Trigonometria
Fabio Licht
Um Pouco de História
(Relógios Solares)
• A história dos relógios de sol se mescla com
a do calendário e ambas com a da
astronomia e da geometria, e com a da
própria história do conhecimento humano.
• Hoje é instintivo para todos consultar um
relógio quando se quer medir o tempo,
contudo poucos conhecem como o
homem concebeu um sistema de medida
da passagem do tempo, e as diversas
evoluções deste até que chegássemos ao
modelo de horas em uso atualmente.
Um Pouco de História
(Relógios Solares)
• Acredita-se que a medição do tempo
tenha começado há cerca de 7.000
anos. Época na qual nossos ancestrais
conheciam apenas o dia e a noite,
ignorando completamente o
transcorrer das horas e,
principalmente, as suas divisões.
Século L – XXV A.C.
• O primeiro dispositivo para indicar as
frações do dia foi provavelmente o
gnômon, criado por volta de 5.000
A.C, que era, basicamente, um pilar
ou uma vareta cuja sombra projeta
pelo Sol fornecia uma indicação das
frações do dia.
• Os egípcios instituíram o primