DEFINIÇÃO
loga c  x  a x  c (Com a  0 , a  1 e c  0 ) a: base
3
Exemplos: log2 8  3  2  8 Base 10:
log10 c  x ou
Base e  2,71828 : loge c  x ou
c: logaritmando ou antilogaritmo x: logaritmo. log5 25  2  5 2  25 log c  x Exemplo: log1.0003 pois 103  1.000 ln c  x Exemplo: ln 51  loge 51  3,931826 pois e
3,931826
 51 Propriedades dos Logaritmos
Para A  0 , B  0 e k real: A
Base 10:  log( A  B )  log A  log B  log B   log A  log B  
k
 log A  k  log A 0
1
Pela definição: log 1  0 pois 10  1 e log 10  1 pois 10  10 . A
k
Base e  2,71828 :  ln( A  B )  ln A  ln B  ln B   ln A  ln B  ln A  k  ln A 

0
1
Pela definição: ln1  0 pois e  1 e ln e  1 pois e  e . Mudança de Base
log a c 
log b c
log b a
1
 PARTE A 
1) Calcule, quando possível, o valor de x, sabendo que: a) x = log 3 9 b) x = log 3 27 c) x = log 81 3 d) x = log 3
f) x = log 1 9 g) log 3 x = 3 h) log 3 x = 3 i) log 3 x = l) log x 9 = 3 m) log x 3 = q) x = log a 0 r) x = log a (-3) 3
k) log 3 x = 0 p) x = log a a
1
3
n) log x
1
3
1
3
1
= 5 243
s) x = log 100 e) x = log 3
1
27
j) log 81 x = 
1
2
o) x = log a 1 t) ln x = 1 3
0,001  1 

é: 10000  2 
d) 11. e) –1. 2) (G1 - IFSC 2012) O valor CORRETO da expressão E  log2 8 
a) 10000. b) 11,0000001. –7
c) 11  10 . 3) (G1 - CFTMG 2006) O valor de x, na equação log3 (2x - 1) - log3 (5x + 3) = -1, é a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 4) (G1 - CFTMG 2006) O valor de y = log 350 - log 7 é: a) 2 - log 2 b) 2 - log 5 c) 2 + log 2 d) 2 + log 5 +
+
5) (G1 - CFTMG 2005) Em Química, o pH é definido por pH = log 1/H , onde H é a concentração de hidrogênio, +
-8
em íons-grama por litro de solução. Para uma solução com H = 1,0 × 10 , o pH é igual a : a) 8 b) 1/8 c) 0,8 d) - 8 6) (INSPER 2013) O número de soluções reais da equação logx (x  3)  logx (x  2)  2 é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 7) (UFPR 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão S  18  log(t  1)  86. a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 8) (FATEC 2013) Considere o texto a seguir para responder à questãoa seguir. As “áreas de coberturas” a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na primeira. Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da cobertura de rádio para cada estação-base. 2
O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma frequência. Um modelo da perda (L) de propagação de sinais entre a antena transmissora e a receptora em espaço livre de obstáculos é, em decibel (dB), expressa por L  32,44  20  log10 f  20  log10 d em que f é a frequência de transmissão em mega-hertz (MHz) e d é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros (km). Considerando que um sinal de radiofrequência de 600 MHz é enviado de uma estação-base para uma antena receptora que está a 20 km de distância, em espaço livre, então o valor da perda de propagação desse sinal é, em dB, aproximadamente: (Adote: log10 2  0,30 log10 3  0,48 ) a) 106. b) 114. c) 126. d) 140. e) 158. 9) (G1 - CFTMG 2012) A solução, em R, da equação 62x  4.6 x  0 é a) 0. b) 1. c) log4 6. d) log6 4. 10) (UFPR 2012) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:  L 
log    0,08x  15 
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? a) 150 lumens. b) 15 lumens. c) 10 lumens. d) 1,5 lumens. e) 1 lúmen. 11) (INSPER 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei d  10t 2 , em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão M  1000  250log d. Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos. 3
12) (UFJF 2011) Sejam a, b e c números reais positivos, com c  1 . Sobre a função logarítmica, é correto afirmar: a) Se logc a  y , então a y  c b) logc (a  b)  (logc a)  (logc b)  a  logc a
c) logc   
 b  logc b
 1
d) logc     logc a a
e) logc (a  b)  logc a  logc b 13) (UCPEL 2011) Se loga 1024  20, então "a" vale a) 3 2 b) 2 c) 4 2 d) 4 3 e) 3 x
14) (UFRGS 2008) A solução da equação (0,01) = 50 é a) – 1 + log 2 . b) 1 + log 2 . c) – 1 + log2. d) 1 + log2. e) 2log2. 2
15) (G1 - CFTCE 2006) A solução da equação log x + log x = 1 é: a) 10
3
b) 10
1
1
c) 1 d) 10 3 e) 10  PARTE B 
16) (UFSM 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por V  6,775 1,05 
t 1
com t  1 correspondendo a 2011, t  2, a 2012 e assim por diante. Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares? Dados: log 2  0,3 e log 1,05  0,02. a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026. 17) (FGV 2012) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, é Q  A  (0,975)t . Adotando os valores  n 2  0,693 e  n 0,975   0,025 , o valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente: a) 25,5 anos b) 26,6 anos c) 27,7 anos d) 28,8 anos e) 29,9 anos 18) (UFPR 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06)  0,084.) 19) (UEPA 2012) Diversas pesquisas apontam o endividamento de brasileiros. O incentivo ao consumismo, mediado pelas diversas mídias, associado às facilidades de crédito consignado e ao uso desenfreado de cartões são alguns dos fatores responsáveis por essa perspectiva de endividamento. (Fonte: Jornal o Globo, de 4 de setembro de 2011 – Texto Adaptado) Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês sobre o saldo devedor e que um usuário com dificuldades financeiras suspende o pagamento do seu cartão com um saldo devedor de R$660,00. Se a referida 4
dívida não for paga, o tempo necessário para que o valor do saldo devedor seja triplicado sobre regime de juros compostos, será de: (Dados: log3  0,47; log1,12  0,05. ) a) nove meses e nove dias b) nove meses e dez dias c) nove meses e onze dias d) nove meses e doze dias e) nove meses e treze dias 20) (UFSJ 2013) Dados do Fundo de População das Nações Unidas informam que, em 2011, a população mundial atingiu o número de 7 bilhões. Considerando a taxa de crescimento populacional de 0,3573% ao ano, teremos 10 bilhões de habitantes daí a x anos. De acordo com esses dados, é CORRETO afirmar que x pode ser calculado pela expressão a) log1,003573  log 10 7  b) c) log10

log 7  3,573  103

1  log7
log1,003573
d) log 10 7   log0,003573 21) (UFPE 2012) Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a população será de 10 bilhões? Dados: use as  10 
aproximações log10    0,15 e log10 1,018  0,0075. 7
22) (FGVRJ 2012) Adotando os valores log2  0,30 e log3  0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio 23) (G1 - IFPE 2012) Nas aplicações financeiras feitas nos bancos são utilizados os juros compostos. A expressão para o cálculo é CF  CO (1  i)T em que CF é o montante, CO é o capital, i é a taxa e T o tempo da aplicação. Como CF depende de T, conhecidos CO e i, temos uma aplicação do estudo de função exponencial. Um professor, ao deixar de trabalhar em uma instituição de ensino, recebeu uma indenização no valor de R$ 20.000,00. Ele fez uma aplicação financeira a uma taxa mensal (i) de 8%. Após T meses, esse professor recebeu um montante de R$ 43.200,00. Qual foi o tempo T que o dinheiro ficou aplicado? Obs.: Use log (1,08) = 0,03 e log (2,16) = 0,33 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 24) (UPE 2012) Terremotos são eventos naturais que não têm relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter consequências ambientais devastadoras, especialmente quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsunamis. Uma das expressões para se calcular a violência de um terremoto na escala Richter é M
 E 
2
4,5
 log10 
 onde M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada (em joules) e E0  10 joules é a 3
E
 0
energia liberada por um pequeno terremoto usado como referência. Qual foi a ordem de grandeza da energia liberada pelo terremoto do Japão de 11 de março de 2011, que atingiu magnitude 9 na escala Richter? a) 1014 joules b) 1016 joules c) 1017 joules d) 1018 joules e) 1019 joules 5
 PARTE C 
25) (G1 - CFTMG 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como a) 2mn. b) m2n2
. 10
c)  m  n
10
. d) 2  m  n   1. 26) (G1 - CFTMG 2012) Se log3 a  x, então log9 a2 vale x
a) . 2
b) x. c) 2x. d) 3x. 27) (IME 2012) Se log10 2  x e log10 3  y, então log5 18 vale: a) x  2y
1 x
b) xy
1 x
c) 2x  y
1 x
d) x  2y
1 x
e) 3x  2y
1 x
28) (UDESC 2013) Se log3 (x  y)  5 e log5 (x  y)  3, então log2 (3x  8y) é igual a: a) 9 c) 8 b) 4  log2 5 d) 2  log2 10 e) 10 29) (ESPM 2012) Se log15 2  a e log10 2  b, o valor de log10 3 é: a) a 
a
 1 b
b) b 
b
 1 a
c) a 
b
 1 a
log 3 d) b 
a
 1 b
e) a 
a
 b b
log 2
30) (G1 - IFCE 2012) Considerando-se K = 100
+ 1000
, onde os logaritmos são decimais, é correto
afirmar-se que K é: a) múltiplo de 10. b) negativo. c) maior que 100. d) ímpar. e) irracional. 31) (UFRGS 2012) O número log2 7 está entre: a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.  PARTE D 
32) (UEG 2013) O gráfico da função y  log(x  1) é representado por: a) b) 6
c) d) 33) (PUCRS 2008) A representação 3
é da função dada por y = f(x) = logn (x) O valor de logn (n +8) é a) 2 b) 4 1
3
c) 6 d) 8 e) 10 

34) (G1 - CFTMG 2006) Sabe-se que  , 1 pertence ao gráfico de f(x) = logn x. O valor de b é a) 27 b) 81 c) 1
27
d) 1
81
35) (PUCMG 2006) De acordo com pesquisa feita na última década do século XX, a expectativa de vida em certa região é dada, em anos, pela função E(t) = 12 (150 log t - 491), sendo t o ano de nascimento da pessoa. Considerandose log 2000 = 3,32, uma pessoa dessa região, que tenha nascido no ano 2000, tem expectativa de viver: a) 68 anos b) 76 anos c) 84 anos d) 92 anos 7
3
4
36) (FATEC 2009) Seja a função f:IR  IR+* definida por f(x) = log10 x - log10(x /10 ). A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a reta de equação y - 2 = 0 é: -7
a) 10 . -3
b) 10 . c) 10. 2
d) 10 . 4
e) 10 . 37) (UNIFESP 2005) Com base na figura, o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos aos eixos coordenados, é: a) 2 2 b) 4 2 c) 8 d) 4 5 e) 6 3 38) (G1 - CFTMG 2005) Na figura, os pontos A e B pertencem à curva definida pela função f(x) = log2 x. A área do triângulo ABC, é a) 5
2
b) 3 c) 7
2
d) 4 39) (UNESP 2004) Considere as funções f(x) = x/2 e g(x) = log2x, para x > 0. a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8. b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação x/2 < log2x, e justifique por que /2 < log2. 40) (PUCMG 2004) Se logn3 > logn5, então: a) a < -1 b) a > 3 c) -1 < a < 0 d) 0 < a < 1 8
41) (UFSM 2002) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é a) 10 b) 2 c) 1 1
d) 2
e) -2 e) log 2 42) (UFF 2000) A figura representa o gráfico da função f definida por f(x)=log2x. A medida do segmento PQ é igual a: a) 6 b) 5 c) log25 d) 2  RESPOSTAS 
2) Alternativa B.
E  log2 8 
E 3
0,001  1 

10000  2 
103
10
4
3
 23
E  3  103 4  8
E  11  107
E  11  0,0000001
E  11,0000001.
3) Alternativa A. 6) Alternativa B. 4) Alternativa A. 5) Alternativa A.
Sabendo que logc a  logc b  logc ab para a, b e c reais positivos e c  1, vem logx (x  3)  logx (x  2)  2  logx (x  3)(x  2)  2
 x2  x  6  x2
 x  6.
Portanto, x  6 é a única solução real da equação. 9
7) a) S = –18.log(t+1) + 86 S = –18.log(9+1) + 86 S = –18.1 + 86 S = 68 Resposta: 68%. b) 50 = –18.log(t+1) + 86 –36 = –18.log(t+1) log (t+1) = 2 t + 1 = 100 t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos 8) Alternativa B.
L = 32,44 + 20 . (log 20 + log600) L = 32,44 + 20 . (log 2 + log 10 + log3 +log2 + log100) L = 32,44 + 20 . 4,08 L = 114,04 dB 9) Alternativa D. Fatorando o primeiro membro da equação, tem-se: 

6 x  6 x  4  0  6 X  0  não convém  ou
x
6  4  0 x
6  4 x  log6 4. 10) Alternativa D. Fazendo x = 12,5, temos: L
 L 
 L 
log    0,08  12,5  log    1 
 101  L  1,5 lumens. 15
 15 
 15 
11) Alternativa A. Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M  0. Determinando, agora a altura, para M  0. 1.000 – 250  log d  0  250  log d  1.000 
 log d  4  d  104  d  100.00 m
Determinando o tempo de queda. 10 t 2  10.000 2
t  1.000 t  1.000  32  1
12) Alternativa D. Temos que logc    logc a1   logc a. Portanto, a alternativa [D] é a única correta. a
13) Alternativa B. loga 1024  20  a20  1024  a20  210  a   2 Como a > 0, o valor possível é a  2. 14) Alternativa A. x
x
(0,01) x  50   1   50  log 1   log 100
2
 100 
 100 
 2 x  2  log 2
 x  1  log 2 .
10
15) Alternativa D. 16) Alternativa E.
13,55  6,775  1,05 
2  1,05 
t 1
t 1
log  2   log 1,05 
t 1
0,3   t  1  log1,05
t  1, representa 2011. 17) Alternativa C. 0,3  (t  1)  0,02
15  t  1
t  16
t  16 , representa o ano de 2026. t  27,7 M  mon tan te
C  capital

