GEOMETRIA PLANA
PROF. ENZO MARCON TAKARA
EDIÇÃO 2015
1
1-FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA PLANA
1. (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são
paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede
55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 40° b) 45° c) 50° d) 65° e) 130°
a) 50
b) 55 c) 60
d) 80
5. (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela
transversal "t", conforme a figura. O valor de x para
que r e s seja, paralelas é:
e) 100
2. (UEL) A medida α de um ângulo é igual ao triplo
da medida do seu suplemento. Nestas condições,
tgα é igual a
a) 1
b)2
c) 0
d)1/2 e) - 1
3. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z
são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e
25, respectivamente.
a) 20° b) 26° c) 28° d) 30° e) 35°
6. (CFTCE) O ângulo cujo suplemento excede de
6° o quádruplo do seu complemento, é:
a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68°
7.(ANGLO) Dois ângulos são complementares. Se
a medida de um deles excede 30 o triplo da
medida do outro, a diferença entre a medida
desses dois ângulos é:
a) 22,5 b) 25 c) 37,5 d) 45 e) 60
O suplemento do ângulo de medida x tem medida
igual a
a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54°
4. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor
do ângulo α, apresentado na figura a seguir, é:
GABARITO
1)E 2)E 3)A 4)B 5)C 6)C 7) E
2
2-ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
2.1-ÂNGULO CENTRAL
2.2- ÂNGULO INSCRITO
2.3-ÂNGULO DE SEGMENTO
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
O comprimento do segmento AB é
°
a) 125
°
b) 110
°
c) 120
°
d) 100
a) 2 m. b) 3 m. c) 3 2 m. d) 2 5 m. e) 2 3 m.
°
e) 135
2. (UFRRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de
base circular. Serão elevadas sobre essa base duas
hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o
ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos
BOC e OBC são iguais.
3
3. (CFTMG) Na figura, os segmentos PB e PD são
secantes à circunferência, as cordas AD e BC são
perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD
é
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
7. (UFES) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma
°
a) 30
°
b) 40
°
c) 50
circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo A Ĉ B e
as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o
ângulo BÂD mede 40°, a medida α do ângulo BÂC é
°
d) 60
4. (CFTMG) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em
uma circunferência de centro O, cujo comprimento é 10
cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em
cm, é
a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
8. (MACK)
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9
5. (CFTMG ) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão
inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n,
em graus, é
O ângulo α da figura mede:
a) 60° b) 55° c) 50° d) 45° e) 40°
a) 70 b) 90 c) 110 d) 130
6. (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP
são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110
graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em
graus, do ângulo APD é
4
9. (UFMG) Observe a figura.
12-(ANGLO)
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A B̂ D e AÊD
°
°
medem, respectivamente, 20 e 85 .
Assim sendo, o ângulo C B̂ D mede
°
°
°
°
a) 25 b) 35 c) 30 d) 40
10. (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
13-(ANGLO)
a) 60° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120°
11-(ANGLO)
GABARITO
1)A 2)E 3)A 4)C 5)A 6)B 7)C 8)C 9)A 10)B 11)B
12)D 13)C
5
3-TRIÂNGULOS – ELEMENTOS BÁSICOS
3.1- A soma dos ângulos
Considere o triângulo ABC da figura. Traçamos uma paralela ao lado BC, passando pelo vértice A.
Os ângulos B são iguais da mesma maneira que os ângulos C , por serem alternos internos entre
duas paralelas.
3.2- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Considere o triângulo ABC da figura. Vamos mostrar que um ângulo externo é igual à soma dos
internos não adjacentes.
3.3- RELAÇÃO ENTRE LADO E ÂNGULO OPOSTO
Num triângulo qualquer:
o maior lado é oposto ao maior ângulo
o menor lado é oposto ao menor ângulo
3.4-CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULO
Como a menor distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que une estes pontos
podemos afirmar que:
um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros dois.
conseqüentemente, um lado do triângulo é sempre maior que a diferença entre os outros dois.
6
3.5- TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
Como um ângulo de 90o está inscrito numa semi-circunferência, a hipotenusa é o diâmetro da
circunferência circunscrita. O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa.
SE UM DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA FOR O
DIÂMETRO, ENTÃO:
1) ESSE TRIÂNGULO É RETÂNGULO
2) A MEDIANA ( RAIO) RELATIVA A HIPOTENUSA MEDE METADE DA HIPOTENUSA (
DIÂMETRO).
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (cftmg 2011) Referindo-se às afirmações
seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F)
para as falsas.
• a reta OB perpendicular à reta AC ;
• a reta EF paralela à reta OB .
Nível médio
( ) Dois triângulos semelhantes são sempre
congruentes.
( ) Dois triângulos equiláteros são sempre
semelhantes.
( ) Dois triângulos retângulos são sempre
semelhantes.
( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre
congruentes.
A sequencia correta encontrada é
a) V, V, V, F. b) F, V, F, F.
c) F, V, F, V. d) F, F, F, V.
2. (Fatec 2010) Na figura tem-se:
• a circunferência de centro O tangente à reta CE e
à reta EF nos pontos D e F, respectivamente;
7
Sabendo que a medida do maior ângulo C Ê F é
a) 36°. b) 72°. c) 50°. d) 40°. e) 80°.
igual a 230º, a medida do ângulo agudo A Ĉ E é igual
a
a) 20º. b) 30º. c) 40º. d) 50º. e) 60º.
6. (FGV) Num triângulo isósceles ABC, de vértice A,
a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes
dos ângulos B e C é 140°.
3. (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos
distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é
exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Então, as medidas dos ângulos A, B e C são,
respectivamente:
°
°
°
°
°
°
a) 120 , 30 e 30 b) 80 , 50 e 50
°
°
°
°
°
°
c) 100 , 40 e 40 d) 90 , 45 e 45
e) 140°, 20° e 20°
7. Na figura, AQ e AP são, respectivamente,
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC. Se
BQ = 8 m e QC = 6 m, então, a medida de QP, em
metros, é
Nessas condições, a medida de A B̂ O, em radianos,
é igual a:
a) π - (α/4)
b) π - (α/2)
c) π - (2α/3)
d) π - (3α/4)
e) π - (3α/2)
4. (UFT) Na figura a seguir considere A = 30°, á =
B
3
a) 32 b) 36 c) 42 d) 48
C
eâ=
. No triângulo BDC o ângulo D é:
3
8. Na figura a seguir, AB = AC, D é o ponto de
encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo
BDC é o triplo do ângulo A.
Então, a medida do ângulo B é
a) 54° b) 60° c) 72° d) 84°
a) 90° b) 130° c) 150° d) 120°
5. Num triângulo isóscele, cada ângulo da base
mede o dobro da medida do ângulo do vértice. A
medida do ângulo do vértice é:
8
9. Na figura, a, 2a, b, 2b e x representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados.
a) 0 b) 1 c)
3
d) -
3
e)
( 3)
3
13. ( cftce ) A altura e a mediana traçadas do vértice
do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um
ângulo de 24°. Sendo assim, os ângulos agudos do
triângulo são:
a) 33° e 57° b) 34° e 56° c) 35° e 55°
°
°
°
°
d) 36 e 54 e) 37 e 53
14. (Ufc) Sejam α, β e θ os ângulos internos de um
triângulo. Se as medidas desses ângulos são
diretamente proporcionais a 1, 2 e 3,
respectivamente, e a bissetriz do ângulo β mede
duas unidades de comprimento (u.c.), a medida do
perímetro deste triângulo é:
O valor de x, em graus, é
a) 100 b) 110 c) 115 d) 120
10. (G1 - cftmg 2006) Na figura, A = 90°, BM = CM,
°
BS é bissetriz do ângulo B e ASB = 126 .
a) 3( 3 + 2) u.c. b) ( 3 + 1) u.c. c) 3 3 u.c.
d) 3( 3 + 1) u.c. e) (3 3 - 1) u.c.
15. (Ufmg) Na figura a seguir, a circunferência tem
centro O e o seu raio tem a mesma medida do
segmento BC. Sejam α a medida do ângulo AÔD e β
a medida do ângulo A Ĉ D.
Nessas condições, o ângulo C mede
°
°
°
°
a) 30 b) 36 c) 44 d) 54
11. (Fgv) Na figura a seguir, o triângulo AHC é
retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do
ângulo CÂH.
A relação entre α e β é
a) α =
5β
2
b) α = 3β c) α =
7β
2
d) α = 2β
16. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE,
CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80°, então
o ângulo ABC mede:
Se c = 30° e b = 110°, então:
a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20° d) x = 10° e) x = 5°
12. (cftce 2005) Na figura, tg(x) é:
a) 20° b) 30° c) 50° d) 60° e) 90°
9
17. (Ufmg) Observe esta figura:
3
a)
b) 2 c)
5
d)
6
e)
7
21. (Uff) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e
ângulo P = 60°. A medida do ângulo formado pela
bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do
ângulo externo P é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
22. O triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e
26 cm:
a) é acutângulo
b) é retângulo
c) é equilátero
d) é isósceles
e) é obtusângulo
Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta
e as retas CB e ED são paralelas.
Assim sendo, o ângulo A B̂ C mede
°
°
°
°
a) 39 b) 44 c) 47 d) 48
23. (Ufes) Um dos ângulos internos de um triângulo
°
isósceles mede 100 . Qual é a medida do ângulo
agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos
internos?
a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 140°
18. (UFC ) Na figura a seguir, os segmentos de reta
AB , AC e CD são congruentes, â é um ângulo
externo, e á um ângulo interno do triângulo ABD.
24. Com três segmentos e comprimentos iguais a 10
cm, 12 cm e 23 cm...
a) é possível apenas formar um triângulo retângulo
b) é possível formar apenas um triângulo
obtusângulo
c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo
d) é possível formar os três triângulos
e) não é possível formar um triângulo
Assinale a opção que contém a expressão correta de
â em termos de á.
a) β= 3α
d) β=
b) β = 2α.
2α
.
3
e) β =
c) β =
25. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de
lado ℓ como mostra a figura a seguir. Unindo-se os
pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro)
novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes
quatro triângulos é igual a:
α
.
2
3α
.
2
19. (Mack) Na figura a seguir, a distância d vale:
a)
5
b)
2
3
2
c)
3 3
3
d) 2 e)
4
2
20. (Fuvest) Na figura a seguir, AD = 2cm, AB =
3 cm, a medida do ângulo BÂC é 30° e BD = DC,
onde D é ponto do lado AC . A medida do lado BC ,
em cm, é
a)
5
2
b) ℓ c) 3ℓ d)
2
e)
3
2
26. Num triângulo isósceles, a base tem 8 cm e o
ângulo oposto à base mede 120°. Cada um dos
outros dois lados do triângulo mede:
a) 3 cm b) 2 5 cm c) 4 5 cm
d)
10
4 3
3 cm
e)
8 3
3 cm
27. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
B e D são pontos da circunferência de centro O e
a) AB
b)
5
diâmetro AC , M é ponto médio da corda AD e o
°
2
AB c)
5
AB
4
d) AB
3
e) AB
2
30.(ANGLO)
ângulo A B̂ M mede 35 . A medida x do ângulo DÂC,
em graus, é
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 37,5
28. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
AD = BD, Ĉ = 60° e DÂC é o dobro de B̂ .
A razão
a)
31-(ANGLO)
AC
é igual
BC
1
1
b)
c)
3
2
3
3
2
d)
2
3
e)
2
29. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
D é um ponto da circunferência de centro C e
Gabarito:1)B 2)C 3)C 4)B 5)A 6)C 7)D 8)C 9)D
10)D 11)D 12)D 13)A 14)D 15)B 16)A 17)D 18)A
19)D 20)A 21)C 22)B 23)B 24)E 25)E 26)E 27)A
28)B 29)C 30)D 31)B
diâmetro AB , e M e N são pontos médios dos
segmentos AC e AD , respectivamente. A medida MN
em função do diâmetro AB é
11
4- POLÍGONOS
Propriedades dos polígonos convexos
O número de vértices é igual ao número de lados.
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n − 3 diagonais (dv).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por d
nn 3
, onde n é o número de lados do
2
polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por n 2 .180 0 .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a 3600 .
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de
cada vértice é dado por n − 2.
n 2 .180 0
.
n
360 0
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por
.
n
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 3600 .
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por
EXERCÍCIOS BÁSICOS
360 0
.
n
4. Considere um quadrado com 3 2 cm de lado,
inscrito em um círculo como mostra a figura.
1. (Utfpr) A soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos
ângulos internos de um hexágono é:
a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º e) 900º
2. (Uece) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é
um hexágono e se o número de diagonais do Q,
partindo de um vértice, é igual ao número total de
diagonais de P então a medida de cada um dos
ângulos internos, em graus, de Q é
a) 144
b) 150 c) 156
d) 162
O raio desse círculo mede, em centímetros
3. (Puc-rio 2009)
3 3
a) 2. b)
3 . c)
2
. d) 3. e) 2 3 .
5. (cftce) Se a razão entre o número de diagonais d
e de lados n, com n > 3, de um polígono, é um
número inteiro positivo, então o número de lados do
polígono:
a) é sempre par
b) é sempre ímpar
c) é sempre múltiplo de 3
d) não existe
e) é sempre primo
Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto
vale o ângulo ACE?
°
°
°
°
°
a) 24
b) 30
c) 36
d) 40
e) 45
12
10-(ANGLO)
6. (UFRS) Na figura a seguir, o pentágono ABCDE,
inscrito no círculo, é regular.
A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e,
indicados na figura, é
°
°
°
°
°
a) 150 . b) 180 . c) 270 . d) 360 . e) 450 .
11-(ANGLO)
7. (UFSCAR) Um polígono regular com exatamente
35 diagonais tem
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
8. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito
em um hexágono regular, o perímetro do hexágono,
em centímetros, é igual a
a) 20 3
b) 18 3
c) 15 2
d) 12 3
e) 9 2
12. (Fuvest ) Os pontos A, B e C pertencem a uma
circunferência γ e AC é lado de um polígono regular
9.(ANGLO)
inscrito em γ. Sabendo-se que o ângulo A B̂ C mede
18° podemos concluir que o número de lados do
polígono é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
GABARITO
1)D 2)B 3)C 4)D 5)B 6)B 7)C 8)A 9)D 10)C
11)D 12)D
13
5-QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Um quadrilátero é considerável notável se possuir pelo menos dois lados paralelos
5.1-TRAPÉZIO
5.1.1- Trapézio isósceles
5.1.2- Trapézio retângulo
α = β e AB = CD e AD// BC
5.2- PARALELOGRAMO
Lados opostos congruentes
ângulos opostos congruentes
Diagonais que se cortam ao meio
5.3-RETÂNGULO
Todos os ângulos congruentes e retos
Diagonais congruentes
Diagonais se cortam no ponto médio
14
5.4-LOSANGO
Todos os lados congruentes
Diagonais perpendiculares
Diagonais bissetriz dos ângulos internos
Diagonais se cortam no ponto médio
5.5-QUADRADO
Todos os lados congruentes
Diagonais perpendiculares
Diagonais bissetriz dos ângulos internos
Ângulos congruentes e retos
Diagonais se cortam no ponto médio
15
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Udesc) No paralelogramo ABCD, conforme
mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do
ângulo DCB.
5. (cftce 2005) Sabendo-se que, em um trapézio, a
soma da base média com a mediana de Euler é
igual a 12 cm e que a razão entre as bases do
trapézio é 2, a base menor desse trapézio mede:
a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm
6. (Ufrs 2004) A opção que apresenta todas as
possibilidades do número de pontos de interseção
de um círculo com um retângulo é
a) 0, 1, 2, 4 ou 8.
b) 0, 2, 4, 6 ou 8.
c) 0, 1, 3, 5 ou 7.
d) 0, 2, 3, 5 ou 7.
e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8.
7. (Unifesp ) Em um paralelogramo, as medidas de
dois ângulos internos consecutivos estão na razão
1:3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°.
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do
perímetro do paralelogramo ABCD é:
a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24
8. (Fuvest) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2
e altura 4. O perímetro desse trapézio é:
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
2. (cftmg) ABC é um triângulo isósceles no qual AB
= AC = 10 cm. O perímetro do paralelogramo que
se obtém, traçando, por um ponto qualquer da base
BC, paralelas aos lados AB e AC é, em cm,
a) 15 b) 20 c) 30 d) 40
9. (Uerj) Se um polígono tem todos os lados iguais,
então todos os seus ângulos internos são iguais.
3. (Ufmg) Esta figura representa o quadrilátero
ABCD:
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado
10. (Puc) ABCD é um paralelogramo, M é o ponto
médio do lado CD, e T é o ponto de intersecção de
AM com BD. O valor da razão DT/BD é:
a) 1/2. b) 1/3. c) 2/5. d) 1/4. e) 2/7.
11. (Puc) Na figura a seguir tem-se representado o
losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.
Sabe-se que
- AB = 1 cm e AD = 2 cm;
- o ângulo ABC mede 120°; e
- o segmento CD é perpendicular aos segmentos
AD e BC.
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do
segmento BD é
a)
3 cm. b)
( 5)
( 5)
cm. c)
cm. d)
2
2
A medida do lado desse losango, em centímetros,
é
2 cm.
a) 6 3
4.O valor do raio R do círculo inscrito no trapézio
retângulo de bases 15 cm, 10 cm e lado oblíquo 13
cm, em cm, é:
a) 12 b) 10 c) 6 d) 5 e) 3
16
b) 6 c) 4 3
d) 4 e) 2 3
e) apenas III é verdadeira.
12. (Puc) A área máxima de um paralelogramo
com lados a, b, a, b é:
a) a2 + b2. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b.
17. (Ufrs) Considere as seguintes afirmações
sobre um quadrilátero convexo.
13. (Fuvest 1997) No retângulo a seguir, o valor,
em graus, de á + â é
I - Se as diagonais se interceptam em seus
respectivos pontos médios, então o quadrilátero é
um retângulo.
II - Se as diagonais se interceptam
perpendicularmente em seus respectivos pontos
médios, então o quadrilátero é um losango.
III - Se as diagonais se interceptam
perpendicularmente e são congruentes, então o
quadrilátero é um quadrado.
Quais estão corretas?
a) Apenas II b) Apenas III
c) Apenas I e II d) Apenas I e III
e) I, II e III
a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220
14. (FEI) As bases de um trapézio medem 8 cm e
12 cm, respectivamente, e a altura 4 cm. A que
distância da base menor fica o ponto de encontro
das retas-suporte dos lados não-paralelos?
a) 8 cm b) 12 cm c) 16 cm d) 4 cm
18. (Unesp) Considere as seguintes proposições:
- todo quadrado é um losango;
- todo quadrado é um retângulo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
- todo triângulo equilátero é isóscele.
15. (Universidade Federal de Ouro Preto)
Assinale a afirmativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a
diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do
que a outra;
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de
dois ângulos consecutivos de um paralelogramo;
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um
paralelogramo são paralelas.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um
triângulo, este fica decomposto em quatro
triângulos congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
19-(ANGLO)
16. (ITA)
Dadas as afirmações:
I - Quaisquer dois ângulos opostos de um
quadrilátero são suplementares.
II - Quaisquer dois ângulos consecutivos de um
paralelogramo são suplementares.
III - Se as diagonais de um paralelogramo são
perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto
médio, então esse paralelogramo é um losango.
Podemos garantir que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III são verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)C 5)B 6)E 7)A 8)D 9)A 10)B
11)D 12)C 13)D 14)A 15)E 16)C 17)A 18)B
19)D
17
7- CIRCUNFERÊNCIA
Comprimento da circunferência: c=2 r
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Ufpb) Um ciclista, para vencer uma competição,
percorreu 1885 m em uma bicicleta com rodas de
raio 30 cm (incluindo o pneu). O número de voltas
completas que cada roda da bicicleta deu, para
percorrer essa distância, foi:
Use: = 3,14
a) 900 b) 1000 c) 1040 d) 1250 e) 1500
2. (Puc) A roda de uma bicicleta tem 90 cm de
diâmetro. Então, a distância percorrida por um
ciclista nessa bicicleta em movimento, quando a roda
dá 2.000 voltas completas sem deslizar:
Considere = 3,14.
a) é inferior a 3 quilômetros.
b) está entre 3 e 4 quilômetros.
c) está entre 4 e 5 quilômetros.
d) é superior a 5 quilômetros.
Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q,
passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha
reta, a distância de
3. (Pucmg 2007) Os moradores de certa cidade
costumam fazer caminhada em torno de duas de
suas praças. A pista que contorna uma dessas
praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de
extensão; a pista que contorna a outra praça é um
círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas
condições, o valor da razão R/L é aproximadamente
igual a: Use = 3,14.
a) 1/2 b) 5/8 c) 5/4 d) 3/2
a) 6( 3 )R.
b) 7( 3 )R.
d) 10( 2 )R.
e) 11( 2 )R.
c) 8( 3 )R.
5. (Pucmg 04) Na figura, o triângulo ABC é retângulo
em C, e a medida de sua área é 12ðm 2; o
comprimento do cateto BC é igual ao comprimento
da circunferência que tem AC como diâmetro. A
medida do raio dessa circunferência, em metros, é:
4. (Ufscar 2007) Os satélites de comunicação são
posicionados em sincronismo com a Terra, o que
significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o
mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um
satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio
da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades
na Terra, separadas pela maior distância possível
em que um sinal pode ser enviado e recebido, em
linha reta, por esse satélite.
a)
18
5
b)
6
c)
7
d)
8
6. (Ufrs 1997) Seja a figura
GABARITO
1)B 2)D 3)B 4)C 5)B 6)C
Sabendo-se que AD = 12 cm; AE = 15 cm e AB = 8
cm; pode-se afirmar que a medida do raio do círculo
é
a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm e) 6 cm
8-RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS DISTÂNCIA DOS PONTO P AOS PONTOS DE TANGÊNCIA SÃO IGUAIS
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Unb 97) A partir de um ponto C, exterior a uma
circunferência traçam-se duas retas tangentes, como
mostra a figura adiante. Os segmentos tangentes CR
e CS, que são necessariamente congruentes,
medem, cada um, 23,5 cm. Em um dos arcos de
extremos R e S, escolhe-se, ao acaso, um ponto P,
traçando-se o segmento AB, tangente a
circunferência em P.
Calcule, em centímetros, o perímetro do triângulo
ABC, desprezando a parte fracionária de seu
resultado, caso exista.
2. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M, N e P
são pontos de tangência e a medida de OM é 16.
Então o perímetro do triângulo assinalado é:
a) 32. b) 34. c) 36. d) 38. e) 40.
19
3. (Mackenzie 96) No triângulo da figura a seguir, a
circunferência inscrita tem raio 1 e T é o ponto de
tangência. Então o menor lado do triângulo mede:
a) 3. b)
20
7
9
30
. c) . d) . e)
.
7
2
2
7
4. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M e N são
pontos médios dos lados do quadrado ABCD e T é o
ponto de tangência. Se CT mede k, então a área do
quadrado vale:
a) 2 k2 b)
3k 2
4
c) k2 d)
k2
4
e)
4k 2
5
GABARITO
1) 47cm 2) A 3)B 4)C
20
9-SEGMENTOS PROPORCIONAIS /T. TALES
1. ( cftpr 2006) O jardineiro do Sr. Artur fez um
canteiro triangular composto por folhagens e flores
onde as divisões são todas paralelas à base AB do
triângulo ABC, conforme figura.
A diferença x - y é
a) 2. b) 4. c) 6. d) 10. e) 12.
3. (Ufrn 2004) Phidias, um arquiteto grego que
viveu no século quinto a.C., construiu o Parthenon
com medidas que obedeceram à proporção áurea,
o que significa dizer que EE'H'H é um quadrado e
que os retângulos EFGH e E'FGH' são
semelhantes, ou seja, o lado maior do primeiro
retângulo está para o lado maior do segundo
retângulo assim como o lado menor do primeiro
retângulo está para o lado menor do segundo
retângulo. Veja a figura abaixo.
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de
flores são, respectivamente:
a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e
30 cm.
d) 56 cm e 28 cm. e) 40 cm e 20 cm.
2. (Ufrrj 2005) Pedro está construindo uma
fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe
que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t
são paralelas.
Assim, podemos afirmar que a razão da medida da
base do Parthenon pela medida da sua altura é
uma raiz do polinômio:
a) x2 + x + 1 b) x2 + x - 1 c) x2 - x - 1 d) x2 - x + 1
4. (Unesp 2003) Considere 3 retas coplanares
paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas,
conforme a figura.
21
Observando a figura e admitindo que as linhas
retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a
barreira mede
Os valores dos segmentos identificados por x e y
são, respectivamente,
3
3
e
. b) 6 e 11. c) 9 e 13.
20
40
20
40
d) 11 e 6.
e)
e
.
3
3
a)
a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m
GABARITO
1)B 2)C 3)C 4)E 5)B
5. (Ufsm 2003) A crise energética tem levado as
médias e grandes empresas a buscarem
alternativas na geração de energia elétrica para a
manutenção do maquinário. Uma alternativa
encontrada por uma fábrica foi a de construir uma
pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de
um rio que passa próximo às suas instalações.
10-SEMELHANÇA DE TRÂNGULOS
Triângulos são semelhantes se, e somente se, possuirem os mesmos ângulos internos
AB
DE
AC
DF
BC
EF
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (G1 - cps 2010) A figura representa os triângulos
retângulos PQR e STR, sendo
RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm . A medida
do cateto PQ, em centímetros, é
22
e as cidades A, B, C e D estão dispostos conforme a
figura a seguir, sendo AB paralelo a CD. Sabendo-se
que, na realidade, AB = 40 km, AD = 30 km e DC =
25 km, a distância da cidade A até o parque P, em
quilômetros, é:
a) 7,5. b) 8,2. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,2.
2. (G1 - cftmg 2008) Um homem, ao passar pelo
prédio A de altura h observa que sua sombra
corresponde a 10% se comparada com a desse
prédio. Algum tempo depois, passando pelo edifício
B de de altura, verifica que a projeção de sua
sombra é de e a do prédio B é de 30 metros. Nessa
situação, a altura h de A, em metros, vale
a) 15 b) 18 c) 21 d) 24
a) 65 b) 70 c) 75 d) 80
7. (Ufjf 2006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e
altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo
um lado contido na base do triângulo. O lado do
quadrado é, em metros, igual a:
a) 10/3. b) 5/2. c) 20/7. d) 15/4. e) 15/2.
3. (G1 - cftsc 2008) Sabendo que uma pessoa de
1,80 m projeta uma sombra de 1,60 m, calcule a
altura de uma árvore que projeta uma sombra de 20
m nas mesmas condições.
a) 22 m. b) 22,50 m. c) 24 m.
d) 28,80 m. e) 17,80 m.
8. (G1 - cftmg 2005) Num triângulo isósceles de
altura 8 cm, inscreve-se uma circunferência de raio 3
cm. A medida da base do triângulo, em cm, é
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
4. (Uel 2008) Para medir a altura de um edifício, um
engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a
sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida,
mediu sua própria sombra que resultou em 0,5
metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele
pôde calcular a altura do prédio, obtendo:
a) 4,5 metros.
b) 10,0 metros.
c) 18,0 metros.
d) 36,0 metros.
e) 45,0 metros.
9. (G1 - cftmg 2005) Na figura, ABC é um triângulo
retângulo em A e DEFG é um quadrado inscrito
nesse triângulo. Considerando-se que BG = 9 e CF =
4, o perímetro desse quadrado é igual a
5. (G1 - cftce 2006) Sendo, na figura a seguir,
AB//DE, AB = 5 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor
de CD e CE, nesta ordem, em cm, é:
a) 24 b) 28 c) 32 d) 36
10. (G1 - cftce 2005) Considere o trapézio escaleno
indicado na figura a seguir. Sabendo-se que a
diagonal AC mede 9 cm e os lados DC = 8 cm e
AB = 10 cm, tendo a informação de que a diagonal
AC intercepta a diagonal BD no ponto E, os
comprimentos dos segmentos AE e EC são,
respectivamente, iguais a:
a) 14 e 12. b) 12 e 10. c) 10 e 8.
d) 16 e 14. e) 8 e 6.
6. (Pucmg 2006) Em um mapa, o parque turístico P
23
13. (Ufc 2002) Na figura a seguir, os triângulos ABC
e AB'C' são semelhantes. Se AC = 4. AC' então o
perímetro de AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é
igual a:
a) 4 cm e 5 cm b) 5 cm e 4 m
c) 2 cm e 7 cm d) 7 cm e 2 cm
e) 6,5 cm e 2,5 cm
11. (Ufg 2005) Uma fonte luminosa a 25 cm do
centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma
sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme
figura a seguir.
a)
1
1
b)
8
6
c)
1
4
d)
1
e) 1
2
14. (Ufrs 2001) Na figura a seguir AB, CD e EF são
paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm
e 5 cm.
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do
centro da esfera até a parede, em cm, é
a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35
O comprimento de EF é
12. (Uel 2003) Após um tremor de terra, dois muros
paralelos em uma rua de uma cidade ficaram
ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e
decidiram escorar os muros utilizando duas barras
metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo
que os muros têm alturas de 9 m e 3 m,
respectivamente, a que altura do nível do chão as
duas barras se interceptam? Despreze a espessura
das barras.
a)
5
10
. b) 2. c) 3. d)
. e) 4.
3
3
15-(ANGLO)
a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 m
e) 2,50 m
24
16-(ANGLO)
17-(ANGLO)
GABARITO
1)A 2)B 3)B 4)D 5)A 6)D 7)A 8)D 9)A
10)B 11)A 12)D 13)C 14)D 15)D 16)B 17)A
11-POTÊNCIA DE PONTO
CASO 1
PA.PB = PD.PC
CASO 2
CASO3
PA.PB=PC. PD
PT² = PA.PB
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (CFTMG) Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro
e os ângulos ABD e CBD são iguais. A medida da
corda BD é
25
Nessa figura, o círculo tem centro O e raio 6 e OP=16.
