 4 (1) ;
3.9 log
3.11 log 5 (125)3 ;
3.12 log 2
2
3.10 log
1
5
 1 

;
 125 
2
(4) ;
3.6
1
 ;
 81 
5 log 5 (125) ;
3
 1 

;
 243 
(
3
)
16 .
4. Calcule o valor de cada uma das expressões
4.1
log 2 (128) + log 5 (125) ;
4.3
ln
3
e ;
1
4.2 log 2   + log
8
4.4 log ( log 10 ) ;
6
(216) ;
4.5 ln ( ln e e ) .
5. Resolve, em IR, cada uma das seguintes equações:
5.1
log3 (x) = 5 ;
5.4 3 2x – 1 =
3 ;
5.2 logx (3) = 2 ;
5.5 log
2
( x + 1) = 8 ;
5.3 log ( 3 x2 ) = log ( x3 ) ;
5.6 log x 5 = −
1
− 3ex + 2 = 0 ;
ex
5.7 3 – ln e 3x = 0 ;
5.8 e 2x – 3 e x + 2 = 0 ;
5.10 9 x – 6 . 3 x = 27 ;
5.11 log ( x – 3 ) – log ( 2 x – 9 ) = 0 .
5.9
1
;
2
8
6. Caracterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:
6.1
6.3
f (x) = 1 + 2 – x ;
h (x) = 4 – 3 e
6.2
–x+ 2
;
g (x) = log 2 ( 3 – 5 x ) ;
6.4 j (x) = 4 – ln ( 1 – 2 x ) .
7. Para cada uma das seguintes funções, indique o domínio, o contradomínio e caracterize a função
inversa:
7.1
a (x) = - 3 + 5 3 x – 2 ;
7.2
b (x) = 3 + log2 ( x + 2 ) ;
7.3 c (x) = 2 – log ( x + 3).
8. Considere a função definida por m (x) = 1 – ln ( x - e ) .
8.1 Determine o domínio e os zeros da função m ;
8.2 Determine os valores de x que verificam a condição m (x) ≥ 2 ;
8.3 Caracterize a função inversa de m.
1+ x 
9. Considere a função g (x) = 2 + ln 
.
1− x 
9.1 Determine o domínio da função;
9.2 Calcule k de modo que g ( 1 – k ) = 2 .
10. Considere as funções definidas por:
g ( x) = 1 − 4 e x −1
f ( x) = 2 ln (4 − 3 x ) ;
;
h ( x) = 1 − log ( x 2 − 1)
10.1 Determine o domínio de cada uma das funções;
10.2 Calcule f (− 4) + g (5) + h
(
)
101 ;
10.3 Caracterize as funções inversas de f e g ;
10.4 Calcule os zeros de g e de h ;
10.5 Determine os valores de x que verificam a condição f ( x) ≥ 2 ;
10.6 Determine os valores de x para os quais a função h é positiva.
11. Considere as funções definidas por:
f ( x) =
ex
;
x −1
g ( x) =
3 − log (1 − 4 x)
2
;
h ( x) =
log 2 ( x 2 − 9)
x+2
11.1 Determine o domínio de cada uma delas;
11.2 Calcule os zeros das funções f e h;
11.3 Caracterize a função inversa de g ;
9
11.4 Determine, analiticamente, o conjunto solução da condição ln ( f (x) ) = x .
12. Considere as funções definidas por:
f ( x) = 4 − 5 x + 1 ;
g ( x) =
ln (3 − 2 x) − 2
3
12.1 Determine o domínio de g e de
;
(
h ( x) = 2 + log 3 27 . 4 x
)
f ( x) + 21 ;
12.2 Calcule os zeros de f ;
12.3 Mostre que h ( x) =
20 + log 3 x
e determine os valores que verificam a condição h ( x) ≥ 5 ;
4
12.4 Caracterize g − 1 ( x) , função inversa de g .
13. Considere as funções definidas por:
f ( x) = 3 2 x + 1 − 3 ;
2x + 4
g ( x) = log 
 −1
 x −1 
13.1 Indique o domínio e os zeros de cada uma delas;
13.2 Determine os valores de x que verificam a condição f (x) < 1 ;
13.3 Caracterize f
−1
( x) , função inversa de f .
14. Considere as funções definidas por:
f ( x) =
1
− 2 x +1 ;
2
g ( x) =
log 2 | x | −3
1 − log 2 ( x − 6)
14.1 Indique o domínio e os zeros de cada uma delas;
14.2 Determine os valores de x que verificam a condição f (x) > - 2 ;
14.3 Caracterize f
−1
( x) , função inversa de f .
1
15. Considere a função g definida por: g ( x ) = 1 + log 3 (9 x 2 ) + log 3   .
 x
15.1 Mostre que g ( x) = 3 + log 3 x ;
15.2 Determine o declive da recta que passa pela origem do referencial em que está representado o
gráfico de g, e pelo ponto do gráfico de g de ordenada 2.
16. Seja f a função definida em IR+ por f ( x) = log 2 (8 x 2 ) − log 2 x .
16.1 Mostre que f ( x) = 3 + log 2 x , para qualquer x ∈ IR+ ;
16.2 Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a recta de equação y = 8.
10
17. Utilizando uma calculadora gráfica, o Pascoal descobriu que a equação log x2 = 2 log 3 tinha duas
soluções que eram - 3 e 3. Resolveu analiticamente a equação com os seguintes passos:
log x2 = 2 log 3 2 log x = 2 log 3 log x = log 3 x = 3
Onde se perdeu a outra raíz? Resolve de novo a equação de modo a aparecer as duas soluções e faz
um comentário.
18. O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt por metro
quadrado, de acordo com a igualdade: N = 10 log 10 (10 12 . I ), para I > 0 .
18.1 Verifique que N = 120 + 10 log 10 I ;
18.2
Admita que o nível de ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na
varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por
metro quadrado.
19. A população de um certo vírus cresce de tal forma que a sua dimensão ao fim de t dias é dada por
D (t) = D0 . 2 k t , em que D0 representa a dimensão inicial da população.
19.1 Para D0 = 1000 a população duplica ao fim de 20 dias. Qual deve ser o valor de k ?
19.2 Qual é a dimensão da população ao fim de 15 dias? E ao fim de 25 dias?
19.3 Determina aproximadamente ao fim de quanto tempo D (t) = 2750 .
19.4 Qual é o significado da condição D (t) < 1500 ? Resolve-a.
20. Um investimento de 50 000 contos dá juro de 7% ao ano. Capitalizando continuamente e após t
anos, o investimento valerá 50 000 . e 0,07 t . Ao fim de quantos anos, aproximadamente, duplicará o
valor do investimento?
21. O número de pinheiros de um certo pinhal é dado segundo a lei N (t) = 100 . e 0,3 t .
21.1 Quantos pinheiros havia no início da contagem? E 9 anos depois?
21.2 Ao fim de quantos anos existirão 5000 árvores?
21.3 Se nada for feito em contrário, o que sucede ao número de pinheiros ao fim de muitos, muitos
anos?
22. Num lago onde não existiam trutas, foi lançada determinada quantidade de peixes com um ano de
idade. O número de trutas vivas após t anos é dado por
N (t) = 5000 . e – 0,1 t .
22.1 Quantas trutas foram lançadas no lago?
22.2 Ao fim de quantos anos existirão 3000 trutas no lago?
22.3 Se o modelo continuar a poder aplicar-se, qual o número de trutas passados muitos anos?
11
23. A figura representa um reservatório com três metros de altura.
Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água
e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório
começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de 14 h.
Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas
após este ter começado a ser esvaziado, á dada por:
h (t ) = log 2 (a − b t ) , t ∈ [0, 14] , onde a e b são constantes reais positivas.
23.1 Mostre que a = 8 e b =
1
;
2
23.2 Prove que a taxa de variação média de h no intervalo [6, 11] é - 0,2.
Interprete este valor no contexto da situação descrita.
24. A “ massa vegetal ” de uma floresta, varia com o tempo t e pode ser dada
M v (t ) = 3 e t
por
(e designa o número de Neper)
Tomando para unidade de “ massa vegetal “ a que existe no começo de 1900, início da contagem do
tempo ( t = 0 ), e para unidade de tempo, o século.
24.1 Calcula a “ massa vegetal “ existente no início de 1500;
24.2 Determina a “ massa vegetal “ que é previsível existir no começo de 2050. De quanto será o seu
aumento em relação a 1900 ?
24.3 Em que ano a “ massa vegetal “ é dupla da que existia no início de 1900 ?
25. Num país africano, uma espécie de camelos está a ser dizimada por uma peste. O número de camelos é
dado, em função do tempo, pela lei: C (t) = C0 . e – 0, 4 t (t em anos, C0 é o número actual de camelos).
25.1 Explique o que significa C(0) = 5000 e determine C0 ;
25.2 O Ministério da Agricultura, através do seu Departamento de Veterinária, está a desenvolver um
medicamento que erradicará a peste, que prevê pronto daqui a 10 anos. Quantos camelos
salvará?
25.3 O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de
camelos for inferior a 200. A manter-se a tendência, daqui a quanto tempo isso acontecerá?
12
26. A radioactividade de um composto decresce de acordo com a fórmula:
A (t) = A0 . e
– 0, 2 t
, onde
A0 é a quantidade de composto inicialmente presente e t o tempo em segundos após a observação
inicial. Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas de composto.
26.1 Quantas gramas de composto haverá 10 segundos depois da observação inicial?
26.2 Quanto tempo terá de decorrer para que a quantidade de composto se reduza a metade?
27. Coloca-se um produto solúvel num recipiente com água. Em cada instante t (em minutos), a
quantidade do produto ainda não dissolvido é (em gramas)
q (t ) =
60
5e
0 , 09 t
−3
, com t ≥ 0
27.1 Qual é a quantidade de produto colocado inicialmente na água?
27.2 Ao fim de quanto tempo estão ainda por dissolver 20 gramas de produto?
27.3 Quanto tempo será necessário para que o produto colocado no recipiente se reduza a metade?
28. Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais. Suponha que a dose d
(em miligramas) necessária para anestesiar um cachorro de 20 kg, durante o tempo t (em horas) é
t
dada por
d (t ) = 600 × 2 4
.
28.1 Qual a dose necessária para anestesiar um cachorro com o peso indicado, durante 90 minutos?
28.2 Durante quanto tempo fica anestesiado um cachorro de 20 kg, se lhe for aplicada uma dosagem
de 0,9 gramas?
29. Para obter o povoamento de coelhos em certa região libertaram-se nela alguns casais desta espécie.
Sabe-se que os coelhos se reproduzem exponencialmente, segundo uma lei do tipo :
c (t ) = k.a t
( k , a , positivos )
sendo c(t) o número de coelhos existentes t meses após o início do povoamento.
29.1 Suponha k = 10 e a = 1,2.
29.1.1 Quantos coelhos foram libertados inicialmente naquela região?
29.1.2
Quando o número de coelhos ultrapassar 1000, pode gerar-se desequilíbrio na cadeia
alimentar. Ao fim de quantos meses ocorrerá tal possibilidade?
29.2 Suponha agora que não eram conhecidas as constantes k e a, mas apenas os resultados de duas
contagens. Ao fim de um ano, após o início do povoamento, contaram-se 163 coelhos e,
decorridos mais 6 meses contaram-se 787 coelhos.
Calcule, neste caso, os valores de k e de a , com aproximação às centésimas.
13
30. Um forno estava em plena laboração e houve uma falha de energia eléctrica durante algumas horas.
Desde o instante em que houve a falha de energia eléctrica, a temperatura no interior do forno é dada
pela expressão: T (t ) = 2 t + 256 × 2 − t ; t em horas e T em graus Celsius.
30.1 Qual a temperatura, do interior do forno, no momento em que houve a falha de energia eléctrica?
30.2 A avaria ocorrida fez com que a temperatura interior do forno descesse até aos 32 ºC. A partir
desse instante, a energia foi restabelecida e a temperatura voltou a subir. Durante quanto
tempo houve falha de energia eléctrica?
30.3 Ao fim de quanto tempo foi restabelecida a temperatura inicial (instante da falha)?
Durante quantas horas a temperatura foi inferior a 130 ºC ?
30.4
31. Uma empresa de detergentes lançou um novo produto no mercado e não obteve o êxito esperado. Para
minorar as baixas vendas do produto, a empresa investiu numa campanha publicitária. Após t dias do
início da campanha publicitária, o número V, em milhares, de vendas do novo produto é dado pela
expressão: V (t ) = k . e 0, 2 t .
31.1 Calcule o valor de k (1 c. d.), sabendo que dois dias após o início da campanha o número de
vendas era de 746. Indique o significado do valor de k encontrado.
A campanha publicitária termina quando o número de vendas atingir a produção máxima da
31.2
empresa, que corresponde a 10 000 unidades. Quantos dias durou a campanha?
32. Foi criada uma zona industrial onde inicialmente trabalhavam 1000 pessoas. A expressão que rege o
número de milhares de postos de trabalho é N (t ) =
a
, em função do tempo t em anos.
1 + 2 e − 0, 5 t
32.1 Determine o valor de a ;
32.2 Determine ao fim de quantos meses o número de trabalhadores ultrapassa os 2000.
33. A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala de Richter. Nesta escala, a
magnitude M de um abalo sísmico está relacionada com a energia libertada E (em ergs), da seguinte
forma:
M =
log E − 11,8
1,5
33.1 Um dos tremores de terra mais famoso ocorreu em S.Francisco, nos E.U.A., em 1906 e
libertou 1,496 × 10 24 ergs de energia. Qual foi a sua magnitude na escala de Richter?
33.2 Qual a energia libertada por um sismo de magnitude 8,5 na escala de Richter?
33.3 Exprima a variável E em função de M.
14
34. A magnitude M de um sismo e a energia total E libertada por esse sismo estão relacionadas pela
equação
(a energia E é medida em Joule).
log E = 5,24 + 1,44 M
34.1 Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 8,6. Mostre
que a energia total libertada nesse sismo foi aproximadamente 4,2 × 10 17 Joule.
34.2 A ponte Vasco da Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja
cinco vezes a do terramoto de Lisboa de 1755. Qual será a magnitude de um tal sismo?
(Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas).
35. A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor sujeita a um certo conjunto de condições ambientais
aumenta de acordo com a fórmula m (t ) =
1
, em que t representa o tempo (em dias).
0,4 + 0,6 . e − t
35.1 Quanto é a massa inicial da cultura? E passados 15 dias?
35.2 Resolve a equação m (t) = 2 .Explique o seu significado.
35.3 Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura?
35.4 Escreve a equação que exprime t em função de m.
36. Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode
t
− 

