Colégio Planeta
Prof.: Sal
Lista de Matemática
Aluno(a):
Data: 27 / 03 / 2015
ENEMais
1. (Unesp 2012)
O gol que Pelé não fez
Turma:
Lista
04 A
Turno: Mat, Vesp e Not
3. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r
que tangencia internamente um setor circular de raio R e
ângulo central θ.
Na copa de 1970, na partida entre Brasil e
Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de
campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que
entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a
bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três
segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo,
depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave,
para alívio do assustado goleiro.
Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.
A) Para θ  60, determine a razão entre as áreas do círculo e
do setor circular.
B) Determine o valor de cosθ no caso em que R  4r.
4. (Uel 2015) Considere, na figura a seguir, uma circunferência
trigonométrica de 1cm de raio, na qual se exibe um ângulo α
e uma medida A  OD, em que OD é a distância em cm do
ponto O até o ponto D, ou, ainda, a medida do segmento OD.
Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute
de Pelé fazia um ângulo de 30° com a horizontal (sen30° = 0,50 e
cos30° = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação
da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto
de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela
tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor
mais próximo de
A)
B)
C)
D)
E)
52,0.
64,5.
76,5.
80,4.
86,6.
2. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura,
a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm.
Sabe-se que a reta que contém o segmento OD tangencia a
circunferência no ponto O.
Com base nas informações apresentadas na figura, determine
as medidas dos segmentos MN e MP em função da medida
A. Justifique sua resposta apresentando os cálculos
realizados.
5. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo
plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD,
com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em
AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo
PB  1,5 m e PA  1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se
desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC
é igual a
A)
B)
C)
D)
E)
2
.
7
3
.
7
2
.
7
2 2
.
7
2 3
.
7
medida do ângulo PTB igual 60. Após essa colisão, a bola
segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.
Nas condições descritas e adotando
3  1,73, a largura do
tampo da mesa, em metros, é próxima de
A)
B)
C)
D)
E)
2,42.
2,08.
2,28.
2,00.
2,56.
6. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na
figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um
lado com comprimento de x cm.
9. (Unifor 2014) Um corredor A está sobre uma linha reta e
corre sobre ela no sentido AX com velocidade constante igual
à metade do corredor B que se desloca no sentido BX.
Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA faz
um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a trajetória de
B deve fazer com a reta BA para que seja possível o encontro
é de:
A)
B)
A)
B)
C)
D)
E)
Encontre o valor de x.
Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
7. (Unifor 2014) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus
centros distam 3R. Além disso, a reta t passa por P e é
tangente à circunferência do pneu, formando um ângulo α com a
reta s que liga os dois centros.
30 .
35 .
40 .
45 .
60 .
10. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um
ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle
manual de subir e descer.
Pode-se concluir que cos α
A)
B)
C)
D)
E)
A altura y que a cama varia em função de θ é de:
2 3
.
3
A)
3 2
.
2
3 3
.
2
2 2
.
3
B)
C)
D)
E)
y  2 senθ .
y  2 senθ  2 .
y  tgθ  2 .
y  2 cos θ .
y  2 cos θ  2 .
11. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e
3
.
3
vê o topo do prédio sob um ângulo de 30, como mostra a
figura abaixo.
8. (Unifor 2014) Uma rampa retangular, medindo 10 m2 , faz um
ângulo de 25 em relação ao piso horizontal. Exatamente
embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para
um jardim, conforme figura.
Considerando
que
aproximadamente:
cos 25  0,9,
a
área
A
tem
A)
3 m2 .
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do
solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros
é:
B)
4 m2 .
A)
2
C)
6m .
B)
D)
8 m2 .
C)
E)
9 m2 .
D)
E)
80,2 .
81,6 .
82,0 .
82,5 .
83,2 .
12. (Uneb 2014) A tirolesa é uma técnica utilizada para o
transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é
presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas
extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa
também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um
esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a
estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as
alturas das extremidades do cabo por onde os participantes
deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao
nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de
80°.
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg
10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida,
em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a
A)
B)
C)
D)
E)
ˆ e
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC
BD  BC, então a medida do lado CD, em centímetros, vale
A)
2 2.
B)
D)
10.
11.
2 3.
E)
15.
C)
15. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de comprimento e
inclinação de 30 com a horizontal, devem-se construir
degraus de altura 30cm.
250.
252.
254.
256.
258.
13. (Uel 2014) Analise a figura a seguir.
Quantos degraus devem ser construídos?
A)
B)
C)
D)
E)
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o
poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas
para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão
as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o
plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. Uma inclinação de
5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a
rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas
não respeitam essas normas, gerando percursos longos em
inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se uma
rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa
igual a 2 metros.
4.
5.
6.
7.
8.
16. (Upe 2014) A figura a seguir representa o campo de jogo
da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio
do campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol.
Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT,
com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em
metros.
A)
B)
5.
20.
C)
2
D)
E)
1
.
20
401  2 .
1
.
4,01 
20
Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem
inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas
zonas centrais, conforme o esquema a seguir:
14. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD
mostrado na figura, em que AB  4cm, AD  3cm e   90.
Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de
altura entre os pontos A e B, representados no desenho do
campo?
A)
B)
C)
D)
E)
15,90 cm.
26,50 cm.
29,00 cm.
34,00 cm.
53,00 cm.
17. (G1 - cftmg 2014) Uma formiga sai do ponto A e segue por
uma trilha, representada pela linha contínua, até chegar ao ponto
B, como mostra a figura.
Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana,
determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para
que o navio passe sob ela.
Dados: tg(7)  0,12 e cos(10)  0,98
21. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto
Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no
ponto P, conforme a figura abaixo.
A distância, em metros, percorrida pela formiga é
1 2
B) 3  3
C) 5  2
D) 7  3
A)
3.
3.
3.
3.
18. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís
Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura
asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos
matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e
obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura:
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no
ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o
ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca
atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória,
ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR
e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da
reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ.
22. (Mackenzie 2013)
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a
altura do monumento, em metros, é aproximadamente
A)
B)
C)
D)
6,86.
6,10.
5,24.
3,34.
19. (G1 - ifce 2014) Uma rampa faz um ângulo de 30° com o
plano horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa
se encontra a altura de ___ do solo.
A)
B)
C)
D)
E)
6 metros.
7 metros.
8 metros.
9 metros.
10 metros.
20. (Ufg 2014) Um navio, que possui 20 m de altura sobre a
água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da
embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele
desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode
passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e
medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma
certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do
segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto
mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é
de 7°. Percorridos 102 m em linha reta em direção à ponte, ele
volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10°, e verifica
que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto
mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a
seguir.
Se na figura, AD  3 2 e CF  14 6, então a medida de AB é
8 6.
10 6 .
C) 12 6 .
D) 28 .
E) 14 5 .
A)
B)
Gabarito:
1:[C]
2:[B]
3: sala
4: sala
5:[A]
6: sala
7:[D]
8:[E]
9:[A]
10:[D]
11:[B]
12:[A]
13:[D]
14:[B]
15:[B]
16:[B]
17:[D]
18:[D]
19:[E]
20: sala
21: sala
22:[C]