Escola da Imaculada
Estudo da Pirâmide
Aluno (a):______________________________________
Professora: Jucélia
2º ano – ensino médio
Estudo da Pirâmide
1- Definição
As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são
regiões triangulares, conforme podemos verificar nas figuras seguintes:
2- Pirâmide reta e pirâmide regular
Uma pirâmide se diz reta quando a projeção ortogonal do vértice cai no centro da base.
Uma pirâmide se diz regular quando for reta e sua base for um polígono regular.
Numa pirâmide regular, convém destacar:





O polígono da base é regular e, portanto, inscritível numa circunferência de raio
AO = r, chamado raio da base.
O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua
medida será indicada por m.
As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a.
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles)
é chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.
Numa pirâmide regular destacamos, também, as seguintes relações métricas:


O triângulo VOM é retângulo, logo:
O triângulo VOA é retângulo, logo:

O triângulo VMB é retângulo, logo:

(área de uma face lateral)
Exemplo: Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm. Sabendo
que a altura da pirâmide é 3 cm, calcular a área lateral e a área total dessa pirâmide.
Dados:
Resolução: Como a base é um quadrado,
temos:

Cálculo do apótema da pirâmide (g)
Como o
é retângulo, aplicando Pítagoras, temos:

Cálculo da área lateral

Cálculo da área total
Resposta: A área lateral é 80
e a área total é 144
.
Exercícios
1) Considere uma pirâmide regular de base quadrada. Sabendo que o lado da base
mede 12 cm e a altura da pirâmide mede 8 cm, calcule:
a) A área da base.
b) A área lateral.
c) A área total.
2) Considere a pirâmide quadrangular regular indicada na figura ao lado. Calcule:
a)A medida do apótema da base.
b)A medida do apótema da pirâmide.
c)A medida da aresta lateral.
d)A área total da pirâmide.
3) Numa pirâmide regular de base triangular, a aresta da base mede
altura mede 4 cm. Calcule:
a) O apótema da base.
b) O apótema da pirâmide.
c) A aresta lateral.
d) A área total.
e) A área total da pirâmide.
cm e a
4) Numa pirâmide regular de base quadrangular, a medida do perímetro da base é
40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é de 12 cm, calcule a área lateral dessa
pirâmide.
5) Considere a pirâmide hexagonal regular indicada na figura abaixo.
Calcule:
a) O apótema da base.
b) O apótema da pirâmide.
c) A aresta lateral.
d) A área total da pirâmide.
6) A figura ao lado nos mostra um cubo de aresta igual a 2 cm. Tomando-se como
base o quadrado ABCD e como vértice o ponto V (centro da face A' B' C' D' do
cubo), obtém-se uma pirâmide. Qual é a área total dessa pirâmide?
7) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é
um quadrado inscrito num círculo de 8 cm de raio. Calcule a área total da
pirâmide.
8) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais, sendo a área da
base igual a 16 cm2. Qual é a sua altura?
3- O tetraedro
O sólido que possui, no total, Quando todas as faces são triângulos
quatro faces é chamado tetraedro.
equiláteros, ele se diz regular.
O tetraedro é, pois, uma pirâmide de
base triangular.
Sendo a a medida da aresta de
um tetraedro regular, demonstra-se
que:


→ altura do
tetraedro

→ área total
do tetraedro
Exemplo: A aresta de um tetraedro regular mede 12 cm. Calcular:
a) A medida da altura do tetraedro.
b) A área total do tetraedro.
→
Resolução: a)
→
b)
Resposta: a)
→
cm
b)
cm
→
EXERCÍCIOS
1) A aresta de um tetraedro regular mede 15 cm. Calcule a medida h da altura.
2) Num tetraedro regular, a altura mede
tetraedro.
3)
cm. Calcule a área total desse
Calcule a área de um tetraedro regular de altura
cm.
4) Qual é a área total do tetraedro regular de aresta 10 cm?
5) A área total de um tetraedro regular é
. Calcule a medida h da altura.
6) Sabendo que o apótema de um tetraedro regular mede
cm, Calcule:
a) A medida da aresta do
tetraedro.
b) A área total do tetraedro.
7) A soma das medidas de todas as arestas de um tetraedro regular é 72 cm. Calcule
a medida h da altura desse tetraedro.
4- Voume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide qualquer é igual a um terço do produto da área da base pela
medida da altura, ou seja:
Vejamos alguns problemas envolvendo volume de uma pirâmide.
1ºexemplo: A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta3 cm. Sabendo que a
altura da pirâmide mede 10 cm, calcular o volume dessa pirâmide.
Resolução: Dados:
Como
, temos:

Cálculo da área da base
A base é um quadrado, logo:

Cálculo do volume (V)
Resposta: O volume da pirâmide é 30 cm3.
2º exemplo: Numa pirâmide regular hexagonal, a aresta da base tem 12 cm e a
aresta lateral tem 20 cm. Calcular o volume da pirâmide.
Resolução: Dados:

Cálculo do apótema da pirâmide (g)
→
→
→

→
Cálculo do apótema da base (m)
Como a base é um hexágono regular, temos:
→

Cálculo da altura da pirâmide (h)
→

Cálculo da área da base ( )
A base é um hexágono regular e, portanto, sua área é igual a seis vezes a área de
um triângulo equilátero de lado
→

→
Cálculo do volume
→
Resposta: O volume da pirâmide é
→
.
Exercícios
1) A base de uma pirâmide de 5 cm de altura é um quadrado de
Calcule o volume da pirâmide.
cm de lado.
2) Numa pirâmide de base quadrada, a altura mede 8 cm e o volume é 200
Calcule a medida da aresta da base.
.
3) Qual é o volume de uma pirâmide regular quadrangular, cuja base está inscrita
numa circunferência de raio 4 cm e cuja altura mede 6 cm? (Lembre-se: num
quadrado inscrito,
.
4) (PUC-SP) Determine o volume de uma pirâmide hexagonal regular, cuja aresta
lateral tem 10 m e o raio da circunferência a base mede 6 m.
5) A área lateral de uma pirâmide regular hexagonal é 72 cm2. Sabendo que a
aresta da base
, calcule o volume da pirâmide.
6) Ache o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sabendo que o perímetro da
base mede
cm e o apótema da pirâmide mede 10 cm.
7) Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base. A altura da pirâmide vale o
sêxtuplo da altura do prisma. Sendo V, o volume da pirâmide e V2 o volume do
prisma, mostre que V1 = 2V2.
8) Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta 6 cm.
9) A figura abaixo mostra-nos uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo de
catetos 6 cm e 8 cm. A aresta VA é perpendicular ao plano da base. Calcule o
volume da pirâmide.
10) A base de um tetraedro regular tem uma área de
do tetraedro.
11) O volume de um tetraedro regular é
. Calcule o volume
. Calcule a aresta do tetraedro.
12) Uma pedra preciosa tem a forma de um octaedro regular de aresta 8 mm,
conforme indica a figura. Calcule o volume dessa pedra.
5- Tronco de pirâmide regular (bases paralelas)
Consideremos uma pirâmide de vértice V e altura h, a uma distância d do vértice,
traçando um plano paralelo à base, obtemos uma secção transversal da pirâmide.
Consideremos, agora, o sólido construído pela reunião dos seguintes conjuntos:
a) Base da pirâmide;
b) Secção transversal;
c) Pontos da pirâmide compreendidos
entre a base e a secção transversal.
Esse sólido é denominado tronco de pirâmide de bases paralelas, em que
destacamos:



As bases do tronco são a base da
pirâmide e a secção;
As faces laterais são trapézios;
A distância entre as bases do
tronco chama-se altura do tronco
e sua medida é expressa por k.
Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide se diz regular. Nesse caso:


As bases são polígonos regulares semelhantes;
As faces laterais são trapézios isósceles.
Considerando-se o tronco de pirâmide da figura abaixo, demonstra-se que seu
volume é dado por:
Na fórmula:
B = área da base maior
b = área da base menor
k = altura do tronco
Vejamos a resolução de alguns problemas que tratam de tronco de pirâmide:
1º exemplo: Um tronco de pirâmide tem como base dois quadrados de lados 4 cm e 10
cm, respectivamente. A altura do tronco é 6 cm. Calcular o volume desse tronco.
Resolução: Dados
Resposta: O volume do tronco é 312
.
2º exemplo: É dado um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados de lados
e
. A altura de uma face lateral do tronco mede 13 m. Calcular o volume,
e a área total desse tronco.
Resolução: Dados

Cálculo da altura do tronco (k)

Cálculo do volume (V)

Cálculo da área lateral
Como a face lateral é um trapézio
isósceles, temos:
Resposta: O volume do tronco é 1552
é 864
, a área lateral é 572
e a área total
.
Exercícios
1) As bases de um tronco de pirâmide tem área de 25
e 16
,
respectivamente. Sabendo que a altura do tronco é 20 m, calcule o volume do
tronco.
2) Determine a área lateral e a área total do tronco de pirâmide regular dado na
figura abaixo.
3) Num tronco de pirâmide, as bases são quadradas de lados 4 cm e 10 cm. A altura
do tronco mede 4 cm e a altura de uma face lateral mede 5 cm. Calcule a área
lateral, a área total e o volume do tronco.
4) Em São Paulo, no parque Ibirapuera, há um monumento de concreto chamado
Obelisco, uma homenagem aos heróis de 1932. Esse monumento tem a forma de
um tronco de pirâmide. Suas bases são quadrados de arestas 9m e 6m, e a altura
é 72 m. Qual o volume de concreto usado na construção desse monumento?
5) Um engenheiro está projetando uma sapata (parte de um alicerce) de concreto
em forma de tronco de pirâmide regular, com as dimensões indicadas na figura.
Sabendo que em 1
de concreto gastam-se, aproximadamente, 9 sacos de
cimento, determine quantos sacos serão gastos para fazer essa sapata.
6) A cesta de roupas indicada na figura tem a forma de um tronco de pirâmide
quadrangular. As arestas das bases medem 48 cm e 30 cm.
Sabendo-se que a altura da cesta mede 50 cm, qual o volume de roupa que ela
comporta?