3 

memorizar no tempo t, em minutos. A fórmula é: f (t) = 30 1 − e  .


36.1 Calcule, com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em
4 minutos.
36.2 A Andreia memorizou 26 símbolos. Quanto tempo precisou para realizar tal tarefa?
37. Numa fábrica, os croissants saem do forno a 180 º C. Sabendo que a temperatura se reduz a metade
ao fim de 20 minutos e que a expressão que dá a temperatura T em graus centígrados é do tipo:
T (t ) = 18 + a . e − k t (t em horas, k > 0).
37.1
Mostre que a = 162 e que k = 2,43;
37.2
Qual é a temperatura ambiente;
37.3 Quanto tempo é preciso esperar para embalar, sabendo que só podem ser embalados abaixo
de 30º C ?
15
38. Quando o pão sai do forno, a sua temperatura é aproximadamente de 100º C. Para arrefecer, é
colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C; passados 3 minutos a sua
temperatura é de aproximadamente 74º C.
Depois de sair do forno, ao fim do tempo t, em minutos, a temperatura do pão é dada por:
T (t) = 23 + 77 . e – k t
38.1
Mostre que k = 0,14.
38.2
Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno?
38.3
Para embrulhar o pão é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. O
Magnum entrou na padaria no momento em que o pão estava a sair do forno. Ele quer comprar
pão mas como já está atrasado para ir ao ginásio, diz que só pode esperar entre 3 a 5
minutos. Será que o Magnum vai levar o pão?
39. Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa,
aproximadamente, em função do seu peso p (em kg), por:
A (p) = - 0,52 + 0,55 ln (p) .
39.1 O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com
a igualdade referida, qual será o seu peso?
39.2 Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A ( 2 p ) – A ( p ) é constante. Determine
um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no
contexto da situação descrita.
40. Um petroleiro, que navegava no oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco.
Em consequência disso, começou a derramar crude. Admita que, às t horas do dia a seguir ao do
acidente, a área, em km2, de crude espalhado sobre o oceano é dada por:
A (t) = 16 e 0,1 t , t ∈ [0, 24]
40.1 Verifique que, para qualquer valor de t,
A (t + 1)
é constante.
A (t )
Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado às décimas) e interprete esse
valor, no contexto da situação descrita.
40.2 Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou.
Sabendo que esse local se encontra a 7 km da costa, determine a que horas, do dia a seguir ao
acidente, a mancha de crude atingirá a costa.
16
41. A pressão atmosférica P, em polegadas de mercúrio (1 polegada = 25,4 mm), é dada por:
P (h) = 30 × 10 – 0,09 h , onde h é a altura, em milhas (1 milha = 1609 metros), acima do nível do mar.
41.1 Calcule a pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar;
41.2 Determine, com aproximação às unidades, a altura de uma montanha sabendo que no cume a
pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio.
42. A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra. Admita que a
pressão atmosférica P (medida em quilopascal) é dada, em função da altitude h (em quilómetros), por:
P (h) = 101 . e – 0,12 h
42.1 A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico. A altitude do cume do Pico é 2350
metros. Qual é o valor da pressão atmosférica nesse local?
42.2 Determine x tal que, para qualquer h, P ( h + x ) =
1
P ( h ).
2
Interprete o valor obtido, no contexto do problema.
43. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às
zero horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminui,
enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar
começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em
mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por
P (t ) = 1 −
ln (t + 1)
, t ∈ [0, 24]
t +1
( ln designa logaritmo de base e )
43.1 Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde ?
43.2 Utilizando a calculadora gráfica, determine quanto tempo esteve o purificador de ar ligado?
44. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de
Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por
P (t ) = 3,5 +
6,8
1 + 12,8 e −0,036 t
(considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano de 1864)
44.1 De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do ano
de 2003 ?
44.2 Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolva o
seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental
foi de 3,7 milhões de habitantes ?
17
45. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros,
como se mostra na figura.
Considere a função h definida por
h ( x) = 15 − 4 ln (− x 2 + 10 x + 11) ( ln designa logaritmo de base e )
Admita que h (x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da parede A .
45.1 Determine a altura da parede A , arredondado às décimas;
45.2 Utilizando a calculadora gráfica, estude a função quanto à monotonia e conclua daí que, tal como
a figura sugere, é num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa é mínima.
45.3 Mostre, analiticamente, que h (5 − x) = h (5 + x) ;
Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita.
46. A magnitude aparente (m) e a magnitude absoluta (M) de uma estrela são grandezas utilizadas em
Astronomia para calcular a distância (d) a que essa estrela se encontra da Terra. As três variáveis estão
relacionadas pela fórmula
10 0, 4 ( m − M ) =
d2
.
100
( d é a medida em parsec, unidade utilizada em Astronomia para grandes distâncias.)
46.1 A Estrela Polar tem magnitude aparente m = 2, sendo a sua magnitude absoluta M = - 4,6. Qual
é a distância da Terra à Estrela Polar, arredondado às unidades.
46.2 Prove que, para quaisquer m, M e d, se tem:
m = M – 5 (1 – log 10 d ) .
47. Um pára-quedista salta de um helicóptero. Ao fim de algum tempo, o pára-quedas abre. Admita que a
distância (em metros) a que o pára-quedista se encontra do solo, t segundos após a abertura do
pára-quedas, é dada por
d (t ) = 840 − 6 t + 25 e − 1,7 t
47.1 Sabendo que, no momento em que o pára-quedista salta do helicóptero, este se encontra a 1500
metros do solo, determine a distância percorrida em queda livre pelo pára-quedista (desde que
salta do helicóptero até ao momento da abertura do pára-quedas) ;
47.2 Utilize a calculadora para determinar, com aproximação ao segundo, quanto tempo, após a
abertura do pára-quedas, demora o pára-quedista a atingir o solo.
18
48. Uma pastilha elástica é tanto mais saborosa quanto maior for a quantidade de aromatizante nela
presente. Admita que a quantidade de aromatizante presente numa pastilha elástica da marca
Mastibom, t minutos após ter sido colocada na boca, é dada, em certa unidade de medida, por
A (t ) = 5 e − 0,1 t
,
t ∈ [0, + ∞ [
48.1 Utilizando métodos analíticos, determine ao fim de quanto tempo, após ter sido colocada na
boca, a quantidade de aromatizante presente numa pastilha Mastibom se reduz a metade.
Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades.
48.2 Suponha que é o responsável pelo laboratório da empresa produtora das pastilhas Mastibom.
Admita que a concorrência acabou de lançar no mercado três tipos de pastilhas e que a gerência
da sua empresa o encarregou de analisar essas pastilhas, para ver se algumas delas poderiam
colocar em risco a posição de líder de mercado das pastilhas Mastibom. Da análise que efectuou,
concluiu que a quantidade de aromatizante presente em cada uma delas, t minutos após ter sido
colocada na boca, é dada por:
Pastilha X :
B 1 (t ) = 4 e − 0,15 t
,
t ∈ [0, + ∞ [
Pastilha Y :
B 2 (t ) = 7 e − 0, 2 t
,
t ∈ [0, + ∞ [
Pastilha Z :
B 3 (t ) = 6 e − 0,1 t
,
t ∈ [0, + ∞ [
Recorrendo à sua calculadora, compare, no intervalo [0, 15], cada uma destas três funções com a
função A, definida acima. Elabore um relatório, com cerca de dez linhas, que possa ser
apresentado à gerência da sua empresa, em que mencione, para cada uma das pastilhas
concorrentes, durante quanto tempo é que, nos primeiros quinze minutos, ela é mais saborosa do
que a Mastibom.
49.
A METOCHIP é uma empresa de software que usa a internet como canal de distribuição. Uma
equipa independente de desenvolvimento de software propõe-lhe um novo produto. A Direcção da
empresa analisou o produto e concluiu que o número de downloads diários, t semanas depois do
produto estar no mercado, segue a lei N (t ) = 250 t 3 × e − 0,5 t .
A Direcção da empresa tem definidos critérios para os projectos que admite à comercialização e que
obrigam a que o produto:
i)
atinja mais de 2500 downloads diários em menos de 5 semanas;
ii) se mantenha mais de 12 semanas consecutivas com mais de 1000 downloads diários.
Numa pequena composição, aborde os dois critérios definidos anteriormente e exponha as razões
que a Direcção da empresa apresentou para recusar o projecto apresentado.
19
50. Um golfinho está no início da sua aprendizagem e o número T de tarefas que aprende é dado por
T ( s ) = 20 (1 − e − 0,15 s ) , em que s representa o número de semanas de treino.
O seu treinador pretende fazer com ele um espectáculo daqui a 7 semanas, em que desempenhe 13
tarefas. Posteriormente, quer continuar a treiná-lo até conseguir que ele desempenhe 21 tarefas
para o poder vender para um espectáculo com maiores dimensões.
Numa pequena composição, explique ao treinador a possibilidade ou impossibilidade dos seus
objectivos. Use, se achar conveniente, os gráficos que elaborou na calculadora para ilustrar melhor o
seu raciocínio.
51. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas:
a Paula e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do
medicamento pela Paula e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por
litro de sangue, são dadas, respectivamente, por:
P (t) = 4 t 3 . e – t
e
C (t) = 2 t 3 . e – 0,7 t
A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento
é tomado ( t ∈ [0, 12] ).
51.1 Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Paula, quinze minutos depois
de ela o ter tomado;
51.2
No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por
serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais;
51.3 Considere as seguintes questões:
1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode
ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com alguma destas
pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar
será ultrapassado?
2. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a
1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem
deve tomá-la em primeiro lugar, a Paula ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?
Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões.
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou,
justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização
da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos.
Bom Trabalho!
Os Professores
20
Soluções
I PARTE
1. (D)
2. (C)
3. (D)
4. (B)
5. (D)
6. (B)
7. (B)
8. (C)
9. (A)
10. (C)
11. (A)
12. (B)
13. (C)
14. (C)
15. (B)
16. (B)
17. (D)
18. (C)
19. (A)
20. (D)
21. (B)
22. (C)
23. (A)
24. (A)
25. (A)
28. (D)
29. (A)
30. (D)
31. (D)
32. (A)
33. (D)
34. (A)
35. (C)
36. (B)
37. (B)
38. (D)
39. (A)
40. (A)
41. (A)
42. (B)
43. (C)
44. (D)
45. (B)
46. (C)
47. (C)
48. (D)
49.1 (D)
49.2 (B)
50. (D)
26. (B)
27. (A)
51. (C)
II PARTE
 1
 3
1.3 [ 0, + ∞ [
1.4 − 
1.5 [ 1, + ∞ [
− 
 4
 2
1

1.6 { }
1.7  − ∞ , 
1.8 ] - ∞ , 0 [
1.9 ] - ∞ , 2 ]
3

1

 11

2.1 ] - 8, + ∞ [
2.2  , + ∞ 
2.3 
2.4 [ 0, 1 ]
, +∞ 
8

 2

3
3.1 6
3.2 1
3.3 - 4
3.4
3.5 4
3.6 125
2
1.1 {3}
1.2
3.7 - 6
3.8 0
4.1 10
3.9 - 5
4.2 0
4.3
5.1 { 243 }
5.2 {
5.7 { 1 }
5.8 { 0, ln 2 }
6.1 f
–1
: ] 1, + ∞ [
6.2 g – 1 : IR
6.3 h – 1 : ] - ∞, 4 [
6.4 j – 1 : IR
3 }
3
3.11 9
4.4 0
4.5 1
3.10
1
3
3.12
5.3 { 3 }
3
5.4  
4
5.5 { 15 }
5.9 { 0 }
5.10 { 2 }
5.11 { 6 }
4
3
1 
5.6  
5 
IR com f – 1 (x) = - log 2 ( x – 1)
IR com g – 1 (x) =
3−2 x
5
4− x

 3 
IR com h – 1 (x) = 2 − ln 
IR com j – 1 (x) =
1 − e 4− x
2
21
2 + log 5 ( x + 3)
3
7.1 D = IR
D´ = ] – 3, + ∞ [
a − 1 ( x) =
7.2 D = ] – 2, + ∞ [
D´ = IR
b − 1 ( x) = −2 + 2 x − 3
7.3 D = ] – 3, + ∞ [
D´ = IR
c − 1 ( x) = −3 + 10 2 − x
8.2 ] e, e + e – 1 ]
8.1 D = ] e, + ∞ [ ; Zeros: { 2 e }
8.3
m – 1 : IR
IR com m – 1 (x) = e + e 1 – x
9.1 ] – 1, 1 [
9.2 k = 1
4 

10.1 D f =  − ∞ ,  ;
3 

Dg = IR ;
D h = ] − ∞ , − 1 [ ∪ ]1 , + ∞ [
10.2 -212,85
x
10.3 f – 1 : IR
4−e 2
com f – 1 (x) =
3
IR
1− x 
 +1
 4 
IR com g – 1 (x) = ln 
g –1 : ] - ∞ , 1 [
 1 
10.4 Zeros de g :  ln   + 1 ; Zeros de h : ± 11
 4 
{
4−e 

10.5  − ∞ ,
3 

}
10.6  −
11 , − 1  ∪  1,
11 
1

11.1 Df = IR \ {1} ; D g =  − ∞ ,  ; Dh = ] − ∞ , − 3 [ ∪ ] 3 , + ∞ [
4

11.2 Zeros de f : Não tem
11.3
g – 1 : IR
;
D
f ( x ) + 21
{±
10
}
1 − 10 3− 2 x
4
= ]− ∞ , 1]
12.4 g – 1 : IR
12.3 [ 1, + ∞ [
Df = IR ;
Zeros de h :
IR com g – 1 (x) =
3

12.1 D g =  − ∞ , 
2

13.1
;
11.4 { 2 }
12.2 Zeros de f : - 0,14
IR com g – 1 (x) =
D g = ] − ∞ , − 2 [ ∪ ]1 , + ∞ [ ;
3 − e 3 x+2
2
7
Zeros de f : { 0 } ; Zeros de g :  
4
13.2 ] - ∞ ; 0,13 [
13.3 f – 1 : ] –3 , + ∞ [
14.1 Df = IR ;
Dg = ] 6, + ∞ [ \ { 8 } ;

5 
14.2  − ∞ , log 2   − 1 
2 

15.2 m = 6
IR com f – 1 (x) =
log 3 ( x + 3) − 1
2
Zeros de f : { - 2 } ; Zeros de g : Não tem
1

14.3 f – 1 :  − ∞ , 
2

1
2
IR com f – 1 (x) = log 2  − x  − 1

16.2 x = 32
22
17. A outra raíz perdeu-se ao passar o 2 (expoente do x) para trás do logaritmo. A resolução correcta é:
log x2 = 2 log 3 log x2 = log 32 x2 = 9 x = ± 3
18.2 100 w / m2
19.1 k =
1
= 0,05
20
19.2 1682 ; 2378
19.3 29 dias
19.4 Durante quanto tempo a dimensão da população de vírus é inferior a 1500. Para t < 11,7 dias
20. 10 anos
21.1 100 ; 1488
21.2 13 anos e 1 mês
21.3 Fica muito grande
22.1 5000
22.2 5 anos
22.3 0
23.2 No intervalo de tempo considerado, entre as 6 e as 11 horas após o início do esvaziamento, a altura
da água no reservatório diminui à razão de 20 cm por hora
24.1 Mv (- 4) = 0,26
24.2 Mv (1,5) – Mv (0) = 0,65
24.3 2108
25.1 C (0) = 5000 significa que, para t = 0, isto é, no presente momento, o número de camelos é 5000;
C0 = 5000
25.2 92
25.3 8 anos
26.1 2,71 gr
26.2 3,47 s
27.1 30 g
27.2 2 minutos
28.1 778 mg
28.2 2,34 h = 2h 20m
29.1.1 10
29.1.2 26 meses
30.1 257 º C
27.3 3,74 minutos
29.2 k = 7 ; a = 1,3
30.2 4 horas
30.3 9 horas
31.1 k = 0,5 ; No início, o número de vendas era de 500
32.1 a = 3
32.2 33 meses
33.1 8,25
33.2 3,55 × 10 24 ergs
34.1 E = 10 17,624 = 4,2 × 10 17
35.1 1 gr ; 2,49 gr
35.2
33.3
30.4 6 h, entre a 1h e as 7h
31.2 15 dias
E = 10 1,5 M
+ 11,8
34.2 9,1
t = 1,8 é o tempo necessário para que a massa da cultura atinga 2 gr
35.3 Tende para 2,5 gr
35.4
t = − ln
1 − 0,4 m
0,6 m
36.1 22
36.2 6 m
37.2 18 º C
37.3 1 h 04 m
38.2 24 º C
38.3 Não, porque demora 11 m a atingir 40 º C
39.1 33 kg
39.2 0,38. Uma criança com o dobro do peso do Zé do Coice, tem mais 38 cm
40.1 e
0,1
= 1,1 e significa que “a área de crude espalhado sobre o oceano aumenta à razão de 1,1 por hora”
ou “a área do crude espalhado sobre o oceano aumenta 10% por hora”
40.2 22,64 h = 22h 38m
41.1 20,38
41.2 2 milhas
42.1 76
42.2 x = 5,8. Quando se sobe 5,8 km em altitude, a pressão atmosférica passa para metade
23
43.1 0,8 mg/l
43.2 1,718 h = 1h 43m
44.1 P (140) = 9,8
44.2 t = - 26,307, correspondente ao ano de 1837
45.1 5,4
45.2 Crescente: ] 5, + ∞ [ ; Decrescente: ] 0, 5 [ ; Como a distância entre as paredes é 10 m, o ponto que
está 5 m afastado da parede A, encontra-se igualmente afastado da parede B, o que significa que x =
5 será a abcissa do ponto médio entre as paredes
45.3 Pontos equidistantes (para a esquerda e para a direita) do meio da rampa estão à mesma altura
46.1 209
47.1 635 m
47.2 140 s
48.1 7 m
