LISTA 2 - GEOMETRIA ANALÍTICA - PROF. GUSTAVO TONDINELLI - 2D1 / 2D2
PARTE 1 - Exercícios Básicos
01. Escreva a equação reduzida das retas a seguir, onde t pertence aos reais.
‫ = ݔ‬5‫ݐ‬
a) ‫ݎ‬: ൜
‫ = ݕ‬2‫ ݐ‬− 1
b) ‫ݎ‬: ቊ
௧
‫=ݔ‬ଶ
‫ = ݕ‬−2‫ ݐ‬+ 3
02. Escreva a equação geral das retas a seguir, onde k pertence aos reais.
‫ = ݔ‬2݇ − 1
a) ‫ݎ‬: ൜
‫ = ݕ‬3݇ + 3
b) ‫ݎ‬: ൜
‫ = ݔ‬5݇ − 2
‫ = ݕ‬−݇ + 1
03. Dadas as equações paramétricas da reta r: x = 10t - 2 e y = 3t, obtenha sua equação geral.
04. Obtenha o ponto P da reta (r): x - y + 2 = 0 cuja distância à origem seja igual a 10.
05. Obtenha o ponto P da reta (r): x - y - 6 = 0 cuja distância até o ponto A(1,2) seja igual a 5.
06. Determine a posição relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
(r) 5x - 7y + 8 = 0
(s) -x + 2y - 1 = 0
(t) 5x - 7y + 3 = 0
(u) -3x + y = 0
(v) - x + 2y = -1
(z) 10x - 14y = -16
07. Discuta, em função dos parâmetros m e p reais, a posição relativa das retas (r) mx + y - p = 0 e (s) 3x + 3y -7 = 0.
08. Determine as coordenadas da intersecção entre as retas r e s para cada caso:
a) r: y = 2x + 10 e s: x + y + 2 = 0
b) r: x + y/2 = 1 e s: y = 6x - 2
09. Ache as coordenadas do ponto de intersecção das retas:
(‫ )ݎ‬൜
‫ = ݔ‬−3‫ ݐ‬+ 1
‫ = ݔ‬2‫ ݑ‬− 2
, ‫ ∈ ݐ‬ℜ ݁ (‫ )ݏ‬൜
,‫ ∈ ݑ‬ℜ
‫ = ݕ‬2‫ ݐ‬+ 5
‫ = ݕ‬7+‫ݑ‬
10. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1,1) e é paralela à reta y = -2x +1?
11. Determine a equação da reta que passa pela origem e é paralela à reta determinada pelos pontos (2,3) e (1,-4).
12. Dados os vértices A(0,5), B(4,-2) e C(6,3) de um triângulo ABC, obtenha a equação da reta que passa por A e é
paralela ao lado BC.
13. Determine a equação da reta (s) que contém P(-5,4) e é paralela à reta (r) cujas equações paramétricas são x = 3t e
y = 2 - 5t.
14. Determine a equação da reta u que passa pela intersecção das retas r e t e é paralela à reta s.
Dados: r:
௫
ିଵ
‫ = ݔ‬2݇ − 1
௬
+ ିଵ = 1, ‫ ݏ‬൜
, ݇ ∈ ℜ ݁ ‫ݐ‬: 2‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬− 4 = 0.
‫ = ݕ‬2 + 3݇
15. Para que valor de k as retas r: 2x + ky - 3 = 0 e s: 3x + 5y -1 = 0 são perpendiculares?
16. Determine a equação da reta s que contém P(5,-2) e é perpendicular à reta r: 2x - y + 2 = 0.
17. Qual é a equação da reta perpendicular à reta y - 2 = 0 que passa pelo ponto P(3,1)?
18. Qual é a equação da reta perpendicular à reta x + 3 = 0 que passa pelo ponto P(2,3)?
19 . Seja r a reta que passa pelos pontos A(-1,2) e B(1,3). Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto C(2,-1) e é
perpendicular a r.
20. Dados os pontos A(1,4), B(3,2) e C(2,1), determine a equação da reta suporte da altura relativa ao lado BC.
21. Obtenha a equação da reta mediatriz do segmento AB, sendo A(1,-2) e B(3,5).
‫ = ݔ‬2‫ݐ‬
22. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(-7,15) e é perpendicular a r൜
, ‫ ∈ ݐ‬ℜ.
‫ = ݕ‬3‫ݐ‬
23. Determine a equação da reta s perpendicular à reta r: 2x + 3y - 6 = 0 e que passa na intersecção da reta r com o eixo
das abscissas.
24. Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
a) P(2,0) e (r) 2x + 3y - 5 = 0
௫
ଷ
ହ
ଷ
b) P(1,0) e (r) ‫ = ݕ‬− + ;
௫
௬
c) P(-1,0) e (r) ଷ + ସ = 1
‫ = ݔ‬3‫ ݐ‬+ 2
d) P(0,2) e (r) ൜
‫ = ݕ‬4‫ ݐ‬− 1
25. Calcule a distância entre o ponto A(3,0) e a reta que passa pelos pontos B(1,-3) e C(7,5).
26. Determine o valor de k para que a reta r: x - ky - 1 = 0 diste 1 do ponto P(-1,1).
27. Calcule a medida da altura relativa ao vértice A do triângulo ABC de vértices A(6,11), B(4,7) e C(7,3).
28. Calcule a distância entre as retas paralelas r e s nos seguintes casos:
a) r: 4x - 3y - 1 = 0 e s: 4x - 3y + 9 = 0
b) r: y = 2x + 1/2 e s: y = 2x -1/2
29. Determine um ponto do eixo x equidistante das retas r: 2x -3y -5 = 0 e s: 3x - 2y - 5 = 0.
30. Determine um ponto P que tenha ordenada igual ao dobro da abscissa e dista 3 unidades da reta 3x - 4y = 0.
31. Qual é o ponto do eixo y que equidista do ponto A(4,0) e da reta (r) 2y - 1 = 0
32. Qual é o ponto da bissetriz do 1º e 3º quadrantes que equidista do ponto F(0,3) e da reta x + y - 2 = 0.
33. Obtenha a equação da reta que passa por A(0,0) e que dista 1 de P(1,2).
PARTE 2 - VESTIBULARES: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
01-(UFMG ) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo
OABC. Então, C é o ponto de coordenadas
a)(2, 3/5) b) (2, 12/5) c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)
02-(UNAERP) A equação, no plano, x - 3 = 0, representa:
a) Um ponto do eixo das abcissas
b) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0
d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0
e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a vale:
a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r com a parábola de
equação y=x2-4 tem abscissa 1. A equação de r é
a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NÃO intercepta a reta de equação y = (x/2) - 5. Considerando-se os
seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é
a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17. Das equações a seguir, a que representa uma reta paralela a r é
a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 c) 2y = x + 12 d) y = - 2x + 5 e) y = x + 34
08- (CFTMG) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é
a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2
09- (UFRRJ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor de m será:
a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.
10- (UNEMAT) Dada a equação de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será:
a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D
PARTE 3 - VESTIBULARES: INTERSECÇÃO ENTRE RETAS:
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A =
(5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é:
a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0
02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) é:
a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4). e) (10/3, 13/3).
03- (Fei) As retas representadas pelas equações y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de
b é:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam:
a) em nenhum ponto.
b) num ponto da reta x = 0.
c) num ponto da reta y = 0.
d) no ponto (3, 0).
e) no ponto (1/2, 0).
05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do
triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.
06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é paralela ao
eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das
abscissas e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do triângulo ABC é:
a) 3 (3 + √5 ) b) 3 (5 + √3 ) c) 5 (3 + √5 ) d) 3 (3√3 ) e) 5 ( 5 + √3 )
07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as
três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é
a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.
08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y =
x² + x + 2. O valor de a é
a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2
GABARITO
1)A
2)E
3)D
4)B
5)D
6)A
7)E
8)D
PARTE 4: VESTIBULARES: CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto:
a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4)
02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.
A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0
03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela origem, então s contém o
ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)
04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é:
a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0
05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas (2,4)
pertence à reta que contém o lado BA. A equação da reta que contém o lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0
06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas
a) se interceptam no ponto de coordenadas (-1,2).
b) se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) são perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente.
d) estão a uma mesma distância do ponto de coordenadas (3, 3).
07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são
a) coincidentes.
b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9).
e) concorrentes no ponto (3, 0).
08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo das abscissas no ponto:
a) (9/2, 0) b) (5, 0) c) (11/2, 0) d) (6, 0) e) (13/2, 0)
09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale:
a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5 28
10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0
11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares.O valor de a é:
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2
12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é
a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1
13-(Puc) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas equações y = ax + 1 e y = bx + c.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do coeficiente linear c é igual a:
a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6
14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos
coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é
a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.
15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é:
a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2)
16-(AMAN-2015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta 2x+3y-4=0 é o ponto
a) ( -3,-1) b) (-1,-2) c) (-4,4) d)(3,8) e) (3,2)
GABARITO : 1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 12)C 13)D 14)A 15)C 16)A