FUNDAMENTOS DA ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: IMPLICAÇÕES
DA CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO NA APRENDIZAGEM
DA MATEMÁTICA.
Reginaldo Rodrigues Da Costa – Puc Pr
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Resumo
O texto que se segue é a sistematização de um trabalho desenvolvido com acadêmicos de pedagogia
sobre a alfabetização matemática e a construção do conceito de número. O intuito é esclarecer de
que forma encaminhamos a disciplina de Fundamentos de Ensino da Matemática. O processo
descrito neste trabalho se configura em pesquisa-ensino, ao mesmo tempo em que ensinamos,
coletamos e sistematizamos dados em conjunto com os acadêmicos. Iniciamos o processo com as
pré-concepções sobre as ações de quantificar, contar, verbalizar a série numérica, representação
gráfica das etapas que compõem a construção do conceito de número pela criança. Nessa prática
descrita incentivamos os acadêmicos a buscar, nos referenciais disponíveis, o aporte teórico
necessário para realizar análise das suas pré-concepções. Sendo assim, o texto que se apresenta
inicia com uma fundamentação teórica, com base piagetiana, sobre a construção do conceito de
número. Posteriormente fazemos uma sistematização das concepções dos alunos/professores, com
suas análises. Por fim, fazemos uma análise e nossas considerações sobre o processo de
alfabetização matemática e de numeralização pelas crianças em idade pré-escolar e escolar.
Palavras-chave: número, contar, quantificar, verbalizar, representação numérica, alfabetização
matemática.
Introdução
O ensino da matemática carrega consigo traços de uma prática mecânica da sua forma de ser
ensinada. Os objetivos são reformulados para que ocorram mudanças, principalmente nos seus
resultados. Metodologia como a resolução de problemas, a modelagem matemática, o uso dos
jogos, a introdução da informática, a utilização da história da matemática, são opções para a
melhoria. A formação do professor é constantemente investigada, ou seja, a preocupação existe,
mas parece que não obtemos os resultados esperados.
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Talvez essas características sejam frutos de concepções de que a matemática é difícil,
complicada e que a grande maioria do alunado não aprende. Muitas concepções equivocadas
também resultam num fazer matemático na escola que não aproxima o indivíduo do conhecimento,
pelo contrário, só o distancia cada vez mais.
Todas essas considerações nos motivaram a sistematizar o encaminhamento metodológico
desenvolvido junto com nossos alunos do curso de graduação em Pedagogia, a construção do
conceito de número pela criança e a importância dessa construção para a aprendizagem da
matemática nas séries futuras.
O estudo contou com uma fundamentação teórica de base piagetiana, no que se refere à
construção do conceito de número, aos objetivos de se “ensinar” número, à natureza do número e
aos princípios de ensino. O objetivo inicial é apontar as pré-concepções dos alunos/professores do
quantificar, do contar, do verbalizar a série numérica e também da representação gráfica dos
numerais. Mesmo sabendo da importância desses elementos para a aprendizagem matemática, os
alunos/professores, digo isso porque alguns já atuam na educação infantil, têm concepções
equivocadas de como realizar o trabalho pedagógico para sua construção.
A teoria de Piaget na construção do conceito de número.
Nas discussões ocorridas na sala de aula sobre a construção do conceito de número,
iniciamos com a abordagem a respeito da natureza do número. Segundo Piaget “o número é a
relação criada mentalmente por cada indivíduo” (KAMII, 1990, p.15). Mas para que esta estrutura
seja estabelecida, é preciso que anteriormente a criança construa relações e conhecimento sobre
elementos físicos (objetos), essas relações são denominadas simples, pois servirão para a construção
de outras estruturas mentais mais complexas.
Essas relações serão resultantes do contanto da criança com objetos presentes no seu
contexto, isso é o denominado de conhecimento físico que se dá pela abstração empírica, a criança
distingue os objetos pela suas características físicas como a cor, por exemplo. A isto podemos
chamar de estrutura simples que será o ponto de partida para outras estruturas mais complexas.
