MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica Transitórios em corrente contínua Prof. Luis S. B. Marques Introdução • Inicialmente estudaremos circuitos RL e RC livres de fontes. Veremos que as respostas resultam das energias armazenadas nos elementos dinâmicos. Esta resposta é conhecida como resposta natural. • Prosseguindo, iremos considerar os circuitos RL e RC nos quais as funções de alimentação são fontes independentes constante que são aplicadas repentinamente. A resposta consiste de duas partes: uma resposta natural e uma resposta forçada. Circuito RC sem fontes • Aplicando LKC ao nó superior: dv v C 0 dt R v(0) Vo dv 1 v dt CR dv v 0 dt CR dv 1 dt v CR •Integrando....... Circuito RC sem fontes dv 1 v CR dt t ln v K RC • A constante K deve ser escolhida de tal forma que a condição inicial v(0)=Vo seja satisfeita. Portanto, em t=0 tem-se que: ln v(0) lnVo K Circuito RC sem fontes • Substituindo o valor para a constante K: t ln v ln Vo RC t ln v ln Vo RC v t ln Vo RC v(t ) Vo e t RC Circuito RC sem fontes Exercício: No circuito abaixo Vo=10V, R=1kΩ e C=1μF. Calcule v, i e Ec em t=1ms. Constantes de tempo • Em redes que contêm elementos armazenadores de energia é útil caracterizar a velocidade com a qual a resposta natural decresce. • Percebe-se, em circuitos RC, que quanto menor o produto RC mais rapidamente a resposta natural decresce. Constantes de tempo Constante de tempo • A resposta, ao final de uma constante de tempo, fica reduzida a 0,368 do seu valor inicial. • O tempo para que a resposta natural decresça de um fator 1/e é definido como constante de tempo do circuito, denominada Constante de tempo • Ao final de duas constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo 2 fator: e • Ao final de cinco constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo fator e 5 , ou seja, pode-se considerar a resposta igual a zero. Exercício: Um circuito RC série em que R=2kΩ e C=10μF. Determine a constante de tempo. RC Exercício: Calcule i para t>0, se o circuito está em regime permanente em t=0-. • O instante de tempo t=0- corresponde ao instante de tempo imediatamente anterior à abertura da chave. v(t ) Vo e t RC Circuito RL sem fontes • Aplicando LKT: di L Ri 0 dt di R i0 dt L di R i dt L di R dt i L Circuito RL sem fontes di R i L dt Rt ln i K L ln i(0) ln I o K Circuito RL sem fontes • Substituindo o valor para a constante K: Rt ln i ln I o L Rt ln i ln I o L i Rt ln Io L i(t ) I o e R t L Circuito RL sem fontes • Visto que a resposta natural também é uma função exponencial, como no circuito RC, essa resposta também possui uma constante de tempo. De forma análoga, a constate de tempo para o circuito RL é: L R Exercício: Em um circuito RL série determine a tensão no indutor se R=200Ω, L=40mH e Io =10mA. i(t ) I o e R t L Exercício: Calcule i e v para t>0, se o circuito está em regime permanente em t=0-. Resposta a uma função de excitação constante •Até então temos estudado a resposta somente devida à energia armazenada em capacitores e indutores. Iremos agora estudar circuitos que, além da energia armazenada, são excitados por fontes de tensão ou corrente constantes, ou ainda, funções de excitação. • Para estes circuitos as respostas serão compostas de duas partes, sendo uma delas constante. Rede RC excitada •Considere que a tensão inicial sobre o capacitor é: v(0 ) Vo •Escrevendo a equação nodal v dv Io C 0 R dt v dv I o RC dt C (v RI o ) dv dt RC dv dt (v RIo ) RC •Integrando....... Rede RC excitada dv 1 (v RI o ) RC dt u v RIo 1 ln u tK RC 1 ln(v RI o ) tK RC ve t K RC RIo du dv du 1 u RC dt Ae t RC v Ae K RIo Rede RC excitada v Ae t RC RIo •Iremos agora avaliar a constate A v(0 ) v(0 ) Vo • Substituindo em t=0+ v(0) Ae RIo 0 Vo A RIo A Vo RIo v (Vo RIo ) e t RC RIo Rede RC excitada A função Degrau unitário •A função degrau unitário é uma função que é igual a zero para todos os valores negativos de seu argumento, e um para todos os valores positivos de seu argumento. 0, t 0 u (t ) 1, t 0 • A função degrau unitário pode ser usada para representar tensões ou correntes com descontinuidades finitas. Por exemplo, um degrau de V volts pode ser representado pelo produto Vu(t). Circuito RC com degrau de tensão •Inicialmente a energia armazenada no capacitor é zero. •Cuja solução é: v Ae t RC v u (t ) dv C 0 R dt dv v u (t ) dt RC RC •Para t<0 a equação torna-se: v(0 ) 0 A 0 v(t ) 0, t 0 se dv v 0 dt RC Circuito RC com degrau de tensão •Para t>0 a equação torna-se: v u (t ) dv C 0 R dt •Sabe-se que: v vnatural v forçada vn Ae vf 1 t RC dv v u (t ) dt RC RC v dv 1 RC dt RC Circuito RC com degrau de tensão •Portanto: v Ae t RC 1 v(0 ) 0 A 1 •Escrevendo a solução encontrada de forma mais elegante: v(t ) 1 e t RC u (t ) v(t ) 1 e t RC ,t 0