Equivalência entre o Teorema de Tychonoff e o Axioma da
Escolha
Andrey A. Alves Cabral Júnior
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática
Graduando em Matemática - PICME/CNPq
andrey_ jr@ hotmail. com
Geraldo M. de Azevedo Botelho
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática
Professor Associado IV
botelho@ ufu. br
Resumo: São bastante conhecidas algumas equivalências envolvendo o Axioma da Escolha, sendo algumas bem
intuitivas e outras não. Aqui apresentamos uma demonstração da equivalência entre o Axioma da Escolha
e o Teorema de Tychonoff sobre a compacidade do produto cartesiano generalizado de espaços topológicos
compactos.
1 Introdução
Um espaço topológico X é compacto se toda cobertura aberta de X admite subcobertura finita.
A compacidade é um invariante topológico muito útil e por isso é interessante ter ferramentas para
verificar quando um dado espaço topológico é compacto ou não. É fácil provar que o produto cartesiano
X1 × · · · × Xn da família finita X1 , . . . , Xn de espaços topológicos é compacto se, e somente se, os
espaços X1 , . . . , Xn são todos compactos. PorQoutro lado, já não é tão fácil estender este resultado
para produtos cartesianos arbitrários do tipo
Xλ em que o conjunto de índices L é infinito.
λ∈L
Q
A. Tychonoff provou, usando o Axioma da Escolha, que, de fato,
Xλ é compacto se, e somente
λ∈L
se, cada Xλ é compacto. Em seguida, J. L. Kelley provou que esta propriedade também implica no
Axioma da Escolha, estabelecendo assim a equivalência entre o Axioma da Escolha e o Teorema de
Tychonoff. O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração dessa equivalência.
Consideraremos o produto cartesiano de espaços topológicos sempre munido da topologia produto.
Nossa referência básica para Topologia Geral é [3] e usamos [1, 2] para a demonstração da equivalência
desejada.
2 A demonstração da equivalência
Precisamos primeiramente de algumas terminologias da Teoria dos Conjuntos.
Diz-se que uma família (Fλ )λ∈L de conjuntos arbitrários tem a propriedade da interseção finita
quando toda subfamília finita (Fλ1 , . . . , Fλn ) possui interseção Fλ1 ∩ · · · ∩ Fλn não vazia.
Dizemos que uma coleção M de subconjuntos do conjunto X com a propriedade da interseção
finita é máxima se toda coleção β de subconjuntos de X que possui a propriedade da interseção finita
e contém M for igual a M. Isto equivale a dizer que se S é um subconjunto de X tal que S ∩ M 6= ∅
para todo M ∈ M, então S ∈ M.
Decorre que se M é máxima e tem a propriedade da interseção finita, então dados F1 , . . . , Fn ∈ M
tem-se F1 ∩ · · · ∩ Fn ∈ M.
Para demonstrar o Teorema de Tychonoff utilizaremos o Lema de Zorn. Este resultado é equivalente
ao Axioma da Escolha. Relembre que um subconjunto totalmente ordenado de um conjunto ordenado
é chamado de cadeia.
1
Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado e não vazio. Se toda cadeia em X possui
uma cota superior, então X possui um elemento maximal.
Lema 2.1. Seja F uma coleção de subconjuntos de X com a propriedade da interseção finita. Então
existe uma coleção máxima M de subconjuntos de X com a propriedade da interseção finita que contém
F.
Demonstração. Chame de P(X) o conjunto das partes de X e seja
P = {β ⊆ P(X) : F ⊆ β e β possui a propriedade da interseção finita}.
Como F ∈ P , tem-se P 6= ∅. Considere em P a ordem parcial dada pela inclusão usual ⊆ de conjuntos.
Seja P0 ⊆ P uma cadeia e U a união dos elementos de P0 . Afirmamos que U ∈ P . Com efeito, dado
β ∈ P0 , temos F ⊆ β. Logo, F ⊆ β ⊆ U . Dados F1 , . . . , Fn ∈ U , tem-se F1 ∈ β1 , . . . , Fn ∈ βn , onde
β1 , . . . , βn ∈ P0 . Como P0 é totalmente ordenado, existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que F1 , . . . , Fn ∈ βi .
Como βi ∈ P0 ⊆ P , segue que F1 ∩ · · · ∩ Fn 6= ∅. Agora, U é uma cota superior de P0 pois β ⊆ U para
todo β ∈ P0 . Pelo Lema de Zorn, P possui um elemento maximal M, como queríamos mostrar. ¤
Provamos em seguida uma das implicações da equivalência que nos interessa:
Teorema 2.1 (Teorema de Tychonoff). Suponha que o Axioma da Escolha seja válido. Então para
todo conjunto
Q de índices L e toda família de espaços topológicos (Xλ )λ∈L , é verdade que o produto
cartesiano
Xλ = X é compacto se, e somente se, cada fator Xλ é compacto.
λ∈L
Demonstração: Suponha que X seja compacto. Para cada λ ∈ L chame de πλ : X −→ Xλ a projeção
na λ-ésima coordenada. Então cada Xλ = πλ (X) é compacto pois πλ é contínua e X é compacto por
hipótese.
Reciprocamente, suponha que cada Xλ seja compacto. Provaremos que X é compacto provando
que toda coleção de fechados em X com a propriedade da intereseção finita tem interseção não-vazia.
Para isso seja F uma coleção de fechados em X com a propriedade da interseção finita. Pelo Lema
2.1 existe uma coleção máxima M de subconjuntos de X com a propriedade da interseção finita que
contém F. Para cada λ, {πλ (M ) : M ∈ M} é uma coleção de fechados de Xλ com a propriedade da
interseção finita, pois
πλ (M1 ) ∩ · · · ∩ πλ (Mn ) ⊇ πλ (M1 ) ∩ · · · ∩ πλ (Mn ) ⊇ πλ (M1 ∩ · · · ∩ Mn ) 6= ∅.
Como Xλ é compacto, existe xλ ∈ πλ (M ) para todo M ∈ M. Considere o ponto x = (xλ )λ ∈ X.
Vamos mostrar que x ∈ M para todo M ∈ M. Como consequência, teremos que x ∈ F para todo
F ∈ F, já que F ⊆ M e F = F . Note inicialmente que se uma fatia abeta πλ−1 (U ) contém x, então
U é um aberto em Xλ que contém xλ . Logo, U ∩ π(M ) 6= ∅ para todo M ∈ M. Isto implica que
πλ−1 (U ) ∩ M 6= ∅ para todo M ∈ M. Consequentemente, πλ−1 (U ) ∈ M para todo aberto U em Xλ .
Portanto, um aberto básico qualquer contendo x também pertence a M por ser a interseção finita de
fatias abertas. Logo, se A é um aberto de X contendo x, então A ∩ M 6= ∅ para todo M ∈ M, ou seja,
x ∈ M para todo M ∈ M e X é compacto, como queríamos demonstrar. ¤
Acabamos de ver que o Axioma da Escolha implica na validade do Teorema de Tychonoff. Provaremos a seguir a implicação inversa.
Teorema 2.2. Suponha que o Teorema de Tychonoff seja válido, ou seja, que o produto cartesiano
de uma família qualquer de espaços topológicos compactos é compacto. Então o Axioma da Escolha é
verdadeiro.
2
Demonstração. Para provar o Axioma da Escolha basta mostrar que o produto cartesiano de uma
família qualquer de conjuntos não-vazios é também não vazio. Sejam então L um conjunto e (Xλ )λ∈L
uma família de conjuntos não vazios. Para cada λ ∈ L acrescente um elemento pλ 6∈ Xλ ao conjunto
Xλ formando uma nova família (Sλ )λ∈L , onde Sλ = Xλ ∪ {pλ }, de conjuntos não vazios. Considere
em Sλ a topologia τλ = {Sλ , ∅, {pλ }, XQ
λ }. Como τλ é finita, Sλ é compacto com esta topologia. Pelo
Teorema de Tychonoff segue que S =
Sλ é compacto. Agora, considere a família de abertos básicos
λ∈L
Ã
!
Q
C = {pλ0 } ×
Sλ
. Afirmamos que nenhuma subfamília finita de C é uma cobertura de S.
λ6=λ0
λ0 ∈L
De fato, dada uma união finita

U = {pλ1 } ×

Y
Sλ 

[
λ6=λ1
···
[

Y
{pλn } ×
Sλ 
λ6=λn
de abertos básicos de C, podemos tomar um ponto s = (sλ ))λ ∈ S tal que sλ1 ∈ Xλ1 , . . . , sλn ∈
Xλn e sλ = pλ para λ 6= λi (observe que não estamos usando o Axioma da Escolha pois estamos
fazendo apenas um número finito de escolhas). Desse modo, s 6∈ U . Consequentemente, C não é
uma cobertura de S, pois caso contrário teríamos uma cobertura de abertos de S sem subcobertura
finita; o que
uma vez que S é compacto. Logo, existe x = (xλ )λ em S tal que
!
à não pode ocorrer
Q
S
{pλ0 } ×
Sλ . Assim, xλ 6= pλ para todo λ ∈ L, ou seja, xλ ∈ Xλ para todo λ ∈ L.
x 6∈
λ0 ∈L
λ6=λ0
Portanto, x ∈ X.
Referências
[1] H. Brandsma, A proof of Tychonoff theorem implies AC, Topology Atlas, 2003.
[2] S. Kum, A correction of Kelley’s proof on the equivalence between the Tychonoff product theorem
and the axiom of choice, Journal of the Chungcheong Mathematical Society, 16 (2003), 75–78.
[3] E. L. Lima, Elementos de Topologia Geral. Editora SBM, 2009.
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