Mas como as estruturas complexas são estabelecidas? Para Piaget este processo se dá pela
abstração reflexiva, ou seja, a criança consegue estabelecer relações entre os objetos a partir do
conhecimento existente sobre esses objetos que estejam na sua mente, mas isso depende da
abstração empírica. Isso se configura no que na teoria de Piaget é denominado “de dentro para
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fora”, ou se preferir, a criança estaria construindo um conhecimento inicial sobre um objeto pela sua
manipulação, isso estaria sendo “guardado em sua mente” e quando estimulado por elementos
externos, teria condições de buscar “lá dentro” conhecimento para relacionar com a realidade
externa. Na construção do número, a abstração reflexiva será responsável por essa habilidade da
criança, mas essa abstração não ocorre separada da sua forma empírica (KAMII, 1990). Isso nos
chama a atenção para o fato do construtivismo piagetiano considerar o uso de materiais concretos
para a estruturação desses conhecimentos.
Segundo Piaget, o número é resultante de duas relações que a criança elabora: a ordem e a
inclusão hierárquica. A ordem não se configura necessariamente pela arrumação de objetos numa
linha, mas na capacidade de estabelecer uma organização entre os objetos de um determinado
conjunto. Essa ordenação é mais mental que propriamente física, isto se torna necessário para que a
criança não corra o risco quando solicitada a contar, conte um mesmo objeto duas vezes, ou deixe
de contar um deles. É interessante ressaltar que ao pedir para uma criança contar elementos de um
conjunto é possível que ela aponte para o último objeto que contou, pois para ela, eles são
individuais e não pertencem à uma mesma série. A partir do momento que ela os percebe
pertencentes ao mesmo conjunto e que para prosseguir na sua contagem é preciso incluir cada
elemento dentro do outro, estabelece a inclusão hierárquica. Ou seja, não poderíamos contar o dois,
sem o um, da mesma forma que não poderíamos ter o três sem o dois e assim por diante. Fica
evidente que além de organizar os objetos de um conjunto, a criança deve perceber que todos os
objetos são desse mesmo conjunto.
Essas relações são constituídas também pela conservação de quantidade. Os testes de Piaget
a respeito da conservação entre dois conjuntos de elementos, vêm contradizer a falsa idéia de que o
número não é conhecido “inatamente, por intuição ou empíricamente pela observação” (KAMII,
1990, p. 26). Assim podemos reafirmar que a construção do número não se dá pela linguagem e que
cada ser humano elabora por meio de relações criadas e coordenadas por cada um de nós.
No que se refere à conservação, Piaget descreveu três níveis a respeito dessa habilidade, que
foram obtidos pelos seus testes. No nível um a criança não consegue estabelecer a igualdade e nem
a quantidades entre dois conjuntos. O nível dois é percebido quando a criança, que se encontra entre
quatro e cinco anos, consegue manter a igualdade no que se refere ao espaço onde se encontra
determinada quantidade, mas não conserva a mesma. Já no nível três as crianças são conservadoras
e não se confundem com contra argumentações sobre a forma de organização espacial dos
elementos dos conjuntos utilizados nos testes. Piaget também descreveu que é possível um nível
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intermediário entre o nível dois e o nível três, em que a criança poderá responder somente uma das
questões nas contra-argumentações sobre as quantidades dos conjuntos.
O que podemos entender até o momento é que a construção do conceito de número pela
criança se dá por partes e de uma forma não pré-fixada ao invés de uma única vez. Por isso se
enfatiza que os números menores são essenciais para a construção de outros maiores, daí a
justificativa de que na alfabetização matemática, em relação à quantidade, iniciamos pelo número
um.
O que se pretender ao “ensinar” o número?
No ensino tradicional da matemática que vivenciamos, dificilmente teríamos algo diferente
de: fazer exercícios sem falar com o colega e argumentar junto ao professor sobre uma determinada
resolução, ou seja, não tínhamos espaço para argumentar ou pensar matematicamente. Sobre o
número, algumas ações ainda estão cristalizadas no seio da escola, como repetir verbalmente a série
numérica, e assim, achar que o número já está construído, ou que ao grafar os símbolos dos
numerais, uma criança já esta alfabetizada matematicamente.
Sobre o “ensinar” número é pretendido que a criança construa mentalmente uma estrutura do
número, para que futuramente possa continuar a elaborar conhecimento sobre as quantidades
futuramente. Ainda, se pretende que neste processo de construção a criança tenha condições de
desenvolver um pensamento ativo a sua maneira, ou seja, que possa argumentar e defender suas
idéias. Neste aspecto a construção do número é a principal meta, já a contagem e a escrita pode
acontecer após a elaboração da estrutura mental sobre o número, não quer dizer que negamos a
importância desses dois aspectos da representação numérica, mas acreditamos que elas possam
ocorrer mais tarde, pois a construção do número contribuirá para essas atividades, caso isso não
tenha ocorrido, é possível que a repetição e a memorização, sejam o mais provável, que esteja
acontecendo.
O processo de pesquisa e ensino do número.
Descreveremos agora resultados obtidos de um processo de ensino sobre a construção do
conceito de número com futuros professores, especificamente, com acadêmicos de pedagogia de
duas instituições de ensino superior. Quando iniciamos a tarefa sobre fundamentos de ensino da
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matemática, sempre nos preocupamos em articular a prática e a teoria de aprendizagem desta área
do conhecimento. Percebemos também que alguns alunos/professores tinham cristalizado em suas
concepções um ensino de matemática ainda tradicional e cheio de regras e fórmulas. Isto também é
percebido nas formas que esses professores viam o ensino de número, tanto na educação infantil
como nas séries iniciais do ensino fundamental.
Sendo assim, pensamos num encaminhamento que pudesse partir das pré-concepções e que
articulasse com a teoria existente sobre a construção do conceito de número. Uma primeira ação foi
a de diferenciar ou se aproximar conceitos como quantificar, verbalizar, contar e representar
graficamente o número. A importância dessa atividade com os alunos/professores reside no fato de
que alguns as vêem como sinônimos, ações isoladas e equivocadas no sentido de que uma ação é a
mesma coisa que a outra, ou que duas são uma mesma ação, etc.
Para que nossa ação pedagógica não se caracterizasse numa prática fechada e estática,
partimos das concepções dos alunos/professores sobre ações de contar, quantificar, representar e
verbalizar nos seguintes aspectos: O que é? Quando? Como? Com que se faz?
Na seqüência introduzimos referenciais teóricos sobre as ações envolvidas na alfabetização
numérica. Nesta atividade os alunos/professores organizados em quatro equipes tinham que apontar
as características de cada ação com o apoio do material teórico disponibilizado, que contemplava
autores como Kamii, Lorenzato, Sinclair, Moreno, Danyluk, Brizuela.
Após essa atividade os dados coletados com o grupo sobre as concepções, foram
organizados (foram três grupos de alunos/professores – aproximadamente 80 sujeitos - envolvidos
neste processo sendo que, em um deles a organização dos dados foi realizada por eles, nos outros
dois a transcrição das concepções foi feita e disponibilizada para o grupo na continuidade da
atividade) e na seqüência deveriam ser analisadas com base no referencial teórico. Cabia a cada
equipe apontar se as pré-concepções iam ao encontro ou de encontro com a teoria disponível sobre
as ações. Assim, cada equipe fez sua análise e apresentou ao grupo. Posteriormente foram formadas
novas equipes, com pelo menos um integrante de cada ação para socializar e também receber dos
colegas as concepções teóricas das características do contar, do quantificar, do verbalizar e do
representar o número.
O quantificar e suas características.
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Inicialmente apresentamos as concepções dos alunos/professores sobre o quantificar,
posteriormente as análises realizadas pelos próprios acadêmicos e por fim as características
apontadas pelos autores sobre as ações envolvidas na construção do conceito de número.
Para os alunos/professores o quantificar é ter noção de quantidade, descobrir a quantia de
números, estabelecer a relação de quantidade, quando a criança consegue perceber a quantidade de
elementos de um conjunto, representar números através de objetos, agrupar os objetos e saber a
quantidade, conhecer a quantidade mentalmente, saber se tem mais, menos, se é igual ou diferente.
Em relação ao momento quando as crianças conseguem quantificar, foram apontadas que
esta habilidade quando elas comparam duas quantidades, quando percebem a quantidade de dois
conjuntos em um mesmo espaço e quando já sabem contar. Percebeu-se também que idades foram
apontadas, ou seja, para alguns alunos/professores o quantificar acontece com dois anos, três anos e
meio, quatro anos, com cinco e que dependendo da criança com sete anos.
No como se faz, as atividades apontadas pelos alunos/professores envolvem experimentação
e comparação, o professor mostra uma quantidade de objetos para que a criança assimile o quanto
tem, ou pela exploração de materiais alternativos. São citados exemplos com ações que envolvam
jogos e brincadeiras com material concreto, a ligação do número ao objeto contado e vinculando a
oralização.
Já em relação aos recursos, são indicados materiais pedagógicos como os blocos lógicos.
Bolinhas, tampinhas, objetos diversos e até pessoas são apontadas pelos alunos/professores com
elemento que possam auxiliar na quantificação.
As análises feitas pelos grupos não apontam maiores discrepâncias, ao ponto de afirmar que
a “fundamentação teórica condiz com o relato da turma”. Um dos grupos indica que um aspecto
considerado conflituoso é apontar uma idade específica para que o quantificar ocorra. Já em relação
ao como se faz e com que se faz os grupos afirmam que há uma concordância, pois, as brincadeiras
e os objetos concretos são enfatizados nos referenciais utilizados.
Dos apontamentos dos grupos é possível identificar algumas contradições, mas quando
usam a teoria, afirmam que o quantificar, é “quando a criança está habilitada a identificar que o
número de objetos é igual ao conjunto que ela possui e identificando quantidades iguais ou
diferentes”.
Numa outra afirmação o grupo se utiliza de Kamii (1990) para conceituar o quantificar:
“Quantificar é a capacidade da criança representar um número com símbolos ou signos a partir de
sua construção lógico-matemática”. Segundo os alunos/professores a quantificação acontece quando
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a criança é motivada e também quando a quantidade é significativa para ela e que a idade para isto é
variável, entre 5 e 6 anos, dependendo do ambiente e quando demonstra a capacidade de estabelecer
várias relações entre os objetos e as coisas que utiliza para quantificar. A forma mais apropriada
para realizar ações que possam levar a criança a quantificar está relacionada com situações que
fazem parte do dia-a-dia e que sejam significativas, para isso o professor deve encorajar a criança a
resolver problemas que envolvam essas situações.
O contar e suas características
As pré-concepções referentes ao contar vão desde expressar e apontar a quantidade, falar os
números sem representa-los, falar/escrever número a número, falar o número termo a termo, ou
sejam ligar o número ao objeto representado, numerar os objetos, relacionar símbolos associando
quantidades e saber falar o número verbalizando. Em relação ao contar, os equívocos são
percebidos, visto que a maioria dos alunos/professores entende o contar como a simples oralização
das palavras atribuídas aos números. O momento quando se conta é entendido de diversas formas
pelos participantes, sendo que, alguns apontam esta idade compreendida entre um, dois, três, quatro
e cinco anos. Mas também são indicadas atitudes da criança para evidenciar essa ação, como
aumentar uma quantidade, quando souber uma quantidade, quando tiver a noção de seqüência ou
quando ordenar coisas.
Como desenvolver atividades sobre o contar é repleto de exemplos, mas pouco se esclarece
de como isso pode realmente ser feito, ou seja, os alunos/professores citam a observação e a
classificação, com a ligação do número aos objetos contados e até mesmo estimulando a falar o
número. Os recursos apontados são os mesmos da quantificação, ou seja, materiais pedagógicos que
acrescentam dedos, palitos e dinheiro.
Em análises, os grupos se restringem em mencionar que as respostas estão de acordo ou não
com os autores e não apontam as incoerências, talvez por não conseguirem identifica-las ou por não
perceberem as contradições e equívocos nas pré-concepções.
O contar é caracterizado quando a criança atribui relações segundo uma ordem, mas ao
mesmo tempo considera o conjunto onde um elemento ou objeto esteja inserido, esses aspectos se
referem à ordinalidade e à cardinalidade. Segundo Moreno “recitar a série não é a mesma coisa que
contar elementos de um conjunto. Isto é, o sujeito pode recitar a série até um determinado número
mas não necessariamente poderá utilizar esse conhecimento na hora de contar objetos ou desenhos
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(2006, p.56)”. Segundo a autora é preciso que a criança perceba que a forma que ela usa para contar
não vai alterar a quantidade, ou seja, de cima para baixo, de baixo para cima, da esquerda para a
direita ou da direita para a esquerda. Mas o que importa necessariamente, é a ordem e o aspecto
cardinal.
O verbalizar e suas características
Segundo os alunos/professores o verbalziar é expressar por meio da fala a quantidade, dizer
a operação realizada, expor as idéias, pensamentos e conclusões, expor seus raciocínios por meio da
expressão oral, quando a criança consegue além de escrever, consegue mentalizar e oralmente dizer
os números, ou simplesmente falar, expressar uma seqüência quantitativa (um equívoco grave, pois
a seqüência não pode ser quantitativa, somente a série pode ser organizada levando-se em conta o
aspecto quantiativo), saber contar e conhecer o número mentalmente.
Por ser objetivo, o verbalizar mostrou-se, nas concepções dos professores, o mais
equivocado. Pois se referindo ao contar os alunos/professores apontam idéias muito controversas,
principalmente pela expressão do raciocínio. Segundo um grupo, após sua análise, o verbalizar é
somente falar a seqüência numérica (MORENO, 2006).
Sobre quando o verbalizar ocorre, percebemos ainda a necessidade dos participantes em
apontar uma idade em que a criança venha a apresentar essa ação. Mas também indicam que a
verbalização começa pela repetição, após saber quantificar e contar, quando imita os sons, expressa
seu pensamento e descreve situações. Segundo Moreno desde muito cedo e com o domínio da fala a
criança, se estimulada, pode oralizar suas idéias numéricas.
Segundo os alunos/professores o verbalizar pode acontecer a partir de atividades em que a
criança precise falar os números, pela repetição ou imitação. Os materiais seriam os jogos,
calendário, materiais concretos, palitinhos e com situações do cotidiano. O verbalizar ocorre quando
a criança consegue expressar de forma oral, as atividades que esteja realizando. Vale destacar a
utilização de outros recursos como músicas e brincadeiras para este tipo de ação.
O representar graficamente o número e suas características.
A ação de representar, os alunos/professores afirmam que é escrever os números ou a escrita
do que se fala, fazer a representação do número (gráfico) a partir da cultura que a criança está
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inserida, conhecer os símbolos numéricos e representá-los no papel, escrever o nome do numeral ou
por extenso.
A representação aconteceria quando solicitado à criança que tivesse passado por todas as
fases anteriores (quantificar, contar e verbalizar), mas o elemento idade também é indicado para
essa ação. Para os participantes a representação se dá quando a criança escreve o número por
extenso, por traçados vinculando-os a uma quantidade. Os recursos utilizados vão desde papel e
lápis até atividades escritas e a utilização de materiais pedagógicos.
O representar se caracteriza pela associação de um símbolo a uma quantidade, e ocorrerá
quando a criança tiver clareza nos conceitos de quantificar, contar e verbalizar. Mas como a escrita
é uma formalização social do conhecimento matemático, a criança deverá conhecer o sistema de
numeração decimal, suas normas e regras e só assim poderá utilizar-se de símbolos para expressar
uma quantidade que todos possam compreender. Mesmo assim, é preciso que o professor valorize
as diversas formas de conhecimento que os alunos têm e também a sua evolução, como também, da
existência dos diferentes sistemas simbólicos que precedem o sistema de representação formal
(MORENO, 2006). A escrita do número de forma precoce pode apresentar alguns problemas. Por
exemplo, se a criança se encontrar na ação de quantificar, é possível que ao ser questionada qual
dos números é maior: 213 ou 80. É possível que ela responda 213. Mas, se questionada se 213 é
maior que 380, é bem provável que ela responda que os dois são iguais, pois na quantificação o que
importa é a quantidade de elementos e não a representação de uma quantidade que o símbolo terá.