A reta PT é tangente ao círculo em T e o segmento TQ
é perpendicular à reta OP.
Assim sendo, o comprimento do segmento QP é
a) 13,75 b) 13,85 c) 14,25 d) 14,5
a) 2 3 + 1 b)
4) O ponto P dista 17 cm de uma circunferência.
Conduzindo-se por P um segmento de reta que é
tangente à circunferência no ponto T. tem-se PT
=15cm. A medida do raio desta circunferência em cm
é:
a)7 b)8 c)9 d)10 e)11
(9 5)
c)3 2 d) 2 + 5
5
2. (CESGRANRIO) Na figura a seguir, AB = 8 cm,
BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da
circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede,
em cm:
5.(ANGLO)
a) 36 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54
3. (UFMG) Observe esta figura:
GABARITO
1)C 2)E 3)A 4)B 5)D
26
12-TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado posto em dois segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do
ângulo M determina no lado NP os segmentos NC
e CP cuja razão é
NC
CP
2
Sabendo-se que M =
3
12 cm, determinar a medida do lado MP.
2) No triângulo ABC da figura, AD é bissetriz do
ângulo A
O perímetro desse triângulo é
a) 28 b) 34 c) 36 d) 40 e) 42
GABARITO
1) 18 cm 2) D
27
13-TEOREMA DA BASE MÉDIA (TRIÂNGULO E
TRAPÉZIO)
Unindo-se os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer, obtemos a base média de um
triângulo. Consequências: a base média ( MN) é paralela a base AB e tem a metade do
comprimento da base AB.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (UNEMAT) No triângulo equilátero ABC, os
pontos M e N são respectivamente pontos médios
dos lados AB e AC . O segmento MN mede 6 cm.
GABARITO
A área do triângulo ABC mede:
a) 18 3 cm2 b) 24 2 cm2 c) 30 2 cm2
d) 30 3 cm2 e) 36 3 cm2
1)E 2)B 3)C
2. (PUC) No triângulo ABC temos AB = 5, BC = 9 e
AC = 10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto
médio de BC, então o comprimento PQ é:
a) 4
b) 5
c) 8
e) 9
3) (ANGLO)
28
14-RELAÇÕES MÉTRICAS DE UM TRIÂNGULO
RETÂNGULO
1) a.h = b.c 2) h² = m.n
3) b² = a.m
4) c² = a.n
5) a² = b² + c² ( TEOREMA DE PITÁGORAS)
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Ufmg 2006) Nesta figura, estão representadas
três circunferências, tangentes duas a duas, e uma
reta tangente às três circunferências:
a)
(1
c)
2 (3
3) b) (2
3)
3) d) 2 (3
3)
e) 2
5. (Fuvest 2001) Um lenhador empilhou 3 troncos de
madeira num caminhăo de largura 2,5 m, conforme a
figura a seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo
raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em
metros, é:
Sabe-se que o raio de cada uma das duas
circunferências maiores mede 1 cm.
Então, é CORRETO afirmar que a medida do raio da
circunferência menor é
a)
1
1
( 2)
( 2)
cm. b) cm. c)
cm. d)
cm.
2
4
3
4
2. (Fgv 2006) As bases de um trapézio isósceles
medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos
lados não paralelos é 20 m. A medida da altura
desse trapézio é:
a) 6 m b) 3 m c) 8 m d) 4 m e) 10 m
a)
(1
d) 1
3. (Puc-rio 2004) A maior distância entre dois pontos
de um retângulo de base 8 cm e altura 6 cm é:
a) 14 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 11 cm e) 12 cm
4. (Ufes 2002) Três pontos A, B e C pertencem a
uma circunferência de raio igual a 1. O segmento AB
é um diâmetro e o ângulo, A B C mede 15°. A
medida da corda BC é
29
7)
2
7
3
b)
(1
e) 1+
7)
3
7
4
c)
(1
7)
4
6. (Ufc 1999) No triângulo ABC a seguir, 'a' é a
base, 'h' a altura relativa a esta base, e 'b' o lado
°
oposto ao ângulo de 45 .
umbigo.
Tomando AB como unidade de comprimento e
considerando 5 = 2,2, a medida C E da altura do
umbigo da modelo é:
a) 1,3 b) 1,2 c) 1,1 d) 1,0
9. (Uece 1999) A medida, em cm, da diagonal maior
de um paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8
cm e o menor ângulo mede 60° é igual a:
10. (Unirio 1998)
Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
a) 16. b)
16
4
. c) . d) 4 5 . e) 16 5 .
5
5
7. (Puc-rio 1999) A hipotenusa de um triângulo
retângulo mede 2 61 . A diferença entre os
comprimentos dos dois outros lados é 2. Então o
menor lado tem comprimento:
a)
Na figura a seguir, o valor da secante do ângulo
interno C é igual a:
30 . b) 7. c) 10. d) 5 6 . e) 11.
8. (UERJ) Observe a figura:
a)
5
4
b)
3
3
c)
5
4
d)
7
6
e)
4
5
11. (UFRS) Na figura a seguir, o valor numérico do
diâmetro AB é 5, e C é um ponto do círculo. Uma
solução possível para os valores numéricos de AC e
BC é
Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge
resolveu fazer uma brincadeira:
10.) esticou uma linha AB , cujo comprimento é
metade da altura dela;
0
2 .) ligou B ao seu pé no ponto C;
30.) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o
ponto D sobre BC ;
40.) fez uma rotação CD com centro C,
determinando E sobre AC .
Para surpresa da modelo, C E é a altura do seu
30
a) 1 e 2 6
b) 2 e 3
d) 1,5 e 3,5
e)
6e2
c) 1 e 4
12-(ANGLO)
NP. Se NS = 2 7 cm, NP = (12 - k1) cm, SQ = k1 cm
2
2
e MN = K2 cm, então k1 + k2 é igual a:
a) 34 b) 45 c) 49 d) 60
17. (G1 1996) Em um triângulo retângulo OAB,
retângulo em O, com OA = a e OB = b são dados os
pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP =
PQ = QB = x. Nestas condições, o valor de x é:
13. (Ufrs 1997) Dada a figura
a)
ab - a - b
b) - a - b a + b -
c)
a2
d) a + b +
e)
ab + a + b
b2
(2ab)
2ab
18. (Mack) No triângulo retângulo em A da figura a
seguir, h pode ser:
Qual o valor de x?
a) 2,15 b) 2,35 c) 2,75 d) 3,15 e) 3,35
14. (G1 1996) Um quadrado e um triângulo
equilátero têm perímetros iguais. Se a diagonal do
quadrado mede 9 2 m, então a altura do triângulo,
em metros é:
a)
3
2
b)
3
c) 2 3
d) 4 3
a)
e) 6 3
2a
3a
4a
3a
2a
. b)
. c)
. d)
. e)
.
3
4
5
5
5
19. Num triângulo retângulo cujos catetos medem
3 e 4 a hipotenusa mede:
15. (ACAFE - SC)
As projeções dos catetos de um triângulo retângulo
sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. Neste
caso os catetos medem:
a) 15 e 20 b) 10 e 12 c) 3 e 4 d) 8 e 6
a)
5
b)
7
c)
8
d) 12
e)
13
20. Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia
num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da
escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o
deslocamento verificado pela extremidade superior
da escada?
a) 4 dm b) 5 dm c) 6 dm d) 7 dm e) 8 dm
16. (UECE) Na figura a seguir, MNPQ é um
retângulo e S é um ponto de base MQ tal que SP =
31
21. (Ufes) Na figura a seguir está representada uma
circunferência com centro no ponto C e raio medindo
1 unidade de comprimento.A medida do segmento
d) 8+4 2
e) 6+4 2
27.(ANGLO) Um dos ângulos de um triângulo
retângulo mede 30°. Se o perímetro desse triângulo
de reta AB nesta unidade de comprimento é igual a
é ( 24 + 8 3 )cm, a hipotenusa ,em cm mede:
a) 4
b)8
c)8
3
d) 16
e) 16
3
28.(ANGLO)
a)
1
b)
2
3
2
c)
1
3
3
d)
2
2
e)
3
22. No triângulo a seguir, o valor de x é:
29.(ANGLO)
a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
23. (UNIRIO) Os lados de um triângulo retângulo
estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o
perímetro mede 57 cm, podemos afirmar que o maior
cateto mede:
a) 17 cm b) 19 cm ) 20 cm d) 23 cm e) 27 cm
24. (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12
e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 8,0cm b) 7,2cm c) 6,0cm d)5,6 cm e) 4,3 cm
25. (CESGRANRIO) Os catetos b e c de um
triângulo retângulo ABC medem 6 e 8,
respectivamente. A menor altura desse triângulo
mede:
a) 4,0. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0.
GABARITO
1)B 2)A 3)B 4)B 5)E 6)B 7)C 8)B 9)B 10)A
11)A 12)E 13)C 14)E 15)A 16)C 17)B 18)E 19)B
20)A 21)D 22) x=14 23)B 24)B 25)D 26)D 27)B
28)A 29)C
26. (ANGLO) Num triângulo retângulo a medida da
hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos.
Se o outro cateto mede 4 2 cm, o perímetro desse
triângulo, em cm, é:
a) 1+12 2
b) 8 2
c) 12 2
32
15-LEI DO COSSENO
Vamos considerar o triângulo ABC onde traçamos a altura h relativa ao lado b.
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos.
Repetindo a demonstração para os outros lados obtemos
lados 4 m e 6 m mede 120°. A maior diagonal desse
paralelogramo mede, em metros
4. (Ufpi 2000) Em um triângulo, um dos ângulos
mede 60° e os lados adjacentes a este ângulo
medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste
triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + 5 b) 5 + 3 c) 3 + 3
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, tem-se AC = 3,
AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é
d) 3 +
a)
17
12
b)
19
12
c)
23
12
d)
25
12
e)
7 e) 5 +
7
5. (Uel 1999) Sobre uma circunferência λ, de centro
O e raio r = 2 3 cm, são marcados dois pontos A e
B que determinam em λ uma corda de 6 cm de
comprimento. A medida, em radianos, do menor dos
ângulos AÔB é
5
2
a)
b)
c)
d)
e)
4
6
3
3
6
29
12
2. (Ufscar 06) Se os lados de um triângulo medem x,
x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que
1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo
é igual a
a) x / (x + 1). b) x / (x + 2).
c) (x + 1) / (x + 2).
d) (x - 2) / 3x. e) (x - 3) / 2x.
6. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3
cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado
°
entre os lados AB e BC mede 60 , então o lado AC
mede:
a) 37 cm b) 13 cm c) 2 3 cm
3. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de
d) 3 3 cm e) 2 2 cm
33
7. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e
6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo
vale:
a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8 d) - 3/8 e) - 3/10
10. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de
comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e
N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa
ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB.
Determinar o comprimento de MN.
8. (Ufg 2010) Uma empresa de vigilância irá instalar
um sistema de segurança em um condomínio
fechado, representado pelo polígono da figura a
seguir.
11. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular
medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos
minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos
ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
12-(ANGLO)
A empresa pretende colocar uma torre de
comunicação, localizada no ponto A, indicado na
figura, que seja equidistante dos vértices do
polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão
instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se
que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as
medidas dos outros lados são todas iguais à
distância do ponto A aos vértices do polígono.
Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a
torre, aos vértices do polígono.
9. Na figura a seguir, determine o valor de x e o
perímetro do triângulo.
Gabarito:
1)E 2)E 3)B 4)C 5)B 6)B 7)B 8) 1000 3 m.
9) x =
3
2 P = 7,5 cm 10) MN = 11/30 unidades
2
de comprimento 11) d =
34
7 m 12)A
16-LEI DO SENO
Considere o triângulo amarelo da figura. Vamos inicialmente calcular o valor do ângulo A.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
3. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em
um mesmo plano, conforme mostra a figura a
seguir.
1. (Uece) Em um triângulo, as medidas de seus
lados, em metros, são três números inteiros
consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro
da medida do menor. A medida do menor lado
deste triângulo é
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m
2. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da
circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela,
o ângulo â mede 60° e sen á =
( 3)
.
4
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos
pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
4. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma
praça de alimentação, a equipe necessitou calcular
corretamente a distância entre duas delas,
colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo
a figura. Assim, a distância "d" é
a) Determine sen OAB em função de AB.
b) Calcule AB.
35
E que, dada a disposição destas cidades, será
paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos
quilômetros tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos
quilômetros terá a rodovia DE.
7. (Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm,
como medidas, números inteiros ímpares
consecutivos cuja soma é 15.
a) 50 2 m b) 50
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse
triângulo.
c) Sendo á e â os outros dois ângulos do referido
triângulo, com â > á, mostre que sen2α - sen2 < 1/4.
( 6)
m c) 50 3 m
3
d) 25 6 m e) 50 6 m
5. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um
rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na
figura a seguir. Para calcular o comprimento AB,
escolhe-se um ponto C, na mesma margem em
°
que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57 e
°
ACB = 59 . Sabendo que BC mede 30m, indique,
em metros, a distância AB. (Dado: use as
aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64°) ≈ 0,90)
8. (Unicamp) Sejam A, B e C pontos de uma
circunferência tais que, AB =2km, BC =1km e a
°
medida do ângulo A B C seja de 135 .
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
9. (Mack) Supondo
da figura vale:
6. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são
interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.
3 = 1,7, a área do triângulo
a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 d) 1,35 e) 1,45
10. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e
BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km,
os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC,
são tais que senx =
3
3
e seny = . Deseja-se
7
4
construir uma nova rodovia ligando as cidades D e
36
11. (Fuvest) A corda comum de dois círculos que
se interceptam é vista de seus centros sob ângulos
°
°
de 90 e 60 , respectivamente, como é mostrado na
figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre
seus centros é igual a 3 1 , determine os raios
dos círculos.
Gabarito:
1)B 2) a) sen OAB =
b) AB =
[( 13)
6
1]
( 3)
4 AB
3) a) 1 km b)
4)A 5) 29 metros. 6) a) BC = 70 km
b) DE = 42 km 7) a) 3, 5, 7 b) 120°
c) No Triângulo
12-(ANGLO)
Pela lei dos senos, tem-se:
(sen β)/5 = (sen α)/3 = (sen 120°)/7
(sen2 β - sen2 α)/(25 - 9) = 3/196
sen2 β - sen2 α < 1/4
8) a) R =
5 2 2
2
km b) S =
km2
2
2
9)D 10)B 11) R=2; r= 2
12)C
37
2 km
17-PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
1) INCENTRO
O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, denominado de incentro, é
eqüidistante dos lados sendo portanto o centro da circunferência inscrita no triângulo
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
CONSIDERE UMA CIRCUNFERÊNCIA DE DIÂMETRO d INSCRITA EM UM TRIÂNGULO
RETÂNGULO DE MEDIDAS a, b e c. SE a e b SÃO CATETOS E c A HIPOTENUSA,TEMOS A
RELAÇÃO a+b = d+c
2) CIRCUNCENTRO
O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, denominado de circuncentro, é
eqüidistante dos vértices sendo portanto o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
3)BARICENTRO
O ponto de encontro das medianas, denominado de baricentro por ser o centro de massa do
triângulo, está situado a uma distância do vértice igual à 2/3 do comprimento da mediana.
38
4) CIRCUNCENTRO
As alturas de um triângulo se encontram num ponto denominado de ortocentro.
EXECÍCIOS BÁSICOS
1. (Ufpi 2000) No triângulo ABC (figura abaixo), os
lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm,
7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das
bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e
MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos
AMN e PQR é:
3. (UNIRIO)
Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e
seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo que os
pontos F e G são os pontos médios dos lados AD
10
a)
9
9
b)
8
7
c)
6
4
d)
3
e BD , respectivamente. Quantos rolos de fita
adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir
todos os segmentos da figura, se cada rolo possui
1m de fita?
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26
7
e)
5
2. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero
e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2
cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de
tangência, a medida de AE, em centímetros, é:
4. (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada
de um vértice de um triângulo à reta suporte do
lado oposto é denominado:
a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz.
d) altura.
e) base.
5-(ANGLO)
a) 2 3
b) 2 5
c) 3 d) 5 e)
26
39
Gabarito:
1)D 2)A 3)E 4)D 5) C
18-ÁREAS DE POLÍGONOS
18.1-TRIÂNGULO
R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo
40
18.2-QUADRILÁTEROS
TRAPÉZIO:
PARALELOGRAMO
RETÂNGULO
LOSANGO
QUADRADO
18.3-HEXÁGONO REGULAR
A= 6.
a2 3
4
41
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Fuvest 1989) A área de um triângulo de lados
a, b e c é dada pela fórmula S
=
p p a p b (p c) , onde p é o
semiperímetro (2p = a + b + c). Qual a área de um
triângulo de lados 5, 6 e 7?
a) 15 b) 21 c) 7 5
d)
210
e) 6 6
2. (Unesp 1997) A área de um triângulo isósceles
2
é 4 15 dm e a altura desse triângulo, relativa à
sua base, mede 2 15 dm. O perímetro desse
triângulo é igual a
a) 16 dm. b) 18 dm. c) 20 dm.
d) 22 dm. e) 23 dm.
a) 16 b) 18 c)
3. (Mackenzie 1997) O retângulo inscrito no
triângulo isósceles A B C da figura tem área
máxima. Então a área do triângulo assinalado AMN
é:
9
4
d) 24 e) 12
6. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, AC e BD
medem, respectivamente, 8 3 e 5. Então a área
do quadrilátero ABCD é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16
a) 30 b) 35 c) 40 d) 60 e) 80
4. (G1 1996) (Escola Técnica Federal - RJ)
A área do triângulo retângulo no qual a medida da
hipotenusa é 13 cm e a de um dos catetos é 5 cm é
igual a:
a) 128 cm2 b) 65 cm2 c) 30 cm2
2
2
d) 39 cm e) 60 cm
5. (Ufpe 1996) Na figura a seguir CD =
7. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, o
perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 e o
ponto P é médio do lado BC. Então a área do
triângulo AED é:
3
AB e a
2
área do triângulo OAB é 8. Qual o valor da área do
triângulo ODC?
42
a)
3
2
b)
3
c) 4 d) 2 e)
2
2
8. (Ufmg 1994) Observe a figura.
3 3
a)
d)
Nessa figura, o segmento AC é paralelo ao
segmento ED, AB = BC = 3cm e
BC
= 2.
ED
8
3
6
2 3
. b)
. e)
5
3
8
3
. c)
5
.
.
12. (Cesgranrio 1990) Se, no trapézio retângulo
A área do triângulo ABE é igual a 3 cm 2.
A área do trapézio BCDE, em cm 2, é
ABCD da figura adiante, AB = BC = 3 e á =
π
,
3
então a sua área vale:
9
11
a)
b) 6 c) 9 d)
e) 12
2
2
9. (Fuvest 1994) O triângulo ABC está inscrito
numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A e
B são extremidades de um diâmetro e que a corda
BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em
cm2, vale:
a) 24 b) 12 c)
5 3
2
d) 6 2
e) 2 3
10. (Fei 1994) Se os triângulos ABC e DEF são
construídos de tal maneira que: DE = 2 AB, EF = 2
BC e DF = 2AC, podemos afirmar que a divisão da
área do triângulo DEF pela área do triângulo ABC é
igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)
3 3
a)
3
3
2
3 5
d)
11. (Cesgranrio 1991) O triângulo ABC está
inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e
3 5
. b)
2
3
3
2
6 3
. e)
3 4
. c)
2
3
.
2
3
.
13. (Fuvest 1989) Os lados de um retângulo de
área 12 m2 estão na razão 1:3. Qual o perímetro do
retângulo?
a) 8 m b) 12 m c) 16 m d) 20 m e) 24 m
cujos ângulos satisfazem a condição B̂ =2 Ĉ ,
conforme se vê na figura. A área desse triângulo
ABC vale:
Gabarito:
1)D 2)C 3)B 4)C 5)B 6)A 7)A 8)A 9)A
10)D 11)E 12)A 13)C 14)E
43
19-ÁREA DE CÍRCULO E SUAS PARTES
19.1-CÍRCULO: A = r²
19.2- COROA CIRCULAR: A= R² - r²
A área da coroa circular é a diferença das áreas entre os círculos concêntricos.
19.3-SETOR CIRCULAR: A
.r 2
360 0
.r 2 .
19.4-ÁREA DE UM SEGMENTO CIRCULAR: A=
360 0
1 2
r sen
2
A área de um segmento circular é a diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo.
44
EXERCÍCIOS BÁSICOS
3
4
3 3
b)
4
3
c)
8
a)
1. (Fatec 1998) Na figura a seguir tem-se uma
circunferência C de centro O e raio de medida 3
cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do
ângulo AÔB é 45°
A área da região sombreada, em centímetros
quadrados, é igual a
d)
3
8
e)
3 3
8
5. (Uel 1997) Na figura a seguir tem-se a reta r
tangente à circunferência de centro C e o triângulo
equilátero ABC, cujo lado mede 8 3 cm.
a)
3
. π
4
2
2
π
3
.
2 4
3
π
9
c) .
4 2
2
π
9
d) .
2 4
2
π
9
e) .
2 2 1
b)
A área da região sombreada é, em centímetros
quadrados,
a) 52 π b) 48 c) 36
d) 30
e) 24 π
6. (G1 1996) (UNIRIO 92)
A área da região hachurada vale:
2. (Cesgranrio 1998) Os pontos A, B e C
pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabese que BC = 5 cm, AC = 10 cm e que os pontos A e
B são diametralmente opostos. A área do círculo
determinado por esta circunferência, em cm 2, é
igual a:
a) 125π/8
b) 125 /4
c) 125 /2
d) 125
e) 250
3. (Pucmg 1997) O comprimento de uma
circunferência é o quádruplo do perímetro de um
quadrado. A razão entre a área do quadrado e a
área do círculo é:
a) π/64 b) /72 c) /80 d) /120 e) /128
a) 12π – 2 b) 16 - 2
d) 8 - 2
e) 4 -
4. (Ufrs 1997) A altura de um triângulo equilátero
inscrito numa circunferência é 2 3 cm. A razão
entre a área desse triângulo e a área de um
quadrado inscrito nessa mesma circunferência é
c) 9 -
7. (Ufmg 1995) Observe a figura a seguir. Nessa
figura, OA = 4 3 , OB = 2 3 e AB e AC
tangenciam a circunferência de centro O em B e C.
45
A área da região hachurada é
-3
b) 2 - 3
d) 4 - 2 3
e) 4 - 3
a)
c) 4 - 3 3
a) divisor de 35.
b) menor que 8.
c) múltiplo de 5.
d) quadrado perfeito.
e) ímpar.
8. (Uel 1995) A área do triângulo equilátero OAB,
representado na figura a seguir é 9 3 cm2. A área
do círculo de centro O e tangente ao lado AB do
triângulo é, em centímetros quadrados,
10. (Uel 1994) Um trapézio, inscrito numa
circunferência de centro O, pode ser dividido em
três triângulos equiláteros congruentes, como
mostra a figura a seguir. Se a área do trapézio é
27 3 cm2, então a área do círculo limitado por
essa circunferência, em centímetros quadrados, é
igual a
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π
9. (Uel 1994) Um rolo de tela com 28 m de
comprimento será totalmente aproveitado para
cercar um jardim com formato de setor circular
como mostra a figura a seguir. Se a área do setor é
40 m2 e x é maior que y, então o raio do setor é um
número
a) 9
b) 16
c) 25
d) 36
e) 49
Gabarito:
1)C 2)B 3)A 4)E 5)E 6)D 7)C 8)A 90C 10)D
46
EXERCÍCIOS GERAIS
1-(ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto
P, ao círculo de centro O. A medida do arco
é
100º e a do arco
é 194º. O valor de x, em
graus, é
d) 8 < P < 14 e) 6 < P < 12.
5-(ESPM) A figura abaixo representa uma praça de
forma triangular, sendo que o ângulo  é reto. Duas
pessoas percorrem o contorno da praça a partir do
ponto A, mas em sentidos contrários, até se
encontrarem num ponto P do lado BC. Sabendo-se
que elas percorreram distâncias iguais, podemos
concluir que a distância do ponto P ao ponto A, em
linha reta é de, aproximadamente:
(adote
5 = 2,25)
a) 22m
b) 25m
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66.
2- Na figura os triângulos ABD e ACD estão
inscritos na circunferência
de raio
2 cm.
A
c) 27m
d) 30m
e) 32m.
6- O ponto D é o centro de uma circunferência de
26cm de diâmetro. O triângulo ABC inscrito nesta
circunferência possui base BC = 10cm e é
isósceles. A área hachurada do círculo é igual,em
cm², a :
D
A
B
C
Se ABD = 85 , ADB = 21 e BAC = 29 , então o lado
CD, em cm, mede :
a) 1
b) 2 c) 3/2 d) 3
e)2
a)169π-125
d)130π-125
3- Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano
que contém as retas paralelas r e s.
b)44π
e)26π-25
c)149π-75
7-Um salão de festas na forma de um hexágono
regular, com 10m de lado, tem ao centro uma pista
de dança na forma de um círculo, com 5m de raio.
Assinale o valor de α
a) 30° b) 50° c) 40° d) 70° e) 60°
A área, em metros quadrados, da região do salão
de festas que não é ocupada pela pista de dança é:
4- As medidas dos lados de um triângulo são
expressas por x, 2x e x² + 2. Sendo P o perímetro
desse triângulo, podemos afirmar que:
a) P < 6b) P > 8c) 4 < P < 8
47
a)25(30 3 - π)
b) 25(12 3 - π)
d)10(30 3 - π)
e)10(15( 3 - π)
c)25(6 3 -π)
13- A figura mostra duas circunferências de raios
8cm e 3cm, tangentes entre si e tangentes à reta r.
C e D são os centros das circunferências.
8- Considere um polígono convexo de nove lados,
em que as medidas de seus ângulos internos
constituem uma progressão aritmética de razão
igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus,
A) 120 B)130 C)140 D) 150 E)160
09- (VUNESP) Duas circunferências concêntricas α
e β têm raios de 6cm e 6 2 cm respectivamente.
Seja AB uma corda de β, tangente à α. A área da
menor região delimitada pela corda AB e pelo arco
AB mede, em cm²
A) 9(π– 3)
B) 18(π+ 3)
C) 18(π– 2)
D) 18(π+ 2)
E) 16(π+ 3)
Se é a medida do ângulo CÔP, calcule o valor do
sen
A) 1/6. B) 5/11 C) 1/2 D) 8/23 E) 3/8
14- Um observador situado num ponto O, localizado
na margem de um rio, precisa determinar sua
distância até um ponto P, localizado na outra
margem, sem atravessar o rio. Para isso marca,
com estacas, outros pontos do lado da margem em
que se encontra, de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também. Além disso,
OA é paralelo a BC, OA = 25m, BC = 40m e OB =
30m, conforme figura.
10- Na figura, se o triângulo ABC é isósceles, a
medida de AE é:
3
a)
b) 5/3 c) 4/3 d) 2/3 e)
2
11- O triângulo ABC é eqüilátero e o círculo de
centro O tem raio
AD
4
A distância, em metros, do observador em O até o
ponto P, é:
A) 30. B)35 C)40 D) 45
E)50
15- Um lateral L faz um lançamento para um
atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha
paralela à lateral do campo de futebol. A bola,
entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não
paralela à lateral e quando passa pela linha de meio
do campo está a uma distância de 12m da linha que
une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha
de meio do campo está à mesma distância dos dois
jogadores, a distância mínima que o atacante terá
que percorrer para encontrar a trajetória da bola
será de:
a) 18,8m
b) 19,2m c) 19,6m
d) 20m
e) 20,4m
Se a área do círculo é 3π, a área do triângulo é:
a) 12π
b) 16 3 c)8
2 d)9π e)20 5
12- Na figura, cada vértice do losango ABCD é o
centro de um arco de raio igual a 1. Se o ângulo de
vértice A mede 60º e a área assinalada é igual a 8
3 - π , o lado do losango é igual a:
a) 3
b) 4
c) 3,5 d) 5
e) 4,5
48
16-Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de 4cm
de lado. Os segmentos AF e DE são
perpendiculares e BE = 1cm. A área sombreada
mede, cm²:
22- A soma das distâncias de um ponto interior de
um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a
medida do lado do triângulo é :
a) 5
3 b)6
3 c)7
3 d)8 3 e)9
3
23-Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB
e CEA são arcos de circunferências de raio 1.
a) 8,32 b) 7,86 c) 7,42 d) 6,84
17-Um quadrado de área 0,027
metros, um perímetro igual a:
a)20/3
b)10/3 c)20/9 d)40/3
e) 6,16
2
3
m² tem, em
Logo, a área da região hachurada é
e)40/9
3
3
3
b) 1+
c) 14
2
6
6 4
3
3
3
d) 1+
e) 1 - 3 2
3 4
a) 1-
18- Numa circunferência de raio 5, uma corda
perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro
em duas partes, uma das quais mede 2. O
comprimento da corda é:
a) 4
b) 6
c) 7
d) 8
e) 5
+
24-Na figura abaixo, os dois círculos de raios
unitários são tangentes aos semi-círculos e aos
lados do quadrado. A área desse quadrado é:
19- Um retângulo xyzw está dividido em quatro
retângulos menores. As áreas de três deles estão
na figura a seguir.
a) 42,25
e) 72,25.
