Conceitos fundamentais
Prof. Emerson Passos
1.
Espaço dos vetores de estado. Operadores lineares.
Representação de vetores de estado e operadores.
2.
Observáveis. Autovalores e autovetores de um observável.
Medida na Mecânica Quântica. Postulados. Relações de
incerteza. Mudança de base. Diagonalização. Observáveis
com espectro contínuo. Posição e momento. Função de
onda.
Espaço dos vetores de estado

O estado do sistema é representado por um vetor num espaço vetorial complexo,
munido de um produto escalar hermiteano. Vamos adotar a notação de Dirac:
Vetor de estado
a
→ “ket”, a rótulo identificador.

Dimensionalidade: é determinada pela natureza do sistema físico considerado.

Estrutura de espaço vetorial: estão definidas as operações de soma de vetores e
multiplicação de um vetor por um número complexo.
a) A soma de dois vetores a ,  é um terceiro vetor  ,
a    
é o vetor c a que satisfaz as propriedades:
que satisfaz as propriedades:
(a1) Associativa: a     
b) O produto de um vetor a por um número complexo c
a
 
 
(a2) Comutativa: a      a
(a3) Vetor Nulo  : a    a para qualquer a
(a4) Vetor Inverso: a  a   para todo a
(b1) Associativa:
(b2) Distributiva:
 c1c2  a  c1  c2 a 
 c1  c2  a  c1 a  c2
c a  
c a
a
c 
(b3) 1 a  a para qualquer a
Um vetor de estado contém todas as informações sobre o estado físico do sistema.

Produto Escalar Hermiteano: operação que associa a todo par de vetores |a> e
|> um número complexo que será indicado pelo símbolo (,a), satisfazendo as
propriedades:
(p1) a ,     a ,   a , 
(p2) a ,c   c a , 
(p3) a ,     , a 

(p4) a ,a  é real
0  a ,a   
a ,a   0 
a  
Consequência das propriedades: Linearidade do produto escalar com respeito ao
segundo argumento e antilinearidade com respeito ao primeiro argumento
a , c1  c2   c1 a ,    c2 a ,  
c1  c2 ,a   c1  ,a   c2  ,a 
Ortogonalidade: Dois vetoressão ortogonaisse a ,    0
Norma:
a
 a , a 
1/ 2
a ,a   1  vetorde estado normalizado

Se o espaço dos vetores de estado tem dimensão N, existe uma base de vetores
de estado dada por N vetores ortonormais,
 ,   
i
j
i, j  1,, N
ij
tal que qualquer vetor de estado pode ser escrito como:
N
a   a i i
i 1
Espaço Dual. “Bras”

Dado um espaço vetorial podemos definir funções lineares com valores complexos
a a
dos vetores do espaço,

Linearidade: a ca a  c 
c
a

aa
a a  c a 
a) Soma de funções lineares
b) Produto da função linear por um número complexo:
a a  a1 a  a2 a
(a1) Associativa: a1 a   a2 a  a3 a
a
1
ca a  c a a

(b1) Associativa:
a  a2 a   a3 a
(b2) Distributiva:
 c1c2  a a  c1  c2 a a 
 c1  c2  a a  c1 a a  c2
c  a1 a  a2 a
(a2) Comutativa: a1 a  a2 a  a2 a  a1 a
(a3) Função Nula:  a  0, para qualquer a
c
aa
a1 a  c a2 a
(b3) 1 a a  a a
(a4) Função Inversa: a a  a a =  a

Estrutura de espaço vetorial: Espaço Dual do espaço de partida.

Correspondência dual: A cada vetor |a> associamos uma função linear <a| tal que o
seu valor no vetor |> seja
a 

a   a ,  

Na notação de Dirac, um vetor do espaço dual é chamado de “bra”. Os produtos
escalares entre dois vetores do espaço vetorial aparecem como brackets
a 
bra  c  ket


Correspondência entre vetores do espaço vetorial e do espaço dual é tal que
a
DC
a
ca
DC
c a
ca a  c 
DC
ca a  c 
Dada uma base no espaço vetorial podemos achar uma base correspondente no
espaço dual:  n

DC
 
n
a  an n
DC
n
tal que
a  a n n
n
a   a nn  a ,  
n
Operadores Lineares

Ação de um operador linear num vetor do espaço vetorial transforma esse vetor em
outro vetor do mesmo espaço:
  Xˆ a
Linearidade :
Xˆ ca a  c    ca Xˆ a  c Xˆ 
b) Produto de operadores lineares
a) Soma de operadores lineares
 Xˆ  Yˆ  a
(a1) Comutativa: Xˆ  Yˆ  Yˆ  Xˆ

ˆ ˆ a
 XY
 Xˆ a  Yˆ a
 

 Xˆ Yˆ a

ˆ ˆ  YX
ˆˆ
(b1) Não-Comutativa (em geral): XY

(a2) Associativa: Xˆ  Yˆ  Zˆ  Xˆ  Yˆ  Zˆ  Xˆ  Yˆ  Zˆ
   
ˆ ˆ  XY
ˆ ˆ Zˆ
(b2) Associativa: Xˆ YZ

Representação de vetores de estado e operadores numa dada base:

n
, n  1, 2,
1) Vetores de estado são representados em termos de suas componentes nessa base:
a  a n n   n n a
n
a n  n a
n
an  n a  elementosda matrizcolunaque representao vetorde estado a na base n .
2) Um operador linear é representado em termos de uma matriz determinada através
da ação do operador em cada um dos elementos da base:
Xˆ n   m X mn   m m Xˆ n
m
X mn  m Xˆ n
m
X mn  m Xˆ n  elementosda matrizque representao operadorXˆ na base n .

Dado um operador Xˆ definimos o operador hermiteano conjugado, Xˆ † , através
da relação
a Xˆ    Xˆ † a

Representação numa dada base → matriz complexa conjugada da transposta da
matriz que representa Xˆ ,
 
X†
 n Xˆ † m  m Xˆ n
nm
Xˆ a
Correspondência dual →
Propriedades
 
  Xˆ  Yˆ 
 Xˆ †
†
 Xˆ
†

DC
 Xˆ †  Yˆ †


 X mn
a Xˆ †
   c Xˆ
ˆ ˆ   Yˆ Xˆ
  XY
 cXˆ
Operador Hermiteano: Xˆ  Xˆ †

Representação numa dada base → X nm  X mn

†
Operador Anti-hermiteano: Xˆ   Xˆ
†

†
†
†
†
Resolução da identidade

Operadores de projeção: Seja 
Definimos o operador:
Propriedades
um vetor de estado normalizado,    1 .
Pˆ   
a) Hermiteano: Pˆ†  Pˆ
b) Idempotente: Pˆ2  Pˆ
Qˆ   1ˆ  Pˆ  operador de projeção complementar à Pˆ
Pˆ  Qˆ   1ˆ
Pˆ Qˆ   Qˆ  Pˆ  0
Todo vetor de estado pode ser decomposto na soma de dois vetores ortogonais da forma:
a  Pˆ a  Qˆ  a

Se 
é tomado igual à um dos vetores de uma base ortonormal n :
Pˆn a  n n a
Em particular a expansão:
 Pˆ   
a   n n a   Pˆ a
n
n
n
n
n
n
n  1ˆ
n
relação de completeza

Vamos exemplificar como os operadores introduzidos e a notação de Dirac facilitam
os cálculos na MQ:
i) Expansão de um vetor de estado a em termos de suas componentes
na base n :


a    Pˆ  a   n n a

n
n

n
ii) Representação de um operador linear Xˆ na base n :

 

Xˆ    Pˆn  Xˆ   Pˆm    n n Xˆ m m   X nm n m
n,m
 n
  m
 n ,m
Mudança de Base

Duas bases distintas no espaço de vetores de estado:

i

 

i
ˆ ˆ †  1ˆ
Uˆ  operador unitário Uˆ †Uˆ  UU
 i  Uˆ i
 i    j  j Uˆ i    j U ji
j
j
U ji   j Uˆ i  matriz unitária que representa Uˆ na base  i


Dado um “ket” qualquer, como se relacionam os coeficientes da sua expansão nas
duas bases?
a   i i a
i
a   i i a
i
 i a  U ji  j a
 a    U †a  
j
a    matriz coluna que representa o vetor a na base   i
a    matriz coluna que representa o vetor a

na base   
i

Qual a relação entre as matrizes que representam um operador nas duas bases?
Xˆ   i i Xˆ  j  j
Xˆ    i  i Xˆ  j  j
i, j
i, j
 i Xˆ  j  Uki k Xˆ l Ulj
k ,l
X    U † X  U
X    matriz que representa o operador Xˆ na base   i  ,
X    matriz que representa o operador Xˆ na base  i  ,
U  matriz unitária que relaciona os vetores da base   i
os vetores da base  i  .
 com