Aula Teórica 16 & 17
Adimensionalização. Nº de Reynolds e Nº de
Froude. Teorema dos PI’s , Diagrama de
Moody, Equação de Bernoulli Generalizada e
coeficientes de perda de carga.
Why Dimensionless Equations?
•
•
•
•
Finite Volumes,
Partial Differential Equations,
Laboratory Models.
How to extrapolate from the model to the
prototype?
Escalas
• Equação de Navier-Stokes:
vi
vi
P


 v j


t
x j
xi x j
• Escalas:
x
 x  x* L
L
u
ui*  i  ui  ui*U
U
t
t* 
 t  t * L
U
L
U
x* 
 vi

 x
j





Replacing
* 
*

u
U * u
1 P U   ui 
z
U

uj

 2 *  *  g *
*
t
L
x
L xi L x j  x j 
xi
*
i
*
i
*
j
2
* 
*

L u
1 P
   ui  gL z
* u

uj


 *  2 *
2
*
* 
U t
x
U xi UL x j  x j  U xi
*
i
*
i
*
j
*
* 
*
*

ui*

u

u

P
1

1

z
*
i
i 


u




j
*
*
*
* 
* 
t
x j
xi R e x j  x j  Fr xi*
• The same non-dimensional geometry and the
same Reynolds and the same Froude
guarantee the same non-dimensional solution
Meaning of Reynolds and Froude
*
* 
*
*

ui*

u

u

P
1

1

z
*
i
i 


u




j
*
*
*
* 
* 
t
x j
xi R e x j  x j  Fr xi*
• Reynolds: Inertia forces/viscous forces
• Froude: Inertia forces/gravity forces.
• We can’t guarantee both numbers…..
• What to do?
What is the Froude Number?
• The Froude number is the square of the ratio
between the flow velocity and the velocity of a free
surface wave in a Free surface flow.
• The geometry is similar only if the free surface wave
velocity propagation is similar in the model and in
the prototype. So the Froude number must be the
same in the model and in the prototype.
• How to calculate the period of the waves in the
model and in the prototype (using the nondimensional time).
What is the Reynolds Number?
Reynolds: Inertia forces/viscous forces…
* 
*

u
P
1   ui  1 z
* u
uj
 * 

* 
* 
t
x
xi R e x j  x j  Fr xi*
*
i
*
*
i
*
j
*
• When it is high, the diffusive term becomes
less important in the equation and can be
neglected. Then the Reynolds number looses
importance (see next slide)
The ππ’s Theorem
• We can study a process with N independent
variables and M dimensions building (N-M)
non-dimensional groups.
• M Primary variables are chosen for building
one non-dimensional group using the
remaining variables.
• Primary variables must include all the problem
dimensions and it must be impossible to build
a non-dimensional group with them.
Shear stress in a pipe
• Shear stress depends on:
• Velocity gradient, fluid properties and pipe
material (roughness) . The velocity gradient
depends on the average velocity and pip+e
diameter. Fluid properties are the specific mass
and the viscosity.
• The variables involved are:
( w ,  , ,U , D,  )
• We have 3 dimensions are: Length, Mass, Time)
Primary Variables and nondimensional groups
•
•
•
•
•
We need 3 primary variables:
Mass: ρ
Length: D
Time: U
How to build the non-dimensional groups?
 
w
*
1 
1
1
 U L

*
    
 U L

*
    
 U L
2
3
2
2
3
3
1
  LT 
L   ML  LT  L
   ML  LT  L
1 
1
2
2  2
3
*
3  3
  U L
*
2
*

 1  31  1   1
 2   1
3  2
1  2
2
1  3
3
3  3
*
 LT 
 3 1
MLT L   ML
1  1
2
 3 1
1  1
MLT L   ML
   U L
*
*
2 2
w   U L
*
1  1
L 1
L 1
 f 
*
w
1
U 2
2
The 3 non dimensional groups are
f 
 
*
w
1
U 2
2

D

1
 

UD Re
*
3 groups can be represented in a X-Y graph with several
curves….
Equação de Bernoulli Generalizada
• É a equação que mais uso faz dos resultados
de laboratório e da análise adimensional.
1
1




2
2
P


V


gz

P


V


gz



  E
2
2

1 
2
• A energia dissipada em cada região do
escoamento pode ser adimensionalizada e
determinada a partir de ensaios de
laboratório.
Energy dissipation
En MLT 2 L
* 
 
E 


e

U
L
3
Vol
L
E
*
e    
 U L
E
*
e 
1
2
U
2
1
1




2
2
* 1
2
P


V


gz

P


V


gz

e

U




 2
2
2

1 
2
Coeficiente de perda de carga num
tubo
1
1




2
2
* 1
2
 P  V  gz    P  V  gz    e U
2
2
2

1 
2
P 1  P 2
1
 e
U 2
2
*
• Fazendo um balanço de força e de quantidade
de movimento:
P1  P2 
D 2
  wDL1 2
4
4 w L1 2
4 L1 2
1
P1  P2  

f
U 2
D
D
2
but :
1
P1  P2   e U 2
2
Then :
*
4 fL1 2
e 
D
or
*
'
f
L1 2
*
e 
D
• Ver sebenta (capítulo IV), White (capítulos 5 e 6)
Problemas
• Pretende-se ensaiar um submarino
construído para navegar a 20 nós utilizando
um modelo à escala de 1:100.
• a) determine a velocidade a que deve ser feito
o ensaio, se pretendermos garantir
semelhança dinâmica.
• b) determine a relação entre a potênica
consumida pelo modelo e pelo protótipo.
• C) como procederia para saber a que
velocidade poderia fazer o ensaio?
Resolução
• Se o submarino estiver submerso a uma
profundidade que já não faça ondas temos
que considerar semelhança de Reynolds.
Re M  Re P
 UD 
 UD 

  

  M   P
U M  100U P  2000nós  2000* 0.52m / s  1000m / s 
1000/ 1000km
 3600km / h
1 / 3600h
• Esta velocidade seria impossível de conseguir. …
• Se a conseguíssemos a potênica necessária seria
enorme
Potência
P P
*
M
*
P
PM
PP

F .U M F .U P
PM F .U M

PP F .U P
1
2 2
3
U M LM U
1  100
M
2




1
100
1
2 2 UP


U P LP
2
Como fazer?
• Ir ensaiando o modelo a vários Reynolds e
calculando a força adimensional:
F  CD 
*
F
1
2
U A
2
• O melhor submarino é aquele que tiver a
menor força de resistência adimensional.
• O Reynolds deixa de ser importante quando a
força adimensional ficar constante.
Problema
• Determinar a potência necessária para elevar
10 l/s de água a uma altura de 20 metros,
utilizando um tubo com 0.5 mm de
rugosidade 5 cm de diâmetro e 40 metros de
comprimento. Ignore o efeito das curvas e de
outros acidentes da instalação.
• Calcule o consumo de energia adicional se a
tubagem tivesse 10 curvas e uma válvula de
passagem.
Resolução (1/3)
• A Equação de Bernoulli faz balanços de energia por
unidade de volume (de massa ou de peso). Sabendo
a energia que temos à entrada, a que queremos ter
na saída e a que iremos dissipar na intalação
poderemos calcular a energia a fornecer.
• Para determinarmos a potência teremos que
multiplicar a energia por unidade de massa pela
massa por unidade de tempo.
• Se pretendessemos conhecer a energia a fornecer à
bomba, precisaríamos de conhecer o seu
rendimento.
Resolução (2/3)
• A pressão é a atmosférica à entrada e à saída. A
diferença de energia potencial são 20m e a energia
cinética é calculável conhecido o caudal e a secção
do tubo.
• A energia dissipada por atrito depende de Re e da
rugosidade relativa.
 4Q / D 2 D 4Q / D 2 D 4 * 0.01/  * 0.052 
6
Re 



5
*
10


106
 0.5
D

50
 0.01
Resolução (3/3)
4 f  0.02
2
2


1
4
*
0
.
01
1
4
*
0
.
01
L




  
0  0  gz1  gH   0   


gz
*
4
f


2
2

2

0
.
05
2
0
.
05
D





2
2
1  4 * 0.01 
L
H   z 2  z1  
1

4
f

 

2 g   0.052  
D
1
40 
1

H  20 
* 52 * 1  0.02 *
* 52 *17  42m
  20 
20
0.05 
20

• A potência seriam 4.1kW= 4.1/0.7hp=5.9hp
• As curvas têm tipicamente coeficientes de perda de carga de
0.6. Uma válvula de esfera tem um coeficiente quase nulo e
uma válvula de globo tem 0.6.
Problema
• Calcule a força de resistência ao avanço de um carro
com cx=0.33, com área frontal de 1.9*1.6 m2
quando se desloca a 120 e a 180km/h. Que hipótese
tivemos que fazer sobre a importância de Re para o
escoamento?
• Calcule a potência que o motor tem que fornecer em
cada uma das condições para vencer a resistência
aerodinâmica.
• Calcule a potência que o motor teria que fornecer se
o carro pesasse 1000kg e se pretendêssemos passar
de 120 para 180 km/h em 10 s.
Resolução (1/2)
• A força de resistência e as potências são:
1hp=0.735
kW1  120*1000
1
2
F  cx
U 2 A  0.33* *1.2 * 
2
F  670N  67kg

2
 *1.9 *1.6
3600 
 120*1000
P  670N * 
  22.3kW  32hp
3600


P180  P120* 180/ 120  73hp
2
• A força para acelerar o carro é dada pela lei de
Newton. Admitindo que a aceleração era
constante:
1000
(180 120) *
du
3600  1700N
F m
 1000
•
dt
10
i
i
Resolução (2/2)
• No momento em que o carro começa a
acelerar a potência seria: de 76 cavalos.
• Se a aceleração se mantivesse constante, ao
chegar aos 180 a potência seria de cerca de
100 cavalos.
• Se a isto adicionarmos os 73 da resistência
aerodinâmica e a resistência do atrito nos
pneus, percebemos porque é que só alguns
carros é que permitem grandes acelerações a
alta velocidade….