20-O triângulo ABC, inscrito numa circunferência,
20
c) 56,25
d) 64
25-A figura representa uma marca onde os arcos
têm centros nos vértices do quadrado de lado igual
a 10cm. Se as partes clara e escura devem ter a
mesma área, a medida do raio de cada arco deve
ser:
Logo, a área do retângulo xyzw é:
a) 55 b) 80 c) 86 d) 36 e) 91
tem um lado medindo
b) 49
cm, cujo ângulo oposto é
de 15º. O comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 2 ( 1 +
3 ) b) 400( 2+ 3 )
c) 80(1 + 3 )
d) 10( 2 3 +5)
e) 20( 1+ 3 )
considere
21-Sobre uma circunferência de centro O e raio
r=2 3 cm, são marcados dois pontos A e B que
determinam uma corda de 6cm de comprimento. A
medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é
a) 5 /6 b) 2 /3 c) /3 d) /4 e) /6
a) 4,50 cm
d) 4,15 cm
2
2,5
b) 4,40 cm
e) 4,00 cm
c) 4,25 cm
26-Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo
D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC.
Se AB = 8cm , AC = 10 cm , AD = 4 cm e AE = 6
49
cm, a razão entre as áreas dos triângulos ADE e
ABC é :
a) 1/2 b) 3/5 c) 3/8 d) 3/10 e) 3/4
AC = 2 cm A medida de DE, em centímetros, é igual
a
27-A cidade D localiza-se à mesma distância das
cidades A e B, e dista 10km da cidade C. Em um
mapa rodoviário de escala 1:100.000, a localização
das cidades A, B, C e D mostra que A, B e C não
estão alinhadas. Nesse mapa, a cidade D está
localizada na intersecção entre
A) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C
e raio 10cm.
B) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C
e raio 1cm.
C) as circunferências de raio 10cm e centros A, B e
C.
D) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência
de centro C e raio 10cm.
E) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência
de centro C e raio 1cm.
a) 1/2
b)1
c)
2
d) 1,5
e)
3
31- Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20cm,
AB = 15cm e BC = 14cm.
28-Na figura abaixo, os catetos do triângulo
retângulo ABC medem 8 cm, sendo N e M pontos
médios dos lados AC e AB, respectivamente.
A circunferência tangencia os segmentos MB, BC e
NM.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo
ABC, o quociente
A) 0,3
B) 0,35
QR
é igual a
AR
C) 0,4
D) 0,45
E) 0,5
32- O lado de um quadrado inscrito num círculo
Considerando π = 3,1, tem-se que a área da região
hachurada, em centímetros quadrados, é igual a
a) 11,6
b) 11,8
c) 12,4
d) 24,2
e) 37,6
mede 12 2 m; a medida do lado do triângulo
eqüilátero circunscrito, em metros, vale:
a) 20 3
b) 20 5
29-Observe a figura:
d) 24 3
e) 40
c)24 5
33-Considere que os ângulos de todos os cantos da
figura abaixo são retos e que todos os arcos são
arcos de circunferências de raio 2, com centros
sobre os pontos em destaque.
Nessa figura, a medida da hipotenusa AB e a do
cateto AD do triângulo DBA são 13 e 5,
respectivamente; C é o ponto médio de DB; os
ângulos em A e em C medem a; e os pontos A, D e
E são colineares. A medida do segmento DE é:
A) 7,5
B) 9
C) 10
D) 14,4
A área da região sombreada é igual a
a) 4
b) 4 π c) 16 d) 16 π e) 64
34- Se o diâmetro da semicircunferência abaixo
mede 5cm AB mede 1cm e o ângulo ABC mede 90º,
então a medida de BC é , em cm, igual a
30- Na figura abaixo, além das medidas dos ângulos
indicados, sabe-se que B é ponto médio de AC e
50
O valor de a é:
A) 4
B) 6
C) 8
a) 1
b)
2
c) 2
d) 2 2
D) 10
E) 12.
40- Na figura abaixo o ângulo x, em graus pertence
ao intervalo
e) 2 3
35- Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo lado
BC é tangente, no ponto B, à circunferência de
diâmetro AD = 6. A área da região assinalada é:
a) ( 0° , 15° )
c) ( 20° , 25°)
a) 11
b)12
c)9
d) 8
e) 10
b) ( 15°, 20°)
d) (25°, 30 ° )
41-O comprimento de uma mesa retangular é o
dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a
menos de comprimento e 45 cm a mais de largura,
seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é, em
m², de
A) 1,62 B) 1,45 C) 1,58 D) 1,82
36- Na figura, se MB = 18cm e A, B e C são pontos
de tangência, o perímetro do triângulo assinalado é,
em metros, igual a:
42-A bandeira representada ao lado mede 4m de
comprimento por 3m de largura. A faixa escura
cobre 50% da superfície da bandeira. A medida x
vale:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38
37-Um polígono regular tem 170 diagonais. A
medida de um ângulo interno desse polígono é :
a) 160º b) 161º c) 162º d) 165º
e) 168º
38-A figura abaixo representa um terreno com a
forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões
indicadas são dadas em metros.
a) 1,0m b) 1,2m c) 1,4m d) 1,6m e) 1,8m.
43- Em uma residência, há uma área de lazer com
uma piscina redonda de 5m de diâmetro. Nessa
área há um coqueiro,representado na figura por um
ponto Q. Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6m, a distância d = QP,
do coqueiro à piscina, é:
Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado
AB, de modo a dividir o terreno em duas superfícies
de áreas iguais. O comprimento dessa cerca, em
metros, deverá ser aproximadamente igual a
A) 26 B) 29 C) 33 D) 35 E) 37
A) 4m B) 4,5m C) 5m D) 5,5E) 6m.
44-Os pontos A e B estão, ambos, localizados na
superfície terrestre a 60° de latitude norte; o ponto A
está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56°15'
de longitude oeste.
39-A figura representa um retângulo subdividido em
4 outros retângulos com as respectivas áreas.
51
a) Dado que o raio da Terra, considerada
perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio
do paralelo de 60°?
b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B,
medida ao longo do paralelo de 60°? [Use 22/7
como aproximação para π]
51- Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro
que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm.
Calcule:
a) O comprimento de cada lado do triângulo.
b) A razão entre as áreas do hexágono e do
triângulo.
45- (VUNESP-06-J) A área do anel entre dois
círculos concêntricos é 25πcm². O comprimento da
corda do círculo maior, que é tangente ao menor,
em centímetros, é
A) 5/
2
B)5.
D) 10
E)10
C)5
52- Quatro triângulos congruentes são recortados
de um retângulo de 11x13. O octógono resultante
tem oito lados iguais. O comprimento do lado deste
octógono é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
2
2
53- Na figura, α = 30°, O é o centro da
circunferência e AB é o lado do polígono regular
inscrito na circunferência. Se o comprimento da
circunferência é 4π, a área desse polígono é:
46- As cidades de Quito e Cingapura encontram-se
próximas à linha do equador e em pontos
diametralmente postos no globo terrestre.
Considerando o raio da Terra igual a 6370km, podese afirmar que um avião saindo de Quito, voando
em média 800km/h, descontando as paradas de
escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
47- Três cidades A, B e C situam-se ao longo de
uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a
distância de B a C é igual a dois terços da distância
de A a B. Um encontro foi marcado por 3
moradores, um de cada cidade, em um ponto P da
estrada, localizado entre as cidades B e C e à
distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está
20 km mais próximo de C do que de B, determinar a
distância que o morador de B deverá percorrer até o
ponto de encontro.
a) 4
3 b) 6 3 c) 8 3 d) 12 3 e) 16 3
54- Considere três polígonos regulares tais que os
números que expressam a quantidade de lados de
cada um constituam uma progressão aritmética.
Sabe-se que o produto destes três números é igual
a 585 e que a soma de todos os ângulos internos
dos três polígonos é igual a 3780°. O número total
das diagonais nestes três polígonos é igual a:
a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106
48- (VUNESP-06-J) Na figura, ABCD é um
retângulo de base 10cm e altura 6cm. Os pontos E
e F dividem o lado CD em três partes iguais. A área
do triângulo AEF, em cm² é
55-A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e
centro C1 , que tangencia internamente a
circunferência maior, de raio R e centro C 2 . Sabese que A e B são pontos da circunferência maior,
AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em
T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e
A)20/3
B)8
C)10
D) 16 E)20
C2 .
49-O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e
ângulo P=60°. A medida do ângulo formado pela
bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do
ângulo externo P é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
50- Duas retas paralelas são cortadas por uma
transversal, de modo que a soma de dois dos
ângulos agudos formados vale 72°. Então, qualquer
dos ângulos obtusos formados mede:
a) 142°.b) 144°. c) 148°. d) 150°. e) 152°.
A área da região hachurada é:
52
A) 9π B) 12π C) 15π D) 18π E) 21π.
56- Em um paralelogramo, as medidas de dois
ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3 .
O ângulo menor desse paralelogramo mede
A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65°
57- De dois polígonos convexos, um tem a mais que
o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total
dos números de vértices e de diagonais dos dois
polígonos é igual a:
A) 63 B) 65 C) 66 D) 70 E) 77
a) 9
b) 10
21. (MACK-06-J) Na figura, a circunferência de
centro O tem raio 4cm, os pontos C, M e D são de
tangência e M é o ponto médio de AB. A área
assinalada, em cm², vale
c) 36
d) 16
e) 8
a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160°
63- Na figura , os ângulos assinalados são iguais,
AC = 2 e AB =6. A medida de AE é:
a)6/5
b) 18
d) 6
62- Na figura, O é o centro da circunferência. O
ângulo APB mede:
58-Considere três polígonos regulares tais que os
números que expressam a quantidade de lados de
cada um constituam uma progressão aritmética.
Sabe-se que o produto destes três números é igual
a 585 e que a soma de todos os ângulos internos
dos três polígonos é igual a 3780º. O número total
das diagonais nestes três polígonos é igual a:
A) 63 B) 69 C) 90 D) 97
E) 106
a) 12
c) 12
e) 24
b)7/4
c) 9/5 d) 3/2 e) 5/4
64- No retângulo da figura, cosα vale:
60- Na circunferência da figura, de centro O, MN =
OP. .A razão entre as medidas dos ângulos QÔP e
MÔN é:
a)
2 /2 b)1/2 c) 3 /3 d)1/3
e)1/4
65- Num triângulo retângulo de área 15 e
hipotenusa 10 a altura relativa à hipotenusa mede:
a) 4
b) 3,5 c)2
d) 3
e)4,5
a)4/3 b) 3/2 c) 3 d) 5/2 e) 4
66- Na figura, ABCDE é um pentágono regular, EF é
paralelo a AB e BF é paralelo a AE. A medida do
ângulo α é:
61- Na figura, a soma das áreas dos três quadrados
é 18. A área do quadrado maior é:
53
a)
3
3
2 3
b)
c)
2
3
3
d)
3 3
4
e)
4 3
3
70-(FUVEST-06) Na figura ao lado, a reta s passa
pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio
R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro.
Além disso, a reta t passa por P, é tangente à
circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se
PQ = 2R, então cosα vale
a) 72º b) 54º c) 60º d) 76º e) 36º
67-No triângulo ABC da figura, o lado BC mede 4,5
e o lado do quadrado DEFG mede 3.
2 /6
d)2 2 /3
2 /3
e)3 2 /5
a)
b)
c)
2 /2
71- Se um círculo e um quadrado têm áreas iguais,
então a razão entre o comprimento da
circunferência do círculo e o perímetro do quadrado
é:
A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC,
mede:
a) 7,5 b) 8,0 c) 8,5 d) 9,0 e) 9,5
a)
68- Na figura, AB= AC e CE= CF. A medida de β é:
2
b)
2
c)
2
e) π/2
d)2π
72- Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no
triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, o perímetro
do quadrado é:
a) 20
a) 90° b) 120° c) 110° d) 130° e) 140°
b) 15
c) 18
d) 16
e) 17
73- As bases de um trapézio isósceles medem 7 e
13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é:
a) 27 b) 25 c) 20 d) 30 e) 40
69- Na figura, a circunferência de centro O tem raio
2 e o triângulo ABC é equilátero. Se PQ//BC , a área
assinalada vale:
74- Se a circunferência de um círculo tiver o seu
comprimento aumentado de 100%, a área do círculo
ficará aumentada de:
a) 300%
b) 400% c) 250%
d) 100%
e) 200%
2
75- Um quadrado de área 0,027 3 m² tem, em
metros, um perímetro igual a:
a) 20/3 b)10/3 c) 20/9 d) 40/3 e) 40/9
54
76- No setor circular da figura, α = 60° e M, N e P
são pontos de tangência. Se o raio do setor é 12, a
área do círculo de centro O é :
a) 18π b) 16π c) 9π
d) 4π
a) 3
b)4
c)5
d) 5/2
e)7/2
80- Na representação em escala, os quadrados são
iguais e cada centímetro representa 100km. Um
avião sai da cidade A, faz escala na cidade C,
chegando cidade B, conforme a figura. Das
alternativas dadas, assinale o valor mais próximo,
em km, da distância percorrida pelo avião, de A até
B, passando por C.
e) 12π
77- Na figura, se a área do quadrilátero ABCD
é
3 3
, o perímetro do triângulo eqüilátero ABC é:
8
a) 1000
b)950
c) 150 d) 1400
e) 1250
81- Um terreno retangular tem área igual a 1000m²,
sendo a largura igual a 2/5 do comprimento. Seu
perímetro, em metros, é:
a) 192 b) 184 C) 140 d) 196 e) 204
a)3
b) 3/2
c) 3/8
d)6
e) 3/4
82- Na figura, AH = 4, BC = 10 e DC = 8. A medida
de AB é:
78- Um veículo percorre uma pista circular de raio
300m, com velocidade constante de 10m/s, durante
um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais
próximo da medida, em graus, do arco percorrido é:
a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 170
78- Na figura, a diferença entre as áreas dos
quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4, a área
do triângulo CDE vale:
a) 4,8 b) 5,2 c) 5,0 d) 4,6 e) 5,4
83- Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e as
curvas são arcos de circunferências com centros em
D e em C. A área do triângulo DCE é:
a) 18,5 b) 20,5 c) 22,5 d) 24,5 e) 26,5
79- Na figura, se AB= 5AD= 5FB, a razão
FG
DE
vale:
a)
3 b)
3 /2 c)2 3 d) 3 /4 e)4 3
84- Considere um poste perpendicular ao plano do
chão. Uma aranha está no chão, a 2m do poste, e
começa a se aproximar dele no mesmo instante em
que uma formiga começa a subir no poste.A
velocidade da aranha é de 16cm por segundo e a
da formiga é de 10cm por segundo. Após 5
segundos do início dos movimentos, a menor
distância entre a aranha e a formiga é, em metros
a) 2,0 b)1,3 c)1,5
d) 2,2 e) 1,8
55
85- Numa circunferência de raio 5, uma corda
perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro
em duas partes, uma das quais mede 2. O
comprimento da corda é:
a) 4
b) 6
c) 7
d) 8
e) 5
86- Na figura, AB é diâmetro da semicircunferência
de centro O.
