Áreas de Figuras Planas
1. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro
3R, conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) R2
b)
R2
4
c)
R2
2
d)
3R2
2
2. (Espcex (Aman) 2014) Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e
C. Cada canhão, de acordo com o seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm
capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as distâncias entre A e B é de 9 km, entre
B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km2, a área total que está protegida
por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.
23
π
a)
2
23
π
b)
4
385
π
c)
8
195
π
d)
4
529
π
e)
4
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3. (Uece 2014) O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de
suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma
de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m 2, é
a) 80.
b) 90.
c) 108.
d) 1182.
4. (Uea 2014) Admita que a área desmatada em Altamira, mostrada na fotografia, tenha a
forma e as dimensões indicadas na figura.
Usando a aproximação 3  1,7, pode-se afirmar que a área desmatada, em quilômetros
quadrados, é, aproximadamente,
a) 10,8.
b) 13,2.
c) 12,3.
d) 11,3.
e) 15,4.
5. (Upe 2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um
círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à
medida do lado do hexágono.
Considere: π  3 e
3  1,7
Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada?
a) 2,0 cm2
b) 3,0 cm2
c) 7,2 cm2
d) 8,0 cm2
2
e) 10,2 cm
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6. (G1 - ifce 2014) O plantio da grama de um campo de futebol retangular foi dividido entre três
4
empresas. A primeira empresa ficou responsável por
da área total, a segunda empresa ficou
7
3
responsável por
da área total e a última empresa pelos 900 m2 restantes. Sabendo--se
10
que o comprimento do campo mede 100 m, sua largura é
a) 66 m.
b) 68 m.
c) 70 m.
d) 72 m.
e) 74 m.
7. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de
três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem
um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos
de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2
8. (G1 - cftrj 2014) Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm e BC = 4cm, podemos afirmar que
a sua área, em cm2, é um número:
a) no máximo igual a 9
b) no máximo igual a 8
c) no máximo igual a 7
d) no máximo igual a 6
9. (G1 - utfpr 2014) A área do círculo, em cm2, cuja circunferência mede 10π cm, é:
a) 10π.
b) 36π.
c) 64π.
d) 50π.
e) 25π.
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10. (Ufg 2014) Na figura a seguir, as circunferências C1, C2 , C3 e C4 , de centros O1, O2, O3 e
O4 , respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à
circunferência C de centro O e raio R.
Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os
centros O1, O2, O3 e O4 .
11. (Fgv 2014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC  5 e ABC  30, podese afirmar que a área do triângulo ABC é:
a) 3,025 3
b) 3,125 3
c) 3,225 3
d) 3,325 3
e) 3,425 3
12. (G1 - cftmg 2014) Um jardim geométrico foi construído, usando a área dividida em regiões,
conforme a figura seguinte.
Sabe-se que:
- AOB representa o setor circular de raio 2 m com centro no ponto O.
- CDEF é um quadrado de área 1 m2 .
π
3 2
- a área da região II é igual a  
m .
3
2 

- a região IV é reservada para o plantio de flores.
A área, em m2, reservada para o plantio de flores é
2π
π
3π
π
.
.
a) .
b) .
c)
d)
3
2
2
3
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13. (Ifsc 2014) Ao fazer uma figura, através da técnica de Kirigami (arte tradicional japonesa
de recorte com papel, criando representações de determinados seres ou objetos), uma pessoa
precisou recortar uma folha A4 no formato da figura a seguir (um triângulo retângulo e três
quadrados formados a partir dos lados do triângulo). Sabe-se que a soma das áreas dos três
quadrados é 18 cm2.
Em relação aos dados acima, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s)
CORRETA(S).
01) A área do quadrado 2 é 8 cm2.
02) Com as informações dadas, podemos determinar os valores dos lados dos quadrados 1 e
3.
04) A soma das áreas dos quadrados 1 e 3 é 9 cm2.
08) O lado do quadrado 2 vale 3 cm.
16) Os lados dos três quadrados apresentados estão relacionados pelo teorema de Pitágoras.
14. (Ufrgs 2014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro
nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.
A área da região sombreada é
a) 4π  8  8 2.
b) 4π  8  4 2.
c) 4π  4  8 2.
d) 4π  4  4 2.
e) 4π  2  8 2.
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15. (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O,
como apresentado na figura abaixo.
a) Calcule o ângulo AOB.
b) Calcule a área da região hachurada.
c) Calcule a área do triângulo ABC.
16. (G1 - ifce 2014) Um terreno retangular mede 270 m2 de área, cujo comprimento está para
sua largura, assim como 6 está para 5. A sua largura e o seu comprimento são,
respectivamente,
a) 18 m e 16 m
b) 19 m e 17 m
c) 18 m e 15 m
d) 17 m e 14 m
e) 20 m e 18 m
17. (G1 - ifsp 2014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e
possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.
Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a
a) 148.
b) 152.
c) 156.
d) 160.
e) 164.
18. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno A , de 50 m2 , em forma de retângulo,
são dadas, em metros, por 3x  2 e x  1.
Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as
medidas dos lados, porém com 250 m2 de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o
valor do parâmetro x ?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 9
e) 14
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19. (Pucrs 2014) A área ocupada pela arena do Grêmio, no bairro Humaitá, em Porto Alegre, é
de 200 000m2, e o gramado do campo de futebol propriamente dito tem dimensões de 105m
por 68m. A área de terreno que excede à do campo é, aproximadamente, de _________ m 2.
a) 7000
b) 70000
c) 130000
d) 193000
e) 207000
20. (Fgv 2014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$
400,00. O Sr. Joaquim possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a
diferença entre a medida do lado maior e a do menor é 22 metros. O valor do terreno do Sr.
Joaquim é:
a) R$ 102 600,00
b) R$ 103 700,00
c) R$ 104 800,00
d) R$ 105 900,00
e) R$ 107 000,00
21. (G1 - cftmg 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25m2. Sabendo-se
que o metro linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro
linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de
a) 420,25.
b) 450,00.
c) 500,00.
d) 506,75.
22. (Fgv 2014) A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de
outro semicírculo de diâmetro 2R e centro O.
a) Calcule o perímetro da parte sombreada.
b) Calcule a área da parte sombreada.
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23. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta
pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm2, é igual a
a) 12.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
24. (Acafe 2014) Na figura abaixo, o quadrado está inscrito na circunferência. Sabendo que a
medida do lado do quadrado é 8cm, então, a área da parte hachurada, em cm2, é igual a:
a) 4  π  2 .
b) 8  π  4  .
c) 8  π  2 .
d) 4  π  4  .
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25. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e
AB  BC  CD  DE  EA são arcos de circunferência cujo raio mede a.
Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a
5a2  π
3 
a)
 

2 3
2 
π
3
b) 5a2  

2 
3
a2
4π  5 3
4


d) a2  4π  5 3 
c)
26. (Ufrgs 2013) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em
vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo.
Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede
a) 3  2 2.
b) 6  4 2.
c) 12  4 2.
d) π   3  2 2 .
e) π   6  4 2 .
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27. (G1 - cftmg 2013) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm está dividido em quatro partes
de bases paralelas e com a mesma altura, como representado na figura abaixo.
A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja área, em cm2, é
a)
3
.
16
b)
5 3
.
32
c)
7 3
.
64
d)
9 3
.
128
28. (G1 - cftrj 2013) Em uma parede retangular de 12m de comprimento, coloca-se um portão
quadrado, deixando-se 3m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao redor do portão é
39m2 (figura abaixo). Qual é a altura da parede?
a) 3m
b) 3,9m
c) 4m
d) 5m
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29. (G1 - utfpr 2013) Seja α a circunferência que passa pelo ponto B com centro no ponto C e
β a circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada.
A medida do segmento AB é igual à medida do segmento BC e o comprimento da
circunferência α mede 12π cm. Então a área do anel delimitado pelas circunferências α e β
(região escura) é, em cm2, igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
108π.
144π.
72π.
36π.
24π.
30. (Ibmecrj 2013) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 1. A
razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo
quadrado ABCD, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
.
2
1
.
3
3
.
5
5
.
7
5
.
8
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31. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles
ABC, conforme a figura abaixo.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S  φ e T  φ , podemos
afirmar que a razão S  φ T  φ , quando φ  π 2 radianos, é
a) π 2.
b) 2π.
c) π.
d) π 4.
32. (Ufg 2013) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como
ilustra a figura a seguir.
Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de
borracha, determine a área da região varrida por essa palheta.
Dado: π  3,14
33. (Uepb 2013) Sabendo que a área do triângulo acutângulo indicado na figura é 100 3 cm2 ,
o ângulo β é:
a)
π
6
b)
π
4
c)
π
3
d)
π
8
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e)
π
5
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34. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse
mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na
qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no
segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF  15, AG  12, AB  6,
CD  3 e DF  5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
a) 100 km2
b) 108 km2
c) 210 km2
d) 240 km2
e) 444 km2
35. (Cefet MG 2013) Na figura seguinte, representou-se um quarto de circunferência de centro
O e raio igual a 2 .
Se a medida do arco AB é 30°, então, a área do triângulo ACD, em unidades de área, é
3
a)
.
2
3
b)
.
4
c) 2 .
d) 3 .
e) 6 .
36. (Mackenzie 2013) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com
elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes
maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede
a) 5 m
b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m
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37. (Ufrgs 2013) Observe a figura abaixo.
No quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da
região sombreada é
π
a) 3  .
4
π
b) 4  .
2
c) 3  π.
d) 4  π.
π
e) 3  .
2
38. (Espm 2013) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de
círculo de centro A, tangente ao lado CD em F.
Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é igual a:
a) 48 cm2
b) 72 cm2
c) 56 cm2
d) 64 cm2
e) 80 cm2
39. (Uemg 2013) Para a construção de uma caixa sem tampa, foi utilizado um pedaço
retangular de papelão com dimensões de 35 cm de comprimento por 20 cm de largura. De
cada um dos quatro cantos desse retângulo, foram retirados quadrados idênticos, de lados
iguais a 5 cm de comprimento. Em seguida, as abas resultantes foram dobradas e coladas.
Para revestir apenas a parte externa da caixa construída, foram necessários
a) 600 cm2 de revestimento.
b) 615 cm2 de revestimento.
c) 625 cm2 de revestimento.
d) 610 cm2 de revestimento.
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40. (Ufsj 2013) A seguinte figura é composta por polígonos regulares, cada um deles tendo
todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.
A medida do lado de cada um desses polígonos é igual a b unidades de comprimento. Com
relação a essa figura, é INCORRETO afirmar que
3
a) a área total ocupada pelo hexágono é
3 b2 unidades de área.
2


b) a área total da figura é 12  6 3 b2 unidades de área.
c) a área total ocupada pelos triângulos é
3
3 b2 unidades de área.
2
d) a área total ocupada pelos quadrados é 12b2 unidades de área.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
A área do setor é dada por
R  AB R  R R2


.
2
2
2
Resposta da questão 2:
[D]
Admitindo x, y e z os raios das circunferências de centros A,B e C , respectivamente, temos:
x  y  9

y  z  8
x  z  6

Resolvendo o sistema, temos:
x  3 2, y  11 2 e z  5 2.
Calculando, agora, a soma das áreas de todos os círculos, temos:
2
2
2
195π
7
 11 
5
A  π   π   π  
km2 .
2
2
2
4
 
 
 
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Resposta da questão 3:
[C]
Considerando h a medida da altura do trapézio e A a medida de sua área, temos:
h2  122  152  h  9m.
(15  9)  9
A
 108m2
2
Resposta da questão 4:
[C]
sen30 
y
 y  2,5
5
cos30 
x
5 2
x
 4,25
5
3
Portanto, a área pedida será:
A  (1,5  x)4  xy
A  (1,5  4,25)4  4,25  2,5
A  23  10,625  12,375km2
Resposta da questão 5:
[C]
O resultado pedido é dado por
3  22  3
 π  12  6  1,7  3  7,2cm2 .
2
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Resposta da questão 6:
[C]
Seja
a largura do campo.
Tem-se que
61 9
4 3 
1     1

.
70 70
 7 10 
Portanto,
9
 100   900 
70
 70 m.
Resposta da questão 7:
[A]
Seja
a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina.
Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do
apótema do hexágono, obtemos
 25  tg30 
25 3
m.
3
Desse modo, a área da piscina é dada por
3
3 2 3 9  25 3
 
2
2  3
1875

 3
2
2

  3

 1.623,8 m2
e, portanto, 1.600 m2 é o valor que mais se aproxima da área da piscina.
Resposta da questão 8:
[D]
Vamos considerar a a medida do ângulo formado por AB e BC.
Temos então a área do triângulo pedida
A
1
 3  4  sen α
2
Que será máxima quando sen a for máximo, ou seja, sen a  1, portanto a área máxima do
triângulo será:
A máx 
1
 3  4  1  6cm 2
2
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Resposta da questão 9:
[E]
2π  r  10π cm,
Logo, r = 5 cm.
Portanto, sua área será dada por: A  π  52  25π cm2.
Resposta da questão 10:
Considere a figura, em que AB é um diâmetro da circunferência de centro O e raio R.
Como o triângulo OO1O2 é retângulo isósceles, segue-se que OO2  OO4  r 2. Logo,
AB  AO2  O2O4  O4B  2R  2r  2r 2
R
r
2 1
 r  ( 2  1)  R.
Portanto, como O1O2O3O4 é quadrado, temos
O1O2O3O4  (2r)2
 4  [( 2  1)  R]2
 4(3  2 2 )  R2 .
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Resposta da questão 11:
[B]
Tem-se que
cos ABC 
AB
BC
 AB 
5 3
u.c.
2
Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é
(ABC) 

1
 AB  BC  sen ABC
2
1 5 3
1

5
2 2
2
 3,125 3 u.a.
Resposta da questão 12:
[C]
Sabendo que (CDEF)  1m2 , é imediato que CF  1m. Logo, do triângulo OCF, vem
senCOF 
CF
OF
 senCOF 
1
2
 COF  30.
Daí, tem-se que AOF  90  30  60. Portanto, sendo AOF  2  COF, encontramos
(AOF) 
2 π  22 2π 2


m .
3
4
3
Resposta da questão 13:
04 + 08 + 16 = 28.
A área do quadrado 1 será dada por A1  b2 , onde b é a medida do lado desse quadrado.
A área do quadrado 2 será dada por A 2  a2 , onde a é a medida do lado desse quadrado.
A área do quadrado 3 será dada por A3  c 2 , onde c é a medida do lado desse quadrado.
Podemos, então, escrever o seguinte sistema:
2
2
2

a  b  c
 2
2
2

a  b  c  18
Resolvendo o sistema, temos 2a2  9, ou seja, a = 3.
[01] Falsa. A área do quadrado 2 é 9.
[02] Falsa. O sistema possui duas equações e três incógnitas.
[04] Verdadeira. Pois, b2 + c2 = a2 = 9.
[08] Verdadeira. Pois, a = 3.
[16] Verdadeira. Pois formam um triângulo retângulo.
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Resposta da questão 14:
[A]
Cálculo da área do octógono regular:
x2  x2  22  x  2
Portanto, a área A1 do octógono regular será dada por:
 x2 
2
A1   2  2x   4  

 2 



A1  2  2 2

2
2
4
2
 8 2 8
2
Cálculo da área A 2 dos oito semicírculos:
A2  8 
π  12
 4π
2
Logo, a área da figura será dada por:
A  A1  A2  A  8 2  8  4π (Alternativa [A]).
Resposta da questão 15:
a) Sendo ΔABC equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos
congruentes de medida igual a
b) Sabendo que o lado
360
 120.
3
de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio r, é dado por
 r 3, segue-se que AB  1 3  3 u.c. Portanto, a área pedida é igual a
1 
( 3)2  3  1
  π  12 
 (4π  3 3) u.a.

3 
4
 12
c) De [B], vem
(ABC) 
( 3)2  3 3 3

u.a.
4
4
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Resposta da questão 16:
[C]
Considerando os lados do triângulo 6x e 5x, temos a seguinte equação:
5x  6x  270
30  x 2  270
x2  9
x3
Portanto, os lados do retângulo medem 6  3  18m e 5  3  15m.
Resposta da questão 17:
[C]
Dimensões da praça:
15 + 2 + 2 = 19m
20 + 2 + 2 = 24m
Portanto, sua área total será 19  24  456 m2.
Área da parte interna será 15  20  300 m2.
Logo, a área da calçada será 456  300  156 m2.
Resposta da questão 18:
[B]
Sendo 50 m2 a área do terreno retangular de dimensões 3x  2 e x  1, segue que
(3x  2)(x  1)  50  3x 2  x  52  0
 x  4 m.
Se x  x0 é o valor de x tal que (3x0  2)(x0  1)  250, temos
3x02  x0  252  0  x0  9.
Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em 9  4  5 metros.
Resposta da questão 19:
[D]
200000  105  68  192860m2
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Resposta da questão 20:
[B]
Sejam a e b as dimensões do terreno, com a  b. Logo,
2  (a  b)  78


a  b  22
a  b  39

a  b  22
61

a  2 m

.
b  17 m

2
Daí, segue que o valor do terreno do Sr. Joaquim é
61 17
  400  R$ 103.700,00.
2 2
Resposta da questão 21:
[C]
Lado do quadrado: 5m
Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m
Valor pedido: 20  (23,25  1,75)  20  25  R$500,00
Resposta da questão 22:
a) Considere a figura.
Como AO  BO  AB  R, tem-se que o triângulo ABO é equilátero. Logo, o perímetro da
parte sombreada é dado por
1
1
R
 2π  R   2π 
6
2
2
5 πR

u.c.
6
ACB  ADB 
b) A área da parte sombreada é igual a
2 
1
1
R2  3  R 2  3 1
R
 π       π  R2 

 π  R2

2
2
4 
4
24
6

R2 
π
 3   u.a.
4 
6
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Resposta da questão 23:
[D]
A área pedida é dada por
 1 2  2 1 2  11
2
4 
 
  4  6  24cm .
2
2
2 2 
Resposta da questão 24:
[C]
Seja r o raio do círculo. Tem-se que
2  r  8 2  r  4 2 cm.
Portanto, a área hachurada, em cm2 , é dada por
1
1
 π  (4 2)2    π  (4 2)2  82   16 π  8 π  16
2
4
 8  ( π  2).
Resposta da questão 25:
[A]
Importante observar que a figura não mostra o círculo circunscrito ao pentágono regular, mas,
sim, cinco segmentos circulares, como o da figura abaixo.
Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor circular, encontra-se a área do
segmento circular. Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área pedida.
 π  a2  60 a2  3  5  a2  π
3
A T  5. 


 

 360

4 
2 3
2 

Resposta da questão 26:
[A]
É fácil ver que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro dos círculos. Logo, se r é a medida
do raio dos círculos, então 2r  2 2  r  2. Daí, segue que AB  AC  2  2 e, portanto,
(ABC) 

AB  AC
2
(2  2)2
2
 3  2.
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Resposta da questão 27:
[C]
A(ABCD) = A(BAC) – A(BDE)
A  ABCD  
2
12 3  3 
3
3 9 3 7 3
  



4
4
4
4
64
64
 
Resposta da questão 28:
[C]
h = altura da parede.
L = medida do lado do portão (L = 12 – 6 – 3 = 3m)
A = área total (parede ao redor do portão + portão).
A1 = área da parede ao redor do portão.
A2 = área do portão;
Considerando os dados acima, escrevemos:
A = A1 + A2
12.h = 39 + 32
12h = 48
h= 4m
Portanto, a altura da parede é de 4m.
Resposta da questão 29:
[A]
CB  AB  x
2πx  12π
x6
Logo a área será
A  π.(122  62 )  108π
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Resposta da questão 30:
[A]
A área do quadrado ABCD é igual a 122  144 u.a.
A figura escura é constituída por 16 losangos de diagonais 3 2 e
por
16 
2. Logo, sua área é dada
3 2 2
 48 u.a.
2
Portanto, o resultado é
48
1
 .
144  48 2
Resposta da questão 31:
[A]
Sejam φ  π 2  90, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.
x 2  x 2   2R   x 2  2.R2
2
1
 π  R2
S(φ) 2
π  R2 π  R2 π



 2
2
2
1
T(φ)
x
2R
xx
2
Resposta da questão 32:
A
135π(502  (50  40)2 )
 900π  900  3,14  2826cm2
360
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Resposta da questão 33:
[C]
A área do triângulo é tal que
1
3
 16  25  sen β  100 3  sen β 
.
2
2
Portanto, como o triângulo é acutângulo, segue que β 
π
rad.
3
Resposta da questão 34:
[E]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE.
Sabendo que AF  15cm, AG  12cm e AB  EG  6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
2
EF  GF  EG  EF  32  62
2
 EF  32  5
 EF  3 5 cm.
Logo, dado que DF  5 5 cm, obtemos ED  5 5  3 5  2 5 cm.
Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos
DH DE
DH 2 5



6
EG EF
3 5
 DH  4cm.
Desse modo, a área pedida, em cm2, é dada por
(15  12)
(12  3)
6 
4
2
2
 81  30
(ABEF)  (BCDE) 
 111.
Por conseguinte, se x é a área real da APP, então
2

111 1010 
1
10
10

  x  111 10  4  10
x
200000


 x  444km2 .
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Resposta da questão 35:
[A]
A medida do arco BD é 60°.
E o ângulo DAC mede 30°, pois é ângulo inscrito do arco BD.
2
2
A medida do segmento AD será dada por AD2  2  2  AD  2
A área A do triângulo ABC é igual a metade da área de uma triângulo equilátero de lado 2 (ver
figura).
22 3
3
Logo, A  4 
.
2
2
Resposta da questão 36:
[B]
Perímetro do triângulo: P = 3x, onde x é a medida do lado.
Perímetro do hexágono: 63 – 3x, onde (21 –x)/2 é a medida do lado;
Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte
equação:
2
3
3
 21  x 
6

 6  x2 
 441  42x  x 2  4x 2  3x 2  42x  441  0  x 2  14x  147  0

4
4
 2 
Resolvendo a equação, temos x = – 21 (não convém) ou x = 7.
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Resposta da questão 37:
[E]
Considere a figura.
Traçando EG AD e FH AB, dividimos o quadrado ABCD em quatro quadrados de lado
2
 1. Assim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre o triplo da área do
2
quadrado PFCG, e a área do semicírculo de raio 1, ou seja,
3  12 
π  12
π
 3 .
2
2
Resposta da questão 38:
[C]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de C sobre AD.
Como CD é tangente ao quadrante no ponto F, segue que o triângulo AFD é retângulo em F.
Além disso, CH  AB  8cm e ADF  HDC implicam em CD  AD  10cm (os triângulos AFD
e CHD são congruentes). Daí, é imediato que DH  6cm e, portanto, BC  4cm.
A área do trapézio ABCD é igual a
 AD  BC 
 10  4 

  AB  
8
2


 2 
 56cm2 .
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Resposta da questão 39:
[A]
A  35  20  4  52  600 cm2 .
Resposta da questão 40:
[B]
Soma das áreas dos quadrados: 12b2 .
Soma das áreas dos triângulos: 6 
Área do hexágono: 6 
b2 3 3b2 3

.
4
2
b2 3 3b2 3

.
4
2
Área total da figura: 12b2  3b2 3.
Portanto, a afirmação incorreta é a da alternativa [B].
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