EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA II
→ CONTEÚDO: Relações Métricas nos Triãngulos
3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
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1) (FUVEST-SP) - Dados: MÔB = OÂB, AO = 3, OB = 2 e AB = 4. Calcule a medida MB.
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2) (FUVEST-SP) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2 e
AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?
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3) (CESGRANRIO-RJ) – O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura.
Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, quanto mede o lado do losango?
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4) (FATEC-SP)- Num trapézio isósceles ABCD as bases são dadas, respectivamente, por AD = 2
1
cm e BC = 5 cm. Em tal trapézio, traça-se o segmento MN paralelo à base AD e tal que AM= AB.
3
Calcule o comprimento MN.
5) (ITA-SP) – Considere o triângulo ABC, onde o segmento AD é mediana relativa ao lado BC.
Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo ao segmento AD,
onde P é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado AC (veja figura a
seguir). Se N é o ponto de interseção do lado AB com o segmento MP, calcule a soma MN + MP.
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6) (MACKENZIE-SP) – O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6.
Calcule a medida AE.
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7) (PUC-SP) – Na figura, as retas AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto
mede o segmento AE?
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8) (FUVEST- SP) – A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede
12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual é a
altura do poste?
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9) (UFRS) – Num trapézio, cujos lados paralelos medem 4 e 6, as diagonais interceptam-se de tal
modo que os menores segmentos determinados em cada uma delas medem 2 e 3. Qual é a medida
da menor diagonal?
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10) (UFSE) – Na figura a seguir, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. Calcule a medida BD.
11) (UFMG) – Num círculo, a corda CD é perpendicular ao diâmetro AM no ponto E. Se
(AE).(EB) = 3, qual é a medida do segmento CD?
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12) (UFMG) – Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm seus centros na altura relativa à base do
triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. Calcule a altura relativa à base do
triângulo.
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13) (UFMG) – Na figura, o triângulo ABC é isósceles, BC é a base e BE, altura relativa ao lado
AC. Se AC = 3 cm e CE = 1 cm, calcule, em centímetros, a medida BC.
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14) (UFMG) – O triângulo ABC da figura é equilátero, AD = DE = EF = FB e os segmentos DG,
EH, FI e BC são paralelos. Se DG + EH + FI = 18, calcule o perímetro do triângulo ABC.
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15) (PUC-MG) – Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de
1 m projeta uma sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, calcule o número
de andares.
16) (MACKENZIE-SP) – Num triângulo, a base mede 60 cm, a altura e a mediana em relação a
essa base medem, respectivamente, 12 cm e 13 cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do
triângulo.
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17) (CESGRANRIO-RJ) – No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é
perpendicular à diagonal AC. Quanto mede o segmento AM?
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18) (U.F. Uberlândia) – Num triângulo ABC, o ângulo de vértice A é reto. A altura hA divide a
hipotenusa a em dois segmentos m e n (m > n). Sabendo-se que o cateto b é o dobro do cateto c,
calcule a razão entre m e n.
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19) (UFGO) – O perímetro de um triângulo isósceles de 3 cm de altura é 18 cm. Calcule as medidas
dos lados do triângulo.
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20) (UECE) – Num retângulo, a diagonal mede 25 cm. A diferença entre a base do retângulo e sua
altura é de 5 cm. Calcule o perímetro do retângulo.
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21) (UCMG) – Num triângulo retângulo de catetos medindo 1 cm e 3 cm, qual é a medida da
altura relativa à hipotenusa?
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22) (UCMG) – A diagonal de um retângulo mede 10 cm e os lados formam uma proporção com os
números 3 e 4. Calcule o perímetro do retângulo.
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23)(UFRS) – Na figura, ABC é um triângulo retângulo, os segmentos AP e CB são
perpendiculares, CP = 1,8 e PB = 3,2. Calcule o perímetro do triângulo ABC.
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24) (PUC – SP) – A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 3.
Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
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25) (U. E. Londrina-PR) – Em um triângulo retângulo ABC, as medidas das projeções dos catetos
AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre AB e BC, nessa ordem, é
igual a 0,5, qual é a razão entre m e n?
26) (UFSE) – Se nos triângulos retângulos representados na figura, tem-se AB = 1, BC = 2 e AD =
3, qual é a medida do segmento CD?
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27) (UFPA) – Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 m.
Qual é a soma das medidas dos catetos?