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
91- Na figura, as circunferências têm o mesmo
centro O e os menores arcos AB e EF são tais que
AB = EF = 40º. A medida do menor arco CD é:
Se AB mede 2, a área assinalada vale:
a)π/2 b) π/4 c) π/6 d)π e) π/8
87-Num paralelogramo, a diagonal maior mede 7
e um ângulo interno mede 60°. Se a medida de um
lado é o dobro da medida do outro, o perímetro
desse paralelogramo é igual a:
a) 9
b) 6
c) 8
d) 10 e) 12
88- Na figura, CB é diâmetro, os menores arcos AC
e CD medem 60° e a área do quadrilátero ACDB é
a) 50º b) 70º c) 65° d) 60º e) 80º
4 3
A medida de AB é :
3
a)3 b)2
c)
2
d)
92- Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e M é
ponto médio de AD. Considerando-se x a medida da
área do triângulo AEM e y a medida da área do
triângulo AEB, é válido afirmar-se que:
3 e)3/2
89- Na figura, AB = AC , AD= AE e
ângulo α mede:
a) 2x = y
d) 3x = 2y
CDE = 10°. O
b) x =y
e) 4x = y
c) 3x = y
93- Na figura abaixo o raio da circunferência maior é
o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às
duas circunferências. A reta t é tangente às duas
circunferências, no mesmo ponto. Quanto vale cos
2
a) 10° b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º
90- Na figura, se r // s, AB = 4, BC = 3, CD = 2 e CF
= 5, a área de CDEF é:
a)1/3
56
b)1/2
c)
2
2
d)
3
2
e)
2
3
94- Uma praça possui a forma da figura, onde
ABCE é um quadrado, CD = 500m, ED = 400m. Um
poste de luz foi fixado em P, entre C e D. Se a
distância do ponto A até o poste é a mesma,
quando se contorna a praça pelos dois caminhos
possíveis, tanto por B como por D, conclui-se que o
poste está fixado a
estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada,
a 1000m da ETA. Pretende-se construir um
restaurante, na estrada, que fique à mesma
distância das duas estações. A distância do
restaurante a cada uma das estações deverá ser ,
em metros, de
A) 575 B)600 c) 625 D) 700 E) 750
99- Os dois maiores lados de um triângulo retângulo
medem 12dm e 13dm. O perímetro desse triângulo
é, em dm:
a) 36
b) 35
c) 34
d) 33 e) 30
A) 300m do ponto C.
C) 275m do ponto D.
E) 175m do ponto C.
100-As medidas dos catetos de um triângulo
retângulo são, respectivamente, 30 cm e 40 cm. A
altura relativa à hipotenusa mede:
a) 24 b) 20 c) 31 d) 23 e) 25
B) 300m do ponto D.
D) 250m do ponto C.
101-Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O
co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8.
95-O número de diagonais de um polígono convexo
de x lados é dado por N(x)=
x 2 3x
. Se polígono
2
102- No triângulo ABC, os lados AC e BC medem
8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°.
O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
possui 9 diagonais, seu número de lados é
A) 10 B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
96-Uma piscina retangular, de 6m de largura por
12m de comprimento, é contornada por uma
superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo
os cantos formando triângulos, como mostra a
figura.
103- O menor país do mundo em extensão é o
Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km². Se o
território do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados estaria
entre:
a) 200m e 201m b) 220m e 221m c)401m e 402m
d)632m e 633m e)802m e 803m.
104-Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio da
circunferência a ele circunscrita vale:
a) 8
b) 8,5 c) 10 d)12,5 e) 14,5
105-O retângulo ABCD tem área igual a 60cm².
Sabendo-se que E é um ponto do lado CD,
podemos afirmar que a área do triângulo ABE é:
a) 30 b) 40 c) 50 d) 40 e) 50
A área (em m²) dessa região ladrilhada, que está
marcada na figura, é
A) 72. B)80 C)88 D) 120
e)152
97-A sombra de um prédio, num terreno plano,
numa determinada hora do dia, mede 15m. Nesse
mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de
um poste de altura 5m mede 3m.
106- Na figura , a reta r é paralela ao segmento AC ,
sendo E o ponto de intersecção de r com a reta
determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos
ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área
do quadrilátero ABED é 21,então a área do
triângulo BCE é:
A altura do prédio, em metros, é
A) 25 B)29 C)30
D) 45 E)75
a) 6
98-Uma estação de tratamento de água (ETA)
localiza-se a 600m de uma estrada reta. Uma
57
b)7
c)8
d) 9
e)10
107- Quantos lados tem um polígono regular com
exatamente 35 diagonais ?
A) 6
B)
C)10
D) 12 E)20
Admitindo que as tábuas estejam perfeitamente
encostadas umas nas outras, a área do retângulo
ABCD inscrito na circunferência, em cm², é igual a
D)1400
2
B)1200 3
E)800
a) 16/3 b) 35/6 c) 39/8 d) 40/9 e) 70/9
C)800 3
113-Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles
e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado
2
2 2
. Então, a medida do lado AB é:
3
109- Um programa de rádio é gerado em uma
cidade plana, a partir de uma central C localizada
40km a leste e 20km a norte da antena de
transmissão T. C envia o sinal de rádio para T, que
em seguida o transmite em todas as direções, a
uma distância máxima de 60km. O ponto mais a
leste de C, que está 20km a norte de T e poderá
receber o sinal da rádio, está a uma distância de C,
em km, igual a
A) 20(
2 -1)
B)30
D)40
3 1
E)50 2
3 1
C)40(
c) π + 3
112-Na figura, ABC é um triângulo retângulo de
catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo
a AB , F é um ponto de AB e o segmento CF
intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2.
Assim, a área do triângulo CDE é:
108- Sobre um assoalho com 8 tábuas retangulares
idênticas, cada uma com 10cm de largura, inscrevese uma circunferência, como mostra a figura.
A)1600 3
b) π+ 2
e) 2π + 1
a)π/2+2
d) π + 4
a) 1
2 -1)
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
114-Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção
das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo
agudo BEC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2,
então a área do quadrilátero ABCD será:
2
110- Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono
regular. A medida, em graus, do ângulo a é:
a) 12sen
8cos
a) 32º b) 34º c) 36º d) 38º e) 40º
111-Na figura seguinte, estão representados um
quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma
semicircunferência de raio 2. Então a área da região
hachurada é:
58
b) 8sen
c) 6sen
d) 10cos
e)
a)  2 /8
d) 3  2 /4
115-(FUVEST-07) A figura representa um retângulo
ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no
segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto
de interseção da diagonal ACcom o segmento BE.
Então a área do triângulo BCF vale
b)
e)


2 /4
c)

2 /2
2
120-(FUVEST-07) Uma fazenda estende-se por dois
municípios A e B. A parte da fazenda que está em A
ocupa 8% da área desse município. A parte da
fazenda que está em B ocupa 1% da área desse
município. Sabendo-se que a área do município B é
dez vezes a área do município A, a razão entre a
área da parte da fazenda que está em A e a área
total da fazenda é igual a
a)2/9
a) 6/5 b)5/4 c) 4/3 d) 7/5 e) 3/2
b)3/9
c)4/9
d)5/9
e)7/9
121-(FUVEST-07) Na figura, OAB é um setor
circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o
segmento CD é tangente em X ao arco de extremos
116-(MACK-06-J) No triângulo abaixo, temos AB =
BC e CD = AC. Se x e y são as medidas em graus
dos ângulos A e B , respectivamente, então x + y é
igual a
A e B do setor circular. Se AB= 2 3 e AD=1então a
área do setor OAB é igual a
a) 120° b) 110° c) 115° d) 95° e) 105°
a) /3
b)2 /3 c) 4 /3 d)5 /3 e)7 /3
117-(IBMEC-06-J) Em um triângulo ABC, AB = 1cm,
122-(UNIFESP-08) Você tem dois pedaços de
arame de mesmo comprimento e pequena
espessura. Um deles você usa para formar o círculo
da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais
para formar os três círculos da figura II.
BC= 3 cm e o ângulo C mede 30°. Se P é o
perímetro do triângulo ABC, em centímetros, então:
a) P < 3,0.
d) 4,0 <P <5,5.
b) 3,0 <P <4,0.
e) P <4,5.
c) 3,5 <P <5,0.
118-(UNIFESP-07) Em um triângulo com lados de
comprimentos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b – c) =
3ab. A medida do ângulo oposto ao lado de
comprimento c é
A) 30° B) 45º C) 60º D) 90° E) 120º
119-(FUVEST-08) No retângulo ABCD da figura
tem-se CD =  e AD = 2  . Além disso, o ponto E
pertence à diagonal BD , o ponto F pertence ao
lado BC e EFé perpendicular a BD. Sabendo que a
área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do
triângulo BEF, então BF mede
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada
por
A) S = 3s.
B) S = 4s.
C) S = 6s.
D) S = 8s.
E) S = 9s
123-(UNIFESP-08) Tem-se um triângulo eqüilátero
em que cada lado mede 6cm. O raio do círculo
circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede
a)
3
b)2 3
c)4
d)
3 2
e) 3 3
124-(UNIFESP-08) A soma de n – 1 ângulos
internos de um polígono convexo de n lados é
1900º. O ângulo remanescente mede
A) 120°. B) 105°. C) 95°. D) 80°. E) 60°.
59
125-(UNIFESP-08) Na figura, o ângulo C é reto, D é
ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB =
20cm e AC = 12cm
comum aos dois triângulos, em centímetros
quadrados, é igual a
A área do quadrilátero ADEC, em cm², é
A) 96. B) 75. C) 58,5. D) 48.
E) 37,5.
a)6 b)4 3
c)6 3 d)12
e)12 3
129-(UNIFESP-07) Se um arco de 60º num círculo I
tem o mesmo comprimento de um arco de 40º num
círculo II, então, a razão da área do círculo I pela
área do círculo II é
a)2/9 b)4/9 c)2/3 d)3/2 e)9/4
126-(UNIFESP-07) De um cartão retangular de base
14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um
quadrado de lado x e um trapézio isósceles,
conforme a figura, onde a parte hachurada será
retirada
130-(UNIFESP-07) A figura mostra um arco
parabólico ACB de altura CM = 16cm, sobre uma
base AB de 40cm. M é o ponto médio de AB.
A altura do arco em centímetros, em um ponto da
base que dista 5cm de M, é
A) 15. B) 14 C) 13 D) 12. E) 10.
O valor de x em centímetros, para que a área total
removida seja mínima, é
A) 3
B)2.
C)1,5. D)1.
E)0,5.
131-(VUNESP-08) Uma certa propriedade rural tem
o formato de um trapézio como na figura. As bases
WZ e XY do trapézio medem 9,4km e 5,7km,
respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.
127-(UNIFESP-07) A figura mostra duas roldanas
circulares ligadas por uma correia. A roldana maior,
com raio 12cm, gira fazendo 100 rotações por
minuto, e a função da correia é fazer a roldana
menor girar. Admita que a correia não escorregue
Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo X W Z, a
medida, em km, do lado YZ que fica à margem do
rio é:
A) 7,5. B) 5,7 C) 4,7 D) 4,3. . E) 3,7
Para que a roldana menor faça 150 rotações por
minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser
A) 8
B)7 C) 6.
D) 5. E) 4.
128-(UNIFESP-07) Dois triângulos congruentes
ABC e ABD, de ângulos 30°, 60° e 90°, estão
colocados como mostra a figura, com as
hipotenusas AB coincidentes. Se AB = 12cm, a área
60
132-(VUNESP-07) A figura representa um triângulo
retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de
reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.
Para esses filmes serem exibidos sem distorções,
em uma TV tradicional de tela plana, cuja razão
entre largura e altura é 4/3, surgem faixas pretas na
horizontal. A área ocupada pelas faixas pretas, em
relação à área total da tela dessa TV, é
a) 20% b) 23% c) 25% d) 28% e) 30%
137-(MACK-08) Na figura ao lado, a circunferência
de raio 6 é tangente às retas r e s nos pontos P e Q.
.
Se AB = 15cm, AC = 20cm e AD = 8cm, a área do
trapézio ABED, em cm², é
A) 84. B) 96 C) 120. D) 150. E) 192.
133-(PUC) Dois navios navegavam pelo Oceano
Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade
constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade
constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15
horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas
ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em
linha reta para o leste, enquanto que X navegou em
linha reta para o sul, cada qual mantendo suas
respectivas velocidades. Nessas condições, às 17
horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre
X e Y, em milhas, era
a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58
A área da região sombreada é
a) 8 2
b)6 2 +2 c)
3 d) 8 3 -4 e) 4 3 +4
138-(ESPM) Os retângulos ABCD e AEFG são
congruentes e seus perímetros medem 18cm. O
maior valor que a área sombreada pode ter é: (em
cm²)
134-(UFSCAR) A figura representa três
semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de
diâmetros AD , AC e CD. Sendo CB perpendicular a
AD, e sabendo-se que AB = 4cm e DB = 3cm, a
medida da área da região sombreada na figura, em
cm², é igual a
a) 18
b) 30
c) 24 d) 27 e) 36
139-(ESPM-07-J) Os triângulos ABC e BCD da
figura abaixo são retângulos. A área do triângulo
BCE, em centímetros quadrados, é igual a:
A) 1,21
B) 1,25
C) 1,36
D) 1,44
E) 1,69
135-(ITA-08) Considere o triângulo ABC isósceles
em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede
40°. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE =
15°. Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que DBC
=35°. Então, o ângulo EDB vale
A) 35° B) 45° C) 55° D) 75°E) 85°
a) 12,5 b) 15
136-(MACK-08) Alguns filmes em DVD apresentam
imagens, cuja razão entre largura e altura é 16/9.
61
c) 20
d) 17, e) 10
• a soma das medidas dos ângulos BCE, AD E e
CED totaliza 130º.
140-(ESPM-07) No triângulo ABC abaixo, os
segmentos x, y, z e w possuem medidas inteiras de
centímetros e são todos distintos entre si. A área
desse triângulo, em cm², vale:
a) 64
b) 48
c) 92
d) 84
Nessas condições, o ângulo DAB mede
a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º
e) 108
144-(IBMEC-08) No triângulo ADE da figura, em
que B e C são pontos dos lados AD e AE,
respectivamente, AB = AC, BC = BD e CD = CE.
141-(ESPM-07) Na figura abaixo, cada quadrícula
tem área igual a
1
m². A corda AB é tangente à
circunferência interna da coroa circular de centro O.
A área dessa coroa vale:
Então,
a) x = 48º.
d) x = 54º
b) x = 50º
e) x = 56º
c) x = 52º.
145-(IBMEC-08) Na figura ao lado, ABCDEF é um
hexágono regular de lado 4cm, PA = PB e PD = PE.
