Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em
Tempo Real
Carlos Cardeira
Máquinas de estados –
Tempo Real
Máquinas de estado em tempo real
 Sistemas Lineares e Invariantes no
Tempo (LTI), representação [A,B,C,D]
 Equações Diferenciais e sua relação com
LTI

Máquinas de estados –
Tempo Real

Máquinas de estado em tempo real
Similares às máquinas de estados mas
agora os indices representam tempo real.
Há uma actualização periódica do estado.
Deixa de haver “absent”.
 O espaço de estados pode ser infinito
 A função update pode ser expressa
algébricamente (de outra forma não podia
ser uma vez que o espaço de estados pode
ser infinito)

Sistemas Lineares e Invariantes
(LTI)
Os sistemas Lineares e Invariantes no
tempo são aqueles para os quais se
conhecem mais resultados
 De uma forma geral, dentro de ums
determinada gama de funcionamento, os
sistemas podem ser aproximados a LTI.

Equações Diferenciais
Os sistemas que se conseguem
descrever através de equações
diferenciais podem ser definidos como
sistemas LTI
 Circuitos electricos RLC ou sistemas
mecânicos pertencem a esta categoria

Máquinas de estados
determinísticas
Máquinas de estados tempo real
N deixa de representar apenas um índice
mas passa a representar tempo real
(segundos, minutos, etc.).
 Absent deixa de ser necessário.
 Entradas, saídas, estados passam a
assumir valores pertencentes a R.
 Recurso intensivo à Álgebra Linear para
a manipulação dos vectores e matrizes.

Delay3
Estados do Delay






O exemplo pode corresponder à amostragem de um
sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O sistema
delay guarda as últimas três amostras deste sinal.
si(n) representa a iésima amostra anterior (s1 (n) =
x(n), …, s3 (n) = x(n-3) = y(n)
A saída é igual à entrada desfasada de três unidades
Como se verá, este sistema pode ser representado por
matrizes.
O espaço de estados é R3. Se as entradas forem {0,1}
o espaço de estados seria {0,1}3
Não se podem fazer diagramas de estado ou tabelas
se o espaço de estados, entradas ou saídas
pertencerem a R.
Média Móvel
Média Móvel
Trata-se de uma média móvel das
últimas 4 amostras.
 Os estados seguintes dependem dos
estados actuais e das entradas,
 A saída depende do estado actual e das
entradas.

Estimação
y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) +
¼ x(n-3)
 Em estimação é frequente ter valores
onde se pensa poder extrair uma função
que os identifique.
 Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular
os valores que melhor satisfizessem a
equação de y(n).

Média móvel das saídas (autoregressão) e
da entrada actual









y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n)
Neste caso, a saída depende dos seus próprios valores
anteriores e da entrada nesse instante.
Parece óbvio que os estados correspondam a
s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3).
A função update seria:
Começar por s1 não dá 
s2(n+1)=y(n-1)= s1(n)
s3(n+1)=y(n-2)=s2(n)
y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n)
(agora já se tem o s1(n) porque é igual ao y(n))
Usando Delays:
y(n-1)
y(n)
D
D
¼
x(n)
+
y(n-2)
y(n-3)
D
¼
¼
Autoregressão e Média Móvel
(ARMA)
y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3)
+ 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2)
 Necessitaria de 5 delays (adiante
veremos que seria possível fazê-lo com
3)

Auto-regressão
s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n2) + ¼ x(n-3)
 s2(n+1)= s1(n)
 s3(n+1)=s2(n)
 y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼
x(n)

s1(n+1)
¼
s2(n+1) = 1
s3(n+1)
0
¼
0
1
¼
0
0
s1(n) 1
s2(n) + 0 x(n)
s1(n) 0
Média Móvel

y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n)
s2(n)
s3(n)
Representação [A,B,C,D]
S(n+1) = A s(n) + B x(n)
y(n)
= CT s(n) + D x(n)
Notas:
Por omissão, todos os vectores são colunas. Um
vector linha obtem-se transpondo um vector coluna
Todos os LTI podem ser colocados neste formato
Sistema LTI Genérico


MIMO: Multiple Input, Multiple Output
SISO: Single Input, Single Output
Espaço de estados infinito com
funções de update lineares
Exemplo: Circuito R/C
Resposta de um sistema SISO
Resposta de um sistema SISO
Resposta de um sistema SISO
Resposta de um sistema SISO

A resposta pode ser decomposta em duas partes:






Uma que só depende do estado inicial
Outra que só depende das entradas
Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado
inicial. Trata-se da resposta “zero-input”
Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da
entrada. Trata-se da resposta “zero-state”
A resposta total é a soma das duas.
O facto de se poder separar a resposta nestas duas
componentes, é uma característica importante dos
sistemas LTI.
Resposta de um sistema SISO

Suponhamos que o estado inicial do
sistema é igual a 0.
x1  y1
x2  y 2
então:
ax1  bx2  ay1  by2

O sistema é linear !
Resposta de um sistema SISO

Suponhamos que o estado inicial do
sistema é igual a 0.
x1  y1
x2  y 2
então:
ax1  bx2  ay1  by2

O sistema é linear !
Resposta Impulsiva
Resposta Impulsiva
Resposta Impulsiva
Suponhamos a entrada impulso (função
Delta de Kronecker) x(0)=d(0):
 x(0) = 1, x(n) = 0 n>0
 Se assim for, a resposta do sistema dá
exactamente h(n)
 É por isso que a h(n) se chama
“resposta impulsiva”

Exemplos SISO – circuito RC
Exemplos SISO – circuito RC
Exemplo : circuito RC
Exemplos SISO – circuito RC
Circuito RC : exemplo numérico
R=1M
C=1µF
d=0.1s
Exemplos SISO – circuito RC
Exemplos SISO – circuito RC –
resposta impulsiva
Exemplos SISO – circuito RC –
resposta a uma entrada contínua
Exemplos SISO – circuito RC –
resposta a uma entrada contínua
Exemplos SISO – conta bancária –
resposta impulsiva
Exemplos SISO – conta bancária –
cálculo de um empréstimo
Exemplos SISO – conta bancária –
cálculo de um empréstimo
Exemplos SISO – FIR
Exemplos SISO – FIR
Exemplos SISO – FIR
Sistemas MIMO
A matriz A é quadradra (NxN)
A matriz B tem dimensões (NxM)
A matriz C tem dimensões (KxN)
A matriz D tem dimensões (KxM)
Sistemas MIMO
•A matriz h tem dimensões (KxM)
•h(i,j) é a resposta impulsiva da saída yi à
entrada xj, considerando as restantes
entradas nulas
MIMO e SISO
B = coluna( B, j )
j
C = linha(C i)
T
i
T
A, B, C, D  A, B
j
, Ci , Di , j

Sistemas Lineares Contínuos





SISO
z: ReaisPositivos → ReaisN estado do sistema
.
z (t) é a derivada de z avaliada em t
v: ReaisPositivos → Reais é a entrada do sistema
w: ReaisPositivos → Reais é a saída do sistema
Sistemas Contínuos




Em vez do estado seguinte, da-se a têndencia
do estado (a sua derivada).
O estado seguinte não teria sentido uma vez
que o sistema deixa de ser uma máquina de
estados cujos estados mudam a intervalos
regulares.
A resolução de um sistema contínuo, implica a
resolução de equações diferenciais (e
transformadas de Laplace).
É no entanto possível aproximar um sistema
contínuo por um sistema discreto. Este é o
processo usado em simulações.
Aproximação de Sistemas
Contínuos – Circuito RC

Conforme
vimos no
circuito R/C,
o sistema
contínuo é
aproximado
por um
sistema
discreto.
Aprox. de Sistemas Contínuos RC
: exemplo numérico (revisão)
R=1M
C=1µF
d=0.1s
Aprox. de Sistemas Contínuos RC (revisão)
Aprox. de Sistemas Contínuos RC – resposta impulsiva (revisão)
Aprox. de Sistemas Contínuos RC – resposta a uma entrada
contínua (revisão)
Aprox. de Sistemas Contínuos RC – resposta a uma entrada
contínua (revisão)
Simulink







Declarativo e não imperativo
Apenas de declaram blocos corrrespondentes a
sistemas e as ligações entre eles
Simulink faz a simulação do sistema contínuo,
aproximando-o a um discreto.
Existem várias formas de fazer a aproximação e
podem ser configuradas no solver do simulink.
Algumas formas são mais exactas que outras para
certos sistemas.
Nos exemplos do lab, o solver existente por omissão é
suficiente.
Simulink também pode simular sistemas discretos.
Simulink

O bloco integrador é o bloco 1/s (tem a
ver com transformadas de Laplace)
Simulink

Se a = 0.9
Simulink

Se a = -0.9
Aproximação por equações às
diferenças
z = az(t )
z (t  dt )  z (t )
= az(t )
dt
s (n  1)  s (n) = dtas(n)
s (n  1) = (1  ad ) s(n)
y (n) = CA s (0) = (1  ad )
n
n
Aproximação por equações às
diferenças
y(n) = CA s(0) = (1  ad )
n

n
Independentemente de delta, se a>0 o
sistema diverge (é instável), se a<0 o sistema
converge (é estável)