UNIVERSIDADE FEDERAL
DE PERNABUCO - UFPE
Disciplina: ELEMENTOS DE
ESTATÍSTICA ET-301
Curso: SECRETARIADO
Professor: WALDEMAR SANTA
CRUZ OLIVEIRA JR
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Parte II - Moda e Mediana
MEDIDAS DE POSIÇÃO:
são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais
valores da amostra se concentram os dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL
MEDIDAS DE
POSIÇÃO
SEPARATRIZES
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.
Dentre elas destacamos três
MÉDIA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTAL
MODA
MEDIANA
MODA:
O valor que mais se repete na amostra
Exemplo: {2,3,4,5,5,5,8}
Moda=5, pois aparece três vezes na amostra
Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X
f
3
8
4
10
5
7
6
5
Total
30
Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X
f
3
8
4
10
5
7
6
5
Total
30
Moda=4
O número 4 tem a maior frequência, ele aparece 10 vezes na
amostra.
Dados Agrupados em Classes
Quando os dados estão agrupados em classes temos três métodos
para calcular a moda
BRUTA
Moda
MÉTODO DE KING
MÉTODO DE CZUBER
Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maior
frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a
moda, porém a menos utilizada.
Exemplo
Classes
fi
2 |------ 4
3
4 |------ 6
6
6 |------ 8
9
8 |------ 10
4
10 |------ 12
3
Toatal
25
Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maio
frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a
moda, porém a menos utilizada.
Exemplo
Classes
fi
Ponto Médio
2 |------ 4
3
3
4 |------ 6
6
5
6 |------ 8
9
7
8 |------ 10
4
9
10 |------ 12
3
11
Toatal
Classe Modal
25
Maior
Frequência
Moda Bruta
Método de King: este método leva em consideração a frequência
das classes adjacentes e é dado pela fórmula abaixo.
Moking

f post
 li  
 f  f
post
 ant

h


 li é o limiteinferiorda classe modal
 f ant e f post são as frequências anteriore posterior
à classe modal,respectivamente
 h é o comprimetoda classe modal
Exemplo
Classes
fi
2 |------ 4
3
4 |------ 6
6
6 |------ 8
9
8 |------ 10
4
10 |------ 12
3
Toatal
25
Exemplo
Limite inferior
da classe modal
Classes
fi
2 |------ 4
3
4 |------ 6
6
6 |------ 8
9
8 |------ 10
4
10 |------ 12
3
Toatal
Moking
 4
 6
64

Frequência anterior
Frequência posterior
25

2  6  0,4 * 2  6,8


Observe que a moda fica mais próxima da classe que é anterior à
classe modal, pois esta classe tem frequência maior do que a da
classe que é posterior à classe modal
Método de Czuber: este método leva em consideração a diferença
entre a frequência da classe modal e a frequência das classes
adjacentes.Este método é dado pela fórmula abaixo.
Moczuber


ant
 li  
 
post
 ant

h


 li é o limiteinferiorda classe modal
 ant  f mod al  f ant e post  f mod al  f post
h é o comprimetoda classe modal
Exemplo
Classes
fi
2 |------ 4
3
4 |------ 6
6
6 |------ 8
9
8 |------ 10
4
10 |------ 12
3
Toatal
25
Exemplo
Limite inferior
da classe modal
Classes
fi
2 |------ 4
3
4 |------ 6
6
6 |------ 8
9
8 |------ 10
4
10 |------ 12
3
Toatal
MoCzuber
 ant  9  6  3
 post  9  4  5
25
 3 
 6
2  6  0,375* 2  6,75
 35
Observe que podemos ter três valores diferente para a moda,
Mobruta  7, Moking  6,8 e M czuber  6,75
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o
valor que é maior ou igual a metade dos dados e menor ou igual
a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados
ao meio
Considere os dados não agrupados Dados {X1 , X 2 ,..., X n }
1) N é ímpar
Md  X n1
2
Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o
valor que é maior ou igual metade dos dados e menor ou igual a
outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados
ao meio
Considere os dados não agrupados Dados {X1 , X 2 ,..., X n }
1) N é ímpar
Md  X n1
2
Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
Md  X 51  X 3  9
2
MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos
centrais
Dados {X , X ,..., X , X ,..., X }
1
2
n2
2
n
2
n
X n  X n2
Md 
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
2
2
2
MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos
centrais
Dados {X , X ,..., X , X ,..., X }
1
2
n2
2
n
2
n
X n  X n2
Md 
2
2
2
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
X n  X n2
Md 
2
2
2
X 3  X 4 9  10


 9,5
2
2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência.
1) N é ímpar
Md  X n1
2
Exemplo
X
fi
5
5
10
8
15
6
20
2
Total
21
Md  X 211  X 11
2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência.
1) N é ímpar
Md  X n1
2
Exemplo
X
fi
Facum
5
5
5
10
8
13
15
6
19
20
2
21
Total
21
Md  X 211  X 11
2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência.
1) N é ímpar
Md  X n1
2
Exemplo
X
fi
Facum
5
5
5
10
8
13
15
6
19
20
2
21
Total
21
Md  X 211  X 11
Md  10
2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência.
X n  X n2
2) N é par
Md 
2
2
2
Exemplo
X
fi
100
40
200
55
300
30
400
25
Total
150
X 150  X 150  2
Md 
2
2
2
X 75  X 76

2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência.
X n  X n2
2) N é par
Md 
2
2
2
Exemplo
X
fi
Facum
100
40
40
200
55
95
300
30
125
400
25
150
Total
150
X 150  X 150  2
Md 
2
2
2
X 75  X 76

2
200  200
Md 
 200
2
Exemplo
X
fi
2
10
3
15
4
20
5
5
Total
50
X 50  X 50  2
Md 
2
2
2
X 25  X 26

2
Exemplo
X
fi
F
2
10
10
3
15
25
4
20
45
5
5
50
Total
50
X 50  X 50  2
Md 
Md 
2
2
2
3 4
 3,5
2
X 25  X 26

2
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em classes em uma
distribuição de frequência. Então, a mediana é dada pela
fórmula abaixo
 EMd  Fant _ acum 
h
Md  li  
f Md


li é o limiteinferiorda classe mediana
f Md é a frequênciada classe mediana
n
EMd  , é o elemento mediano
2
h é o compriment
o da classe mediana
Fant _ acum é a frequênciaacumulada da classe anterior
à classe mediana
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência
Classes
fi
0 |------ 2
10
2 |------ 4
25
4 |------ 6
40
6 |------ 8
15
8|------ 10
10
Total
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de
frequência
Classes
fi
Facum
0 |------ 2
10
10
2 |------ 4
25
35
4 |------ 6
40
75
6 |------ 8
15
90
8|------ 10
10
100
Total
EMd
100

 50
2
Classe Mediana
100
15
 50  35 
Md  4  
2  4   4,75
20
 40 