Se a área do triângulo ABP é o triplo da área do
triângulo PDE, então a distância entre os pontos P e
E, em cm, vale
a) 11m² b)7m² c)10m² d) 8m² e) 9m²
142-(IBMEC-08) Os triângulos da figura abaixo são
equiláteros, todos os quadriláteros apresentados
são quadrados e o polígono do meio é um
hexágono regular. A razão entre a soma das áreas
das regiões sombreadas e a soma das áreas das
regiões em branco é igual a
a)
a)
3 /4 b)
3 /2 c)
3
d)2
3 e)4
7 b)
6 c)
5 d)
3 e)
2
146-(UNICAMP-08) Uma ponte levadiça, com 50
metros de comprimento, estende-se sobre um rio.
Para dar passagem a algumas embarcações, podese abrir a ponte a partir de seu centro, criando um
vão AB, conforme mostra a figura abaixo.
Considerando que os pontos A e B têm alturas
iguais, não importando a posição da ponte,
responda às questões abaixo
3
143-(IBMEC-08) Na figura abaixo:
• os segmentos AF e BF são congruentes;
62
A) 72º
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1°
equivale a 30 segundos, qual será o tempo
necessário para elevar os pontos A e B a uma altura
de 12,5m, com relação à posição destes quando a
ponte está abaixada?
b) Se α = 75º, quanto mede AB?
B)108º C)120º D)135º E) 144º
151-(GV-08-ECON) Em relação a um quadrilátero
ABCD, sabe-se que med(BAD) = 120º, med(ABC) =
med(AD C) = 90º, AB = 13 e AD = 46. A medida do
segmento ACé
A) 60 B) 62 C) 64 D) 65 E) 72
152-(GV-08-ECON) No triângulo ABC, AB = 8, BC =
7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra
a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo
PAB, semelhante ao triângulo PCA.
147. (FUVEST 2012) O segmento AB é lado de um
hexágono regular de área 3 . O ponto P pertence à
mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo
PAB vale 2 . Então, a distância de P ao segmento AB
é igual a
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 3 e) 2 3
148-(UNICAMP-07) Em um triângulo com vértices
A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se
que o ângulo  tem 90º e que o círculo inscrito
tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado
em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC =
3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC .
c) Determine a área da região que é, ao mesmo
tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo
O comprimento do segmento PC é
A) 7. B) 8
C) 9. D) 10. E) 11.
153-(UNIFESP-09) O hexágono cujo interior
aparece destacado em cinza na figura regular e
origina-se da sobreposição de dois triângulos
equiláteros.
149-(GV-08-ADM) Num triângulo retângulo, a
medida da hipotenusa é o triplo da medida de um
dos catetos. A razão entre a medida da hipotenusa
e a medida do outro cateto é igual a:
3
2 2
a)
3
2
d)
12
b)
3 2
4
c)
3.2
3
2
e)9
150-(GV-08-ECON) Dado um pentágono regular
ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos
vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam
tangentes a essa circunferência, em B e E,
respectivamente. A medida do menor arco BE na
circunferência construída é
Se k é a área do hexágono, a soma das áreas
desses dois triângulos é igual a:
a) k.
b) 2k. c) 3k. d) 4k. e) 5k.
154-(UEL-09) Um losango com lado 20 cm e um
ângulo de 30° tem área de ( em cm²) :
a) 57 b) 87 c) 200 d) 346 e) 400
63
155-(UNICAMP-09) A figura mostra um sapo de
origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A
figura à direita mostra o diagrama usado para a
confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo
de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas
representam as dobras que devem ser feitas. As
partes destacadas correspondem à parte superior e
à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a
158-(FUVEST-09) A figura representa sete
hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono
maior, cujos vértices coincidem com os centros de
seis dos hexágonos menores. Então, a área do
pentágono hachurado é igual a
a) 3
.
a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros,
do retângulo de papel usado para confeccionar um
sapo cuja parte superior tem área igual a 12cm²?
b) Qual a razão entre os comprimentos das arestas
a e b da pata direita do sapo?
3
b)2
3
c)3
3 /2
d)
3
e)
3 /2
159-(VUNESP-09) Paulo e Marta estão brincando
de jogar dardos. O alvo é um disco circular de
centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo
num ponto, que vamos denotar por P; em seguida,
Marta joga outro dardo, que atinge um ponto
denotado por M, conforme figura.
156-(ITA-09) Do triângulo de vértices A, B e C,
inscrito em uma circunferência de raio R = 2cm,
sabe-se que o lado BC mede 2cm e o ângulo
interno ABC mede 30º. Então, o raio da
circunferência inscrita neste triângulo tem o
comprimento,
em cm, igual a
a)
d)
2
3
2 3 3
b) 1/3 c)
2
4
Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O
do alvo é PO= 10cm, que a distância de P a M é
PM= 14cm e que o ângulo PÔM mede 120°, a
distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é
A) 12. B) 9. C) 8. D) 6. E) 5
e)0,5
157-(FUVEST-09) Na figura, B, C e D são pontos
distintos da circunferência de centro
O, e o ponto A é exterior a ela.
160-(FUVEST-10) Na figura, o triângulo ABC é
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso,
o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E
pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à
hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um
paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do
paralelogramo DECF vale
Além disso,
(1) A, B, C e A, O, D são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de ABO, em radianos,
é igual a
a) - /4
b) - /2
c) -2 /3
d) ´3 /4
e) -3 /2
A) 63/25 B)12/5 C) 58/25 D)56/25 E)11/5
64
161-(FUVEST-10) A figura representa um quadrado
ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede
163. (col.naval 2011) ABC é um triângulo
equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e
exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta
AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o
ˆ é igual a 60º, que PA 6 e PC 8, a
ângulo APB
medida de PQ será
24
33
11
23
19
a)
b)
c)
d)
e)
7
14
4
5
6
5
, o ponto E está em CD e AF é bissetriz do
4
ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE
mede
164. ( cftmg 2011) Referindo-se às afirmações
seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F)
para as falsas.
3 5
40
11 5
D)
40
A)
7 5
40
13 5
E)
40
B)
C)
( ) Dois triângulos semelhantes são sempre
congruentes.
( ) Dois triângulos equiláteros são sempre
semelhantes.
( ) Dois triângulos retângulos são sempre
semelhantes.
( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre
congruentes.
9 5
40
A sequencia correta encontrada é
a) V, V, V, F. b) F, V, F, F.
c) F, V, F, V. d) F, F, F, V.
162-(UNICAMP-10) O papagaio (também conhecido
como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo
muito comum no Brasil. Afigura abaixo mostra as
dimensões de um papagaio simples, confeccionado
com uma folha de papel que tem o formato do
quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu
(indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma
das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha
de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o
formato de um arco de circunferência e tangencia as
arestas AB e AD nos pontos B e D,
respectivamente.
165- ( cftmg 2011) No loteamento Recanto Verde,
um professor comprou uma chácara, cujo terreno
tem forma retangular e dimensões 40m 90m . Ele
pretende cercar essa área com estacas de cimento
distanciadas de 2,5m uma da outra. O número de
estacas necessário para cercar todo esse terreno é
a) 102 b) 103 c) 104 d) 108
166-(Espm 2011) Uma parede retangular cujo
comprimento mede o dobro da altura, foi revestida
com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo
tamanho, sendo que, em todo o contorno externo,
foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais
escuras, como na figura exemplo abaixo.
O número de azulejos mais claros usados no interior
da parede foi de:
a) 260 b) 246 c) 268 d) 312 e) 220
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que
forma o papagaio.
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que
liga os pontos B e D.
167- (Ufpr 2011) Um telhado inclinado reto foi
construído sobre três suportes verticais de aço,
colocados nos pontos A, B e C, como mostra a
figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C
medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de
altura.
65
Refeito do susto, Roberto reparou que, após
deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º
com o piso horizontal. A distância entre a parede da
casa e o muro equivale a
A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros. b) 4,5 metros.
c) 5 metros.
d) 5,2 metros.
e) 5,5 metros.
168-(Eewb 2011) Na figura, ANM é um triângulo e
ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado:
a) 4 3 + 1 metros. b) 3 2 −1 metros.
c) 4 3 metros. d) 3 2 −2 metros.
AM = 4 cm NA = 6 cm
173-( ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no
ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco
é 100º e a do arco
é 194º. O valor de x, em
graus, é
a) 2,4 cm b) 2,0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm
169. (Ita 2011) Seja ABC um triângulo retângulo
cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm,
respectivamente. Se D e um ponto sobre AB e o
triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento
AD , em cm, é igual a
3
15
25
25
15
a)
b)
c)
d)
e)
4
4
4
2
6
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66.
174-(col.naval 2011) Em um triângulo acutângulo
não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro,
circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado
que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é
'k', pode-se concluir que a distância entre o
circuncentro e o baricentro será
5k
k
4k
4k
k
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
3
5
3
170-(col.naval 2011) ABCD é um quadrado de lado
L. Sejam K a semicircunferencia, traçada
internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a
semicircunferencia tangente ao lado AB em A e
tangente à K. Nessas condições, o raio da
semicircunferencia T será
5L
4L
2L
3L
L
a)
b)
c)
d)
e)
6
5
3
5
3
175-(Ufpel 2011) A área, em cm2, de um hexágono
regular de 3 cm de lado, está no intervalo
a) [10,15] b) [15,20] c) [20,25] d) [25,30]
171-(Eewb 2011) Uma pessoa caminhou 5 km para
o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte,
novamente. A que distância ela está do seu ponto
de partida?
176- (col.naval 2011) Tem-se o quadrado de
vértices ABCD com lados medindo ‘k' cm. Sobre AB
BM
marca-se M, de modo que AM
. Sendo N o
3
simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se
que MN corta a diagonal AC em P. Em relação à
área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a:
a) 18% b) 24% c) 27% d) 30% e) 36%
a) 5 km b) 13 km c) 20 km d) 27 km
172-(Unicamp 2011) Para trocar uma lâmpada,
Roberto encostou uma escada na parede de sua
casa, de forma que o topo da escada ficou a uma
altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus,
a base da escada escorregou por 1 m, tocando o
muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo.
66
177- (Ufpr 2011) O retângulo ABCD foi dividido em
nove quadrados, como ilustra a figura ao lado. Se a
área do quadrado preto é 81 unidades e a do
quadrado cinza 64 unidades, a área do retângulo
ABCD será de:
d) 3 2 3
e) 3 3 3
180. (Ita 2011) Sejam ABCD um quadrado e E um
ponto sobre AB . Considere as áreas do quadrado
ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE.
Sabendo que estas áreas definem, na ordem em
que estão apresentadas, uma progressão aritmética
cuja soma é 200 cm 2, a medida do segmento AE ,
em cm, é igual a
20
25
10
a)
b) 5 c)
d)
e) 10
3
3
3
181. (Uel 2011) As quadras de tênis para jogos de
simples e de duplas são retangulares e de mesmo
comprimento, mas a largura da quadra de duplas é
34% maior do que a largura da quadra de simples.
a) 860 unidades. b) 990 unidades.
c) 1024 unidades. d) 1056 unidades.
e) 1281 unidades.
178- (Insper 2011) Na figura, em que as retas r e
s são paralelas, A é um ponto que dista 1 de r e
2 de s. Dada uma medida , em graus, tal que
0
90, tomam-se os pontos B e P sobre r e
ˆ
ˆ
m(ACQ)
.
C e Q sobre s tais que m(ABP)
Considerando que a área da quadra de duplas é
66,64 m2 maior, a área da quadra de simples é:
a) 89,00 m2 b) 106,64 m2 c) 168,00 m2
d) 196,00 m2 e) 226,58 m2
182- (Ita 2011) Um triângulo ABC está inscrito
numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda
que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz
Nessas condições, a área do triângulo ABC é :
a) tg .
b) 2 tg . c) tg cotg .
d) cotg .
e) 2cotg .
do ângulo
intercepta a circunferência no ponto
D. Se e a soma das áreas dos triângulos ABC e
ABD e é a área comum aos dois, o valor de
– 2 , em cm2, é igual a
a) 14. b) 15. c) 16. d) 17.
179. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é
equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são
quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
e) 18.
183- (Cpcar) 2011) A figura abaixo representa o
logotipo que será estampado em 450 camisetas de
uma Olimpíada de Matemática realizada entre os
alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por
um círculo de centro O inscrito num triângulo
isósceles cuja base BC mede 24 cm e altura relativa
a esse lado mede 16 cm
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que
é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para
2
pintar 5400 cm .
a) 1
3
b) 2
3
c) 3
3
67
Adote π
3
a)
Com base nesses dados, é correto afirmar que o
número de potes necessários para pintar o círculo
em todas as camisetas é igual a
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
184-(Uel 2011) Observe a figura a seguir.
7
3
2
5
S b) S c) S d) S
8
9
4
3
186-(ifsp 2011) A figura representa dois
semicírculos com o diâmetro em dois lados
consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a
diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da
figura, em centímetros quadrados, é igual a
Adote
3
a) 72. b) 63. c) 54. d) 45. e) 30.
Com base nessa figura, é correto afirmar:
a) A área de ataque da quadra é 50% da área de
defesa.
b) As áreas de defesa somam 1/4 da área total da
quadra.
c) A área da quadra é 176 m2.
d) A razão entre a área de ataque e a área de
defesa é de 2 para 3.
e) A diagonal da quadra mede 27 m.
187-(Uel 2011) Sabendo-se que o terreno de um
sítio é composto de um setor circular, de uma região
retangular e de outra triangular, com as medidas
indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada
do terreno?
185- (cftmg 2011) A figura abaixo representa o
vitral de uma janela quadrada ABCD de área S, em
que cada lado esta dividido em três segmentos
congruentes. Retirando-se os quatro triângulos
sombreados, obtém-se um octógono, cuja área é
2
2
a) 38,28 km b) 45,33 km
2
c) 56,37 km
2
e) 60,35 km
68
2
d) 58,78 km
188-(Uftm 2011) O quadrilátero ABCD foi dividido
em duas regiões, P e Q, conforme mostra a figura,
sendo que a região P, com a forma de um triângulo
equilátero, ficou com área igual a 9 3 km2 .
Com base nas informações acima, é correto afirmar
que o valor de L é:
a) primo b) divisível por 3
c) ímpar d) divisível por 5
191-(cftmg 2011) Um parque ecológico com
formato circular, cujo diâmetro AC mede 500
metros, tem 3 entradas M, N e P que dão acesso ao
espaço triangular ABC, reservado ao plantio de
árvores, conforme figura abaixo. Considere π 3
A razão entre as áreas das regiões Q e P, nessa
ordem, é
1
1
1
1
1
a) . b) . c) . d) . e) .
4
2
9
6
3
189- (Ufrs 2011) As figuras abaixo apresentam uma
decomposição de um triângulo equilátero em peças
que, convenientemente justapostas, formam um
quadrado.
Se o lado BC do triângulo mede 300 m, então, a
área do parque, externa ao espaço plantado,
em m2 , é igual a
a) 93.700 b) 127.500 c) 147.500 d) 153.750
192- (Uel 2011) Determine a área da região
hachurada, que é a região delimitada por um
hexágono regular obtida pela intersecção das
regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros
inscritos na circunferência cuja área é de 3π cm2 .
O lado do triângulo mede 2 cm, então, o lado do
quadrado mede, em centímetros,
a)
3
3
. b)
. c)
2
3
4
3 . d)
3
3 . e)
3.
190-(Ufu 2011) Uma indústria de embalagens
fabrica, em sua linha de produção, discos de
papelão circulares conforme indicado na figura
abaixo. Os discos são produzidos a partir de uma
folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o
desgaste indireto produzido na natureza pelo
desperdício de papel, a indústria estima que a área
do papelão não aproveitado, em cada folha
utilizada, é de 100 25 cm2 .
Assinale a alternativa correta.
3 3
a)
cm2 b) 3 3 cm2 c) 2 6 cm2
2
4 3
d)
cm2 e) 2 6 cm2
2
69
193-(Uftm 2011) Se a folha retangular ABCD for
dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6
quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a
mesma for dividida conforme indicado na figura 2,
obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes.
Observe as figuras acima e assinale a alternativa
correta.
a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são
elementos típicos da produção poética brasileira da
década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por
exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCJI.
b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem
ser observados tanto no conteúdo semântico da
palavra por ele formada quanto na simetria de suas
formas geométricas. Por exemplo, as áreas do
triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais.
c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por
apresentar proporções geométricas em sua
composição. O perímetro do triângulo ABF, por
exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF.
d) O concretismo poético pode utilizar proporções
geométricas em suas composições. No poema
ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do
trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor
que 7/10.
e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são
representantes do concretismo poético, que utiliza
proporções geométricas em suas composições. No
poema ZEN, por exemplo, a razão entre as
áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6.
Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo
R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual
a
a) 0,54 m2 . b) 0,64 m2 .
c) 0,72 m2 .
d) 0,81 m2 . e) 1,08 m2 .
194-(Afa-2011) As circunferências λ 1 e λ 2 da
figura abaixo são tangentes interiores e a distância
entre os centros C1 e C2
196-(Ifsp 2011) A figura representa
• duas circunferкncias, de centros B e D, tangentes
no ponto C;
• os segmentos HB e FD , que sгo raios das
circunferкncias dadas, com HB = 6 cm e FD = 4
cm, sгo perpendiculares aos diвmetros AC e CE ,
respectivamente;
• as semirretas AH e EF que se interceptam no
ponto G;
• os pontos A, C e E alinhados.
Se a área sombreada é igual à área não sombreada
na figura, é correto afirmar que o raio de λ 2 , em
cm, é um número do intervalo.
a) 2,
11
5
b)
11 23
,
5 10
c)
23 5
,
10 2
d)
5 13
,
2 5
195- (Fuvest 2011) Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.
Diagrama referente ao poema ZEN.
70
Nessas condiзхes, o perнmetro do triвngulo AEG,
em centнmetros, й aproximadamente
a) 36,8. b) 40,0. c) 48,2. d) 52,4. e) 56,1.
201-(Uel 2011) Uma pista de corrida de 400 m é
constituída por trechos retos e semicirculares,
conforme a figura a seguir:
Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se
mantenham na parte mais interna de suas raias, de
modo a percorrerem a menor distância nas curvas,
e que a distância medida a partir da parte interna da
raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.
Para que ambos percorram 400 m, quantos metros
o atleta da raia mais externa deve partir à frente do
atleta da raia mais interna? Dado: π = 3, 14
a) 10,00 m b) 25,12 m c) 32,46 m
d) 50,24 m e) 100,48 m
197- (Eewb 2011) Um ciclista deu 100 voltas em
uma pista que tinha a forma de um hexágono
regular. Cada lado do hexágono media 15 m.
Quantos quilômetros ele percorreu?
a) 9 b) 90 c) 900 d) 9000
198-(Espm 2011) Os pontos A, B, C e D são
vértices consecutivos de um polígono regular com
20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do
segmento AD é igual a:
a) 2
b) 1
2 c) 2 2 1
d) 2 2
1
202-(Uerj 2011) Um ciclista pedala uma bicicleta
em trajetória circular de modo que as direções dos
deslocamentos das rodas mantêm sempre um
ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa
bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda
dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta
vista de cima em um dado instante do percurso.
e) 2 2
199-(Uftm 2011) O maior relógio de torre de toda a
Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de
Zurique, Suíça, que foi construído durante uma
reforma do local, em 1970.
O mostrador desse relógio tem formato circular, e o
seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m.
Considerando
3,1, a distância que a extremidade
desse ponteiro percorre durante 20 minutos é,
aproximadamente,
a) 10 m. b) 9 m. c) 8 m. d) 7 m. e) 6 m.
200-(Epcar (Afa) 2011) Na figura abaixo, têm-se
quatro círculos congruentes de centros O1 , O2 ,
O3 e O4 e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N,
P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A,
B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os
círculos e a correia que os contorna.
Admita que, para uma volta completa da bicicleta,
N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e
N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em
torno de seus respectivos eixos de rotação.
N
A razão 1 é igual a:
N2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
203-(Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no
ponto A de uma planície, às margens de um rio e
vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma
bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a
altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m
para a direita do ponto em que se encontrava e
Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu
perímetro, em cm, é igual a
a) 2 π 40 b) 5 π 16
c) 20 π
4
d) 5 π
8
71
marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia
que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o
vale
105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
d) 25,0 2 .
b) 12,5 2 . c) 25,0.
e) 35,0.
204-( cftmg 2011) Um grupo de escoteiros
pretende escalar uma montanha ate o topo,
representado na figura abaixo pelo ponto D, visto
sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do
acampamento A.
Dado: sen 20º 0,342
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o
ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma
maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está
sob influência do meio urbano é dada pela distância
do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a)
8 6
3
b) 4 6
d) 8( 2
3) e)
c) 8 2
3
2 6
3
206-(Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1,
representado na figura, tem-se que M é o ponto
médio de AB , N é o ponto médio de BC e
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B
e realizado segundo um angulo de 30° em relação a
base da montanha, então, a distância entre B e D,
em m, e de, aproximadamente,
a) 190. b) 234. c) 260. d) 320.
14
MN
4
.Então, DM é igual a
205-(Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta
do rio Jacuí, situado na região metropolitana de
Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual
Delta do Jacuí, importante parque de preservação
ambiental. Sua proximidade com a região
metropolitana torna-o suscetível aos impactos
ambientais causados pela atividade humana.
a)
2
4
2
2
b)
c)
2
d)
3 2
2
e)
5 2
2
207-(epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono
regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de
raio R. Se esse mesmo octógono circunscreve uma
circunferência α de raio r, então a razão entre os
quadrados dos comprimentos das circunferências
λ e α é, nessa ordem, igual a
a) 2
c) 2 2
72
2
b) 2 2
2
d) 2
2
2
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Os dois triângulos da figura são congruentes,
ambos isósceles com base e altura medindo 1.
210-(Insper 2011) O perímetro de cada pentágono
regular da figura é 5cm. Assim, sendo sen72 x,
a área de cada pentágono regular, em cm2 , é igual
a
a) 2Rx 1 x 2 .
d) Rx2.
b) 2Rx2. c) Rx 1 x 2 .
e)
Rx2
.
2
211-(Insper 2011) A razão entre a área da região
clara e a área da região escura da figura, nessa
ordem, é aproximadamente igual a
R
R
a) 3R. b) 2R. c) R. d) . e) .
2
3
212-(ANGLO)
O triângulo da esquerda foi dividido em três partes
de áreas iguais por duas retas paralelas à sua base
e o da direita foi dividido em três partes de áreas
iguais por duas retas perpendiculares à sua base.
208-(Insper 2011) A distância entre as duas retas
paralelas tracejadas no triângulo da esquerda é
igual a
3 1
.
3
a)
6
d)
3
3
3
b)
2
3
. e)
6
.
3
3
c)
6 1
.
3
.
209- (Insper 2011) A distância entre as duas retas
perpendiculares à base no triângulo da direita é
igual a
3
2
3
3
3
2
a)
. b)
.
. c)
6
3
6
d)
6
6
6
. e)
3
6
3
213. (Ita 2015) Num triângulo PQR, considere os
.
pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR,
respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente
à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se
que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
O mosaico da figura é formado por losangos
congruentes entre si e por pentágonos regulares.
medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo
PMN é igual a
a) 5. b) 6. c) 8. d) 10. e) 15.
214. (G1 - cftmg 2015) Somando-se todos os ângulos
internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 .
Sabe-se que o número de lados desses polígonos é
n 2, n e n 2. Dentre eles, o que possui menor
número de lados é um
a) triângulo. b) quadrilátero.
c) pentágono. d) hexágono.
215. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo
ABCD decomposto em quatro quadrados.
A razão entre as áreas de um pentágono e um
losango, nessa ordem, é igual a R.
73
218. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com
base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o
ˆ reto. A distância entre o lado AB e o
ângulo ADB
ponto E em que as diagonais se cortam é
21
27
35
37
45
a)
. b)
. c)
. d)
. e)
.
8
8
8
8
8
O valor da razão
219. (Udesc 2015) Observe a figura.
AB
é igual a
BC
5
3
5
4
a) . b) . c) . d) .
2
2
3
3
216. (G1 - cftmg 2015) O perímetro do triângulo ABC
vale 120 cm e a bissetriz do ângulo  divide o lado
oposto em dois segmentos de 18 e 22 cm, conforme a
figura.
Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que
o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo
BIC é igual a 105 , então o segmento AC mede:
a) 5 2 b)
A medida do maior lado desse triângulo, em cm, é
a) 22 b) 36 c) 44 d) 52
10 2
3
c) 20 2 d) 10 2 e)
20 2
3
220. (Upe 2015) Na ilustração a seguir, ABCD é um
quadrado de lado 2 2 cm. M e N são pontos médios
dos lados AD e BC, e P e Q são pontos de
intersecção do quadrado, com a circunferência, com
centro em M e raio MN.
217. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC,
ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o
cateto BC mede 6cm.
Qual é a medida, em cm2 , mais próxima da área do
setor circular MNQ ? (Considere π 3 )
a) 1,0 b) 1, 4 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do
221. (G1 - cftmg 2015) Na figura a seguir, ABCD é um
quadrado de lado igual a 16 cm. Os segmentos AF e
BE medem, respectivamente, 12 e 10cm.
ângulo MAC é igual a
a)
2
7
b)
3
7
c)
2
7
d)
2 2
7
e)
2 3
7
74
225. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o
número de lados n é um terço do número de diagonais,
então o valor de n é
a) 9. b) 11. c) 13. d) 15.
226. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC. A
altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento
de BC é, portanto, igual a
a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm
227. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em
A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à
hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é
A área do triângulo CEF, em cm2 , é igual a
a) 54 b) 80 c) 108 d) 148
2 1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC
mede, em cm,
222. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um
setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme
ilustra a imagem.
a) 4 2 5. b) 3
d) 3
R2
4
c)
R2
2
d)
6 2 2.
2 1 . e) 3 4 2 5.
228. (Ita 2013) Uma reta r tangencia uma circunferência
num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A
exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta
circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o
ˆ é igual a
ˆ seja obtuso. Então o ângulo CAB
ângulo ABC
1 ˆ
3
2 ˆ
ˆ
a) ABC.
b) π 2 ABC.
c) ABC.
2
2
3
π
ˆ
ˆ
.
π. e) ABC
d) 2 ABC
2
A área do setor equivale a:
a) R2 b)
2. c)
3R2
2
229. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de
um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC,
conforme a figura abaixo.
223. (Upe 2015) Na figura representada a seguir, o
segmento DE divide o trapézio ABCD em duas figuras
de mesma área.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular,
respectivamente, por S φ e T φ , podemos afirmar
Nessas condições, quanto mede o segmento AE ?
a) 13 cm b) 20 cm c) 27 cm d) 28 cm e) 40 cm
que a razão S φ T φ , quando φ
a) π 2. b) 2π. c) π. d) π 4.
224. (Uece 2014) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm
medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os
segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a
medida do ângulo YÔZ é
a) 46°. b) 42°. c) 36°. d) 30°.
75
π 2 radianos, é
230. (Unicamp 2012) Um vulcão que entrou em erupção
gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a
cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com
destino a cidades situadas em uma região circular com
centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância
entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse
caso, a área da região que deixou de receber voos é
a) maior que 10000 km2 .
b) menor que 8000 km2 .
c) maior que 8000 km2 e menor que 9000 km2 .
d) maior que 9000 km2 e menor que 10000 km2 .
GABARITO
1)D 2)E 3)D 4)E 5)C 6)A 7)C 8)E 9)C 10) B
11)B 12)B 13)B 14)E 15)B 16)E 17)D 18)D
19)E 20) A 21)B 22)B 23)C 24)D 25) E 26)D
27)A 28)A 29)D 30)E 31)C 32)D 33)C 34)C 35)
C 36)D 37)C 38)B 39)B 40)B 41)A 42)A 43)A 44)
a) 3200 km b) 28160/7 km 45)D 46)C 47)60 km
48)C 49)C 50)B 51) a) 3 cm b) 3/2 52)C 53)B
54)D 55)A 56)A 57)B 58)D 59)D 60)C 61)A
62)B 63)D 64)B 65)D 66)A 67)D 68)B 69)E
70)D 71)C 72)B 73)D 74)A 75)D 76)B 77) A
78)B 79)B 80)E 81)C 82) C 83)A 84)B 85)D
86)E 87) B 88)A 89)C 90)C 91)E 92)A 93)D
94)A 95)E 96)B 97)A 98)C 99)E 100)A 101)E
102)B 103)D 104)E 105)A 106)B 107)C 108)A
109)C 110)C 111)B 112)D 113)A 114)A 115)B
116)E 117)C 118)C 119)E 120)C 121)C 122)E
123)B 124)E 125)C 126)D 127)A 128)E 129)B
130)A 131)E 132)B 133)A 134)D 135)D 136) C
137)C 138)D 139)B 140)D 141)E 142)B 143)A
144)C 145)A 146)a) 15 min
b) AB
AB
HE
HE
25 2
25
4
2
2
6
3
ou
2 147) E 148)a) r=2
b) AB=12 e AC=5 c) 2. 15 2
149)B 150) E
151)B 152)C 153)C 154)C 155) a) 8cm e 16cm.b)
a/b =
2
2
156)D 157)C 158)E 159)D
160)A 161)D 162)a) 625 ( 3
1)cm 2 b)
25
2
2
163)A 164)B 165 C 166)E 167)D 168)A
169)D 170)E 171)B 172)B 173)D 174)E 175)C
176)D 177)D 178)E 179)C 180)C 181)D 182)A
183)A 184)A 185)A 186)B 187) D 188)E 189)C
190)D 191)B 192)A 193)A 194)C 195)B 196)C
197)A 198)B 199)B 200)C 201)E 202)A 203)B
204)B 205)B 206)B 207)C 208)D 209)E 210)A
211)B 212)C 213)A 214)B 215)A 216)C 117)B
218)E 219)D 220)D 221)C 222)C 223)E 224)C
225)A 226)C 227)C 228)B 229)A 230)B
76