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28) (FATEC – SP) – Na figura, ABCD é um retângulo. Qual é a medida do segmento EF?
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29) (CESGRANRIO – RJ) – No quadrado ABCD da figura, tem-se AB = 4, AH = CI = 1 e AG =
= 2. Quanto mede HI?
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30) (UFMG) – Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, qual é a medida,
em metros, do raio do círculo inscrito nesse losango?
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31) Um avião levanta voo em linha reta, segundo um ângulo de 30o com a pista horizontal. Se ele
voa a uma velocidade constante de 120 km/h em linha reta, durante 5 horas, a que altura estará, em
relação à direção horizontal da pista, quando completar 5 horas de voo?
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32) Um triângulo ABC é isósceles com AB =AC , BC = 8 cm e BÂC = 120o. Calcule o perímetro
do triângulo e sua altura relativa ao lado BC.
33) Num retângulo, a diagonal forma com o maior lado um ângulo de 30o. Se o perímetro do
retângulo é de 78 dm, qual é a sua área?
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34) Num losango, dois lados consecutivos formam um ângulo reto. Se a diagonal mede 4 2 cm,
qual é o perímetro do losango?
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35) Qual é a altura relativa ao maior lado de um paralelogramo em que o menor lado mede 10 cm e
o menor ângulo formado por dois lados consecutivos mede 60o?
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36) Num quadrado, a soma das medidas do lado e da diagonal é 3(2 + 2 ) cm. Qual é a área do
quadrado?
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37) A projeção de um segmento sobre uma reta r é de 3,83 cm. Calcule a medida do segmento,
sabendo que a sua reta suporte forma com a reta r um ângulo de 40o. (dado: cos 40o = 0,766)
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38) Determine o ângulo sob o qual é vista uma torre de 18 m de altura, sabendo que a distância do
observador ao ponto mais alto da torre é 36 m.
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39) Calcule a área do triângulo AOE, dados AO = 30 m, OE = 16 m e AÔE = 60o.
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40) Do Polo Sul, um astrônomo observa que a Lua está colocada sob um ângulo de 89o em relação
ao diâmetro da Terra. No mesmo instante, do Polo Norte, outro astrônomo faz a mesma observação,
obtendo um ângulo de mesmo valor. Se o diâmetro da Terra é de 12.000 km, calcule a distância da
Terra à Lua. (A distância pedida é entre os seus centros. Dado: tg 89o = 57,2)
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41) Um observador vê o topo de um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60o.
Afastando-se mais 30 m do prédio, o observador passa a ver o topo sob um ângulo de 45o. Qual é a
altura do prédio?
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42) (E.E. Mauá – SP) – Para obter a altura H de uma chaminé, com um aparelho especial, um
engenheiro estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos α e β, tendo, a seguir, medido BC = h.
Determinar a altura da chaminé.
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43) (MACKENZIE- SP) – Na figura, calcule a medida AB.
44) (PUC – SP) – Os ângulos internos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Se o menor dos lados
mede 5, quanto mede o maior lado?
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45) (CESGRANRIO – RJ) – Para traçar uma circunferência de 40π cm de comprimento, usa-se
um compasso com pernas de 20 cm cada. Qual deve ser o ângulo de abertura das pernas do
compasso?
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46) (ITA – SP) – Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são
7
iguais ao arc cos
. Calcule a área do triângulo.
25
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47) (PUC – SP) – Dois lados de um triângulo medem 6 m e 10 m e formam entre si um ângulo de
120o. Quanto mede o terceiro lado?
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48) (UFRS) – Na figura, α =
π
6
rad , β =
π
12
rad e AC = 15 2 . Calcule a distância BC.
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49) (CESGRANRIO – RJ) – Em um triângulo ABC, AB = 3, BC = 4 e o ângulo de vértice B mede
60o. Quanto mede o lado AC?
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50) (PUC – RS) – Qual é o valor de x no triângulo abaixo?
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51) (UEBA) – Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120o, quanto mede o lado BC?
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52) (UFRS) – A figura representa a trajetória de um helicóptero que percorreu 12 km na direção
AB, 14 km na direção BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. Qual é o cosseno da
inclinação α?
53) (FUVEST – SP) – Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2, AP =3 e
PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.
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Exercícios Complementares:
1) (UFRS) – O lampião mostrado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao
1 6
teto. Sabendo que essas cordas medem
e , qual é a distância do lampião ao teto?
2 5
(Resp :
6
)
13
2) (UFMG) – Na figura, E é o ponto médio do lado AB no paralelogramo ABCD. Calcule a medida
AM, sabendo que a diagonal AC mede 6 cm.
(Resp: 2 cm)
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AE 1
3) (UEBA) – Na figura abaixo são dados
=
, BE = 8 cm e ED = 6 cm. Calcule o
EC 3
comprimento do segmento AC.
(Resp: 16 cm)
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4) (U.C. Salvador - BA) – Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a
cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Quantos quilômetros medirá essa
estrada?
(Resp: 24 km)
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5) (UFMG) - Nos triângulos isósceles T1 e T2 , as bases medem, respectivamente, 30 cm e 40 cm, e
os demais lados medem 25 cm. Sejam A1 a área do triângulo T1 e A2 a área do triângulo T2 .
Determine A1 em função de A2.
(Resp: A1 = A2)
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6) (UFMG) - Na figura seguinte, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados
AM e NA medem, respectivamente m e n. Calcule a medida do lado do quadrado.
mn
)
m+n
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7) ( UFMG) - Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC
medem, respectivamente, x, y e z . Nessa situação, determine a altura do triângulo ADE em relação
ao lado AE.
(Resp:
x z2 − y2
(Resp:
)
z
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8) (UFMG) – Observe a figura a seguir. Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares,
respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB , BQ = QC e a medida do ângulo PÔQ é θ.
Calcule a medida do ângulo AÔC, interno do quadrilátero AOCB.
(Resp: 2θ)
9) (UFMG) - Esta figura representa o quadrilátero ABCD:
Sabe-se que AB = 1 cm e AD = 2 cm , o ângulo ABC mede 120o e o segmento CD é perpendicular
aos segmentos AD e BC. Então, calcule o comprimento do segmento BD.
(Resp: 3 cm)
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10) (UFMG) – Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r,
como mostrado na figura:
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC.
Calcule a medida do segmento CE.
(Resp: 8 cm)
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11) (CEFET-MG) -Na figura seguinte, o triângulo ABC é equilátero. Sabendo-se que AM = MB =
CD = = 6 e FB paralelo a AC, determine o valor de FB.
(Resp: 9 )
12) (CEFET – MG) - Um menino mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de
comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando
com a horizontal um ângulo de 300. A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, conforme a
figura. Desprezando-se a altura da criança, calcule a distância final entre ela e a pipa, em metros.
(Resp: 50 3 m)
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13) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo a BC, divide o triângulo em
AM
.
duas regiões de mesma área, conforme representado na figura. Calcule a razão
AB
2
)
2
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14) (CEFET – MG) - Na figura, os segmentos AB e DE são paralelos. Se BC = 2, CD = 6 e a área
do triângulo ABC é n, então, calcule a área do triângulo CDE.
(Resp:
(Resp : 4n)
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15) (CEFET – MG) - Refere-se ao trecho de duas ruas paralelas, onde João e Pedro decidem
apostar uma corrida, desenvolvendo a mesma velocidade. As dimensões, na figura, estão
representadas em metros. João partirá do ponto médio M do quarteirão AB, fazendo o trajeto
MBCDP, enquanto Pedro percorrerá MADCP.
Nessas condições, descreva como será o resultado final dessa corrida.
(Resp : Pedro ganha com 120 m de vantagem)
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16) (CEFET – MG) - Na figura, os ângulos ABC (de vértice C) e CQP (de vértice Q) são retos,
BP = 4x, PC = 5x e AB = 12x. Nessas condições, calcule a área do quadrilátero ABPQ.
(Resp : 48x2 )
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17) (CEFET – MG) - No triângulo ABC, BC = a, AH = h, AC = b e o ângulo ABC (de vértice B)
mede 45º. Para a + h = 4, qual é o valor mínimo de b2 ?
16
)
5
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18) (CEFET – MG) - ABCD é um trapézio isósceles com lados paralelos AB e CD, medindo,
respectivamente, 42 cm e 30 cm, e lados não paralelos, BC e AD, medindo 10 cm. Sabendo-se que
as diagonais AC e BD se cruzam em um ponto P, calcule a área do triângulo ABP em centímetros
quadrados.
(Resp :
(Resp : 98 cm2 )