Universidade Federal de Sergipe
1a Lista de Exercícios
Vetores e Geometria Analítica
Prof.:
José Anselmo da Silva Santos
1-) Se ~u e ~v são vetores unitários, então o produto escalar ~u~v nos informa o −−−−−−− ;
2-) para cada item abaixo decida se é verdadeira, caso não seja dê um contra-exemplo;
(i) ~u · ~v = ~v · ~u;
(ii) se ~u · ~v = ~u · w
~ ⇒ ~v = w;
~
(iii) (~u · ~v ) · w
~ = ~u · (~v · w);
~
(iv) se ~u ⊥ ~v e ~v ⊥ w,
~ então ~u ⊥ w.
~
3-) A projeção de ~u sobre ~v é P~v~u =
(i) O que o coeficiente
~u~v
~v .
k~v k2
~u~v
mede?
k~v k2
(ii) Sejam ~u, ~v não nulos. Se ~u ⊥ ~v ⇒ P~v~u = 0?
(iii) Sejam ~u, ~v não nulos. Se ~u k ~v ⇒ P~v~u = 0?
(iv) Para que condições
|~u~v |
< 1; esboce ~u, ~v e P~v~u num papel em cores diferentes;
k~v k2
(v) para que condições
|~u~v |
> 1; esboce ~u, ~v e P~v~u num papel em cores diferentes.
k~v k2
4-) Dado B(3, 4) e ||AB|| = 2. Qual o maior valor que a abscissa pode assumir.
−
−
5-) Encontre um vetor com a mesma direção e sentido que o vetor →
v = (3, 4), tal que ||→
v || = 6.
6-) Determine um vetor ~u, tal que k~uk = 5 e faz com o vetor ~v = (3, 1) um ângulo de 60o .
7-) Escreva o vetor w
~ = (7, −1) como combinação linear dos vetores ~u ⊥ (1, −1) e ~v k (1, −1).
8-) ~u = (x, y), mostre que os vetores ~v (−y, x) e w
~ = (y, −x), são perpendiculares a ~u.
9-) Dado o triângulo cujos pontos são A(1, 1), B(3, 4) e C(4, 0), determine
b B
b e C.
b
(a) Os ângulos A,
−→ −−→
−→
(b) as Projeções dos lados AC, BC sobre AB
(c) o pé da altura relativa ao vértice B.
(d) a Área do triângulo ∆(ABC).
10-) Se A(2, 1), B(3, 3) e D(7, 2) são pontos de um paralelogramo,
(a) determine todas as possibilidades para o ponto C;
(b) indique pelo menos três maneiras para se calcular a área do paralelogramo ABCD;
(c) escolha uma das maneiras que descreveu e calcule a área do paralelogramo ABCD.
1
11-) Determine a altura relativa ao lado AD do paralelogramo cujos vértices são A(1, 0), B(2, 2),
C(5, 3) e D(4, 1).
12-) Determine ](~v , w)
~ sabendo que ||~u|| = ||w||
~ = 5 e ||~v || = 1.
13-) Expresse o segmento de reta que unem os pontos A(2, −1) e B(1, 4) como uma desigualdade, ou
seja parametrize o segmento de reta AB.
14-) Escreva as equações, paramétricas e cartesiana, da reta que contém os pontos,
(a) A(−1, 1) e B(2, 3);
(b) M (−1, 1) e M (2, 3).
15-) A trajetória de uma partícula é descrita pelo para de equações paramétricas
x = 1 + 2t
γ:
.
y =3−t
(a) M (1, 3), N (3, 2) ∈ γ?
(b) Para que valores de t temos os pontos de M e N ;
(c) determine os valores de t para que a partícula esteja sempre entre os pontos M e N .
16-) Determine asequações paramétricas da reta que contém o ponto P (1, −2) e faz um ângulo de 30o
x = 1 + 2t
com a reta γ :
.
y =3−t
17-) Dados P (2, −1) e a reta λ : y = 3x − 5, escreva uma equação da reta que contém P e,
(a) paralela a λ;
(b) perpendicular a λ.
18-) Uma partícula se movimenta com velocidade ~v = vx~i + vy~j com relação a um referencial, porém
os alunos de vetores da turma T4(2012-01), descobriram que num outro referencial(o polar) esta
mesma partícula se movimenta com ~v = ṙûr + rθ̇ûθ .
(a) Expresse vx e vy em função de ṙ e rθ̇;
(b) use os produtos escalares ~v · ûr e ~v · ûθ para expressar ṙ e rθ̇ em função de vx e vy .
19-) Determine a equação de uma circunferência tangente as curvas definidas pelas equações y = x e
y = −x passando pelos pontos A(−3, 3) e A(3, 3).
20-) Uma partícula se movementa tal que num instante t, ela esta no ponto (1 + 2 cos t, 2 + 2 cos t).
Determine,
(a) as equações paramétricas da trajetória;
(b) a equação cartesiana da trajetória;
(c) a trajetória desta partícula é uma −−−−−− de centro −−−−−− e raio −−−−−− .
21-) A trajetória de uma partícula obedece as equações paramétricas,
π
x = 2 + 2 sin t
≤ t ≤ 2π.
y = 1 + 2 cos t
8
Determine o menor valor de t para que a partícula fique equidistante dos pontos A(0, 4) e B(1, 5).
2
22-) Mostre que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
23-) Sejam r é a reta que passa pelos pontos A(−1, 0) e P (x, y), s é a reta que passa pelos pontos
B(1, 0) e P (x, y). Se r ⊥ s e o coeficiente angular mr = t. Mostre que,
1
(a) r : y = t(x + 1), s : y = − (x − 1);
t
2
1−t
2t
(b) x =
ey=
;
2
1+t
1 + t2
(c) o lugar geométrico dos pontos P (x, y) é uma circunferência centro (0, 0) e R = 1.
3