48.2 Da análise dos quatro gráficos podemos concluir que: A pastilha X nunca é mais saborosa do que a
Mastibom, já que a quantidade de aromatizante presente na pastilha X é sempre menor do que a
quantidade de aromatizante presente na pastilha Mastibom; A pastilha Y é mais saborosa do que a
Mastibom durante cerca de três minutos e meio, ficando depois menos saborosa; A pastilha Z é
sempre mais saborosa do que a Mastibom, já que a quantidade de aromatizante presente na pastilha
Z é sempre maior do que a quantidade de aromatizante presente na Mastibom. Conclui-se, assim,
que a pastilha Z coloca em risco a posição de líder do mercado da Mastibom.
49. Na composição, referir que:
i) É necessário avaliar se até às 5 semanas os 2500 downloads são atingidos e se é possível obter
mais de 1000 downloads diários durante as 12 semanas;
ii) Utilização da calculadora gráfica com janela de visualização [- 5, 15] × [- 700, 4200] e verificar
que
N (4,777) = 2501 ; A (2,347 ; 1000) e B (12,271 ; 1000), logo 12,271 – 2,347 = 9,924;
iii) Concluir que o primeiro critério é satisfeito, mas o segundo não o é, pois apenas se mantém
acima dos 1000 downloads diários durante cerca de 10 semanas.
50. Na composição, referir que:
i) Utilização da calculadora gráfica com janela de visualização [- 5, 25] × [- 5, 25] e verificar no
gráfico que quando x = 7, y ≈ 13,001, sendo o primeiro objectivo conseguido;
ii) Conseguirá desempenhar as 21 tarefas?
lim 20 × (1 − e − 0,15 s ) = ... = 20 (1 – 0) = 20, logo por
x→+∞
muitas semanas que tenha de treino, o máximo de tarefas que conseguirá desempenhar é 20, logo
o segundo objectivo não é alcançado.
51.1 0,05
51.2 2,31 h = 2 h 19 m
24
51.3 Insere-se na calculadora as duas funções dadas e a função constante y = 1. Analisando os gráficos na
janela de visualização [0, 12] × [0, 8], verifica-se que o máximo da função P corresponde ao ponto
(4,3 ; 7,8); isto permite concluir que apenas o Carlos corre riscos de sofrer efeitos secundários
indesejáveis, uma vez que a concentração máxima do medicamento no sangue excede em 3 décimos
de miligrama por litro o limiar fixado. Além disso, os gráficos das funções P e C intersectam a
recta y = 1 nos pontos de abcissa 7,4 e 11,4, respectivamente; constata-se, por isso, que a Paula
deve tomar nova dose de medicamento
7 horas e 24 minutos após a ingestão da dose anterior,
enquanto que o Carlos só o deverá fazer 4 horas depois da Paula o ter feito.
25