No desenvolvimento da aprendizagem da escrita numérica a criança pode utilizar de símbolo
para expressar seus pensamentos e nem sempre iniciam essa forma de expressão de acordo com o
conhecimento social instituído. Um detalhe importante é que nem sempre o que se fala em relação
aos números é o que realmente se expressa pela sua escrita. Outro aspecto que deve ser considerado
é o fato de que a escrita por extenso, não se enquadra na categoria de escrita no número.
O que podemos concluir deste trabalho?
Quando refletimos na nossa prática pedagógica sobre a construção do conceito de número e
das formas que os nossos alunos/professores pensam e concebem esse processo, o que fica evidente
que este pode ser tudo, menos simples. Essa afirmação é reflexo, inicialmente, do que percebemos a
partir das concepções. Muitas delas equivocadas e errôneas. Posteriormente, mesmo que a intenção
fosse a busca por uma concepção sobre o contar, o quantificar, o verbalizar e o representar o
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número, alguns se mostraram irredutíveis, não perceberam a magnitude de “ensinar” número para a
criança. Mas, aspectos positivos foram percebidos quando a maioria dos alunos/professores aponta
como o processo de alfabetização e numeralização da criança é complexo.
Resta-nos neste momento apontar algumas considerações sobre a numeralização e da
alfabetização matemática.
Inicialmente, apontamos que o quantificar deva iniciar antes do contar, do verbalizar e do
representar, pois, segundo Kamii (1990), a quantificação por parte da criança é parcialmente
observável e que podemos, a partir dele perceber se a criança está construindo o conceito de
número, que por sua vez não pode ser observável. É importante enfatizar que a quantificação feita
inicialmente pela criança não será necessariamente correta, mas que o processo pretenda
desenvolver nela a segurança para que continue quantificando objetos, seria este, o ambiente
propício para a construção mental do número, e não necessariamente de repetição e memorização
da seqüência numérica de forma mecânica.
Segundo a autora na representação os símbolos e signos não têm nenhuma relação com os
objetos quantificados, ela prefere deixar este tipo de atividade em segundo plano, pois não se está
ensinando o número, quando solicitamos às crianças a escrita, a leitura e a contagem. Essas
habilidades serão assimiladas se as crianças tiverem uma estrutura mental do número.
Em relação ao contar, a criança sente-se motivada em realizá-la, mas o professor deve saber
diferenciar a contagem de forma mecânica e memorizada da contagem com significado numérico e
também diferenciar as diversas formas que a criança pode fazê-lo. Ou seja, fica claro que contar não
é a mesma coisa que recitar os números.
Como já foi dito antes para a representação gráfica é preciso conhecer o sistema de
numeração decimal, visto que a diversidade das formas de representação é muito extensa. Muitas
vezes as crianças usam seus “próprios” símbolos, que geralmente não conseguem transmitir aos
outros um significado real da quantidade expressa por ela. Segundo Danyluk (2002), as crianças
apresentam espontaneidade ao realizar seus registros numéricos, esses por sua vez podem ser
rabiscos e desenhos que têm significado para ela e que pode ser criados para representar algo que
elas queiram, como por exemplo, uma determinada quantidade.
REFERÊNCIAS
11381
BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto
Alegre. Artmed, 2006.
DANYLUK, Ocsana. Alfabetização matemática: as primeiras manifestações da escrita infantil.
Porto Alegre: Sulina: EDIUPF, 2002.
KAMII. Constance. A criança e o número: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus,
1990.
LORENZATO, Sérgio. Educação infantil e percepção matemática. Campinas: Autores
Associados, 2006.
MORENO, Beatriz Ressia de. O ensino do número e do sistema de numeração na educação
infantil e na 1ª série. In: PANIZZA, Mabel. Ensinar matemática na educação infantil e nas séries
iniciais: análises e propostas. Porto Alegre: Artmed, 2006, p.43- 76.
SINCLAIR, Anne, SIEGRIST, F. MELLO, D. A notação numérica na criança. In: SINCLAIR,
Hermine. A produção de notações na criança: linguagem, número, ritmos e melodias. São Paulo:
Cortez: Autores Associados, 1990, p. 71-96.