18) Cálculo de Juros Compostos M  C(1  i)t onde 
 i  taxa
 t  tempo
Portanto: 2000  1000(1  0,06)t  1,06 t  2  log2 1,06 t  log2 2  t(0,084)  1  t  11,9 anos 19) Alternativa D. O tempo necessário para que um capital C triplique, aplicado a uma taxa de 12%, capitalizado mensalmente, é dado por 3C  C(1  0,12)n  1,12n  3
 log1,12n  log3
 n  log1,12  log3  0,05  n  0,47
 n  9,4,
isto é, 9 meses e 0,4  30  12 dias. 20) Alternativa C. Solução:
11
P  7  109 1  0,003573 
x
10  109  7  1091,003573 x
10
 1,003573 x
7
 10 
log    log1,003573 x
 7 
log10  log7  x log1,003573
x
1  log7
log1,003573
21) A população P(t) após t anos contados de hoje, sabendo que a população hoje é de 7  109 habitantes e que a taxa de crescimento é 0,018, é dada por P(t)  7  109  (1  0,018)t  7  109  (1,018)t . Assim a população será de 10 bilhões para um valor de t tal que 10  109  7  109  (1,018)t  (1,018)t 
10
7
 log(1,018)t  log
10
7
 t  0,0075  0,15
 t  20 anos.
22) Alternativa B. Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano. Logo, 3C  C  (1  0,2)n  3  (1,2)n
n
 22  3 

 log3  log 
 10 
 log3  n  (2  log2  log3  log10) 0,48
0,08
 n  6.
n
23) Alternativa B.
43200  2000 1  0,08 
2,16  1,08 
T
T
log  2,16   log 1,08 
T
0,33  T  0,03
T  11
24) Alternativa D. M
 E 
 E
2
2
 log10 
   log10  4,5
3
E
3
 10
 0

 E  39
E
 E  1018  1013,5 
  9  log10  4,5  
4,5
2
10

 10 
12
25) Alternativa D.
log3,6  log
36
 log36  log10  log(22  32 )  1  log22  log32  1  2log2  3log3  1 
10
 2  (m  n)  1
log2 a2 2  log3 a

 log3 a  x. log3 9
2
26) Alternativa B. log9 a2 
27) Alternativa A. log5 18=
28) Alternativa E. Lembrando que logb a  c  a  bc , com a  0 e 1  b  0, temos log(32  2) log32  log2 2log3  log2 x  2y



10
log5
log10  log2
1 x
log
2
log3 (x  y)  5
log5 (x  y)  3

x  y  35
x  y  53
x  184

.
y  59
Portanto, log2 (3x  8y)  log2 [3  184  8  ( 59)]
 log2 1024
 log2 210
29) Alternativa B.  10.
Escrevendo log15 2 na base 10, obtemos log10 2
 30 
log10  
 2 
log10 2

log10 (3  10)  log10 2
log15 2 

log10 2
.
log10 3  log10 10  log10 2
Portanto, sabendo que log15 2  a e log10 2  b, vem a
b
b
 1  b  log10 3 
1  b  log10 3
a
b
 log10 3  b   1.
a
30) Alternativa D. 
K  100log3  1000log2  10log3
2
3
  10 
log 2
 32  23  17 (ímpar). 31) Alternativa C. 32) Alternativa D. log2 7  x  2x  7  2  x  3. A raiz da função y  log(x  1) é tal que log(x  1)  0  x  1  100  x  0. Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0). Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa pela origem. 13
33) Alternativa B. f (4)  2  2  log a 4  a  2.
log 2 (a 3  8)  log 2 2 4  4.
34) Alternativa B. 35) Alternativa C. 36) Alternativa C. 37) Alternativa D. 38) Alternativa D.
39) a) Observe a figura abaixo: b) S = ] 2; 4[. 2 < π < 4 logo, π ∈ S e f(π) < g(π) ⇔ π/2 < log2π. 40) Alternativa D. 41) Alternativa D. 42) Alternativa B.
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