SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Os sistemas a seguir envolverão equações do 2º grau, lembrando de que suas
soluções constituem na determinação do par ordenado { (x’ , y’)(x” , y”) } .
Resolver um sistema envolvendo equações do 2º grau requer conhecimentos
de alguns métodos de resolução(como já vimos nas aulas anteriores)
EXERCÍCIOS
1)Resolva os sistemas abaixo aplicando o método da substituição
a) .
b)
2)Resolva da forma que achar melhor
c)
TEOREMA DE TALES
1)
Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção.
2)
Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção.
3) Utilizando o feixe de retas abaixo e o Teorema de Tales, responda:
a) Determine o comprimento do segmento
e
b) Determine
e
, supondo que
,
, supondo que na figura ao lado
e
c) Determine
e
, supondo que
e
4) Utilizando o feixe de retas abaixo e o Teorema de Tales, responda:
a) Determine
b) Determine
, supondo que
e
supondo que
c) Determine a medida de
que
é 4cm maior que
d) Determine
maior que
e
e
supondo que
e
.
supondo que
e que
é 3cm
Teorema de Tales - 2
1) Nas figuras, a // b // c, calcule o valor de x.
a)
b)
c)
d)
e)
2) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas.
b
3) A figura abaixo indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B.
as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para
a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua
B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?
4) No triângulo abaixo, sabe-se que
DE // BC . Calcule as medidas dos lados AB e
AC do triângulo.
3) 5) Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , CQ e DR são paralelos. A
medida do segmento PQ , OP e QR em metros, é:
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
c² = a.n
b² = a.m
h² = m.n
c.b = a.h
c² + b² = a²
Exercícios sobre Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
1. Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm.
Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.
2. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das
projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
3. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e
um dos catetos 4 cm.
4. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as
medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo
mede:
5. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são ( x + 5) cm e ( x + 1) cm e a
hipotenusa ( x + 9) cm. Determine o perímetro desse triângulo.
6. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30 cm e um dos catetos mede 24 cm. Nessas
condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa.
b) a medida dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa.
7. No triângulo ABC retângulo em A , determine as medidas b, c, n e h.
A
c
b
h
n
B
7,2
20
C
8. No triângulo ABC retângulo em A , determine as medidas c, n e a.
A
6 2
C
n
4
B
C
a
09. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 2 5 cm e determina sobre a
hipotenusa projeções cujas medidas são expressas por x e x+1. Nessas condições,
determine as medidas dos catetos.
10. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 37 cm e um dos catetos mede 35 cm. Determine
a medida do outro cateto, das projeções e da altura relativa a hipotenusa.
11. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um
triângulo retângulo. Nessas condições, determine a medida da altura.
12. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas m, n, h e a.
A
10
h
n
B
10
3
m
a
C
2. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao
topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:
a) 12 m.
b) 30 m.
15 m
c) 15 m.
d) 17 m.
e) 20 m.
8m
 
3. Na figura tem-se que AB  BC e F é ponto médio do lado BE do retângulo BCDE.
Determine:
E
D
a) a medida x indicada na figura.
b) a área do retângulo BCDE.
F
6 2
A
x
x
C
B
4. O triângulo retângulo ABC ao lado é retângulo em A. Então o valor de x e y é:
A

y
B
12
C
6

x
5. O valor de x, y e z no triângulo retângulo abaixo é:
A

x

9
6. Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x:
a)
C

27
B
b)

b
6
n
y
30 cm
12
3
9
c)
d)

2 6

b
c
y
h
2
3
4
a
x
7. Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm
e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.
8.A medida da altura relativa À hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma
das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
9. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede
12 cm e um dos catetos 4 cm.
10. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das
projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede:
11. As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são ( x + 5) cm e ( x + 1) cm e a
hipotenusa ( x + 9) cm. Determine o perímetro desse triângulo.
12. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas a, c, n e h. E determine a área e perímetro do
triângulo ABC.
A
c
h
6
C
n
4
B
a
13. No triângulo ABC retângulo em A, determine as medidas c, n, h, e b. E determine a área e perímetro do
triângulo ABC.
A
c
b
h
C
n
B
20
7,
2
14. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30 cm e um dos catetos mede 24 cm.
Nessas condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa.
b) a medida dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa.
c) a área desse triângulo.
d) O perímetro desse triângulo.
15. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 25 cm e determina sobre a hipotenusa
projeções cujas medidas são expressas por x e x+1. Nessas condições, determine as medidas dos catetos.
A
10
10
h
C
B
m
a
n
16. Determine o valor da incógnita:
17. Para executar um serviço, o trabalhador apoiou na laje de sua casa a escada de 4,3 m de comprimento
como mostra o esquema abaixo:
A base da escada, apoiada sobre um piso horizontal está afastada 1,8 m da parede. Qual é a altura
aproximada da construção?
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos um ângulo agudo qualquer de medida α, levando-se em conta os
infinitos triângulos retângulos que possuem o ângulo de medida α.
Os
triângulos
OAB,
OCD,
OEF
e
OGH
são
todos
semelhantes.
Logo:
Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2,
r3 são denominadas de:
seno do ângulo α (sen α),
co-seno do ângulo α (cos α) e tangente do ângulo (tg α)
Co-seno do ângulo agudo α (cos α)
é a razão entre a medida do cateto
adjacente a α e a medida da
hipotenusa.
Seno do ângulo α (sen α). A razão k
é uma característica de cada
ângulo α e seu valor é chamado de
seno do ângulo α (sen α).
Tangente do ângulo α (tg α) é
razão entre a medida do cateto
oposto a α e a medida do cateto
adjacente a α.
Razões Trigonométricas Especiais
Existem outros ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se
encontram em uma tabela, chamada tabela trigonométrica, que pode ser
encontrada em livros didáticos.
Exemplos
1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)
2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60º)
3. Observando a figura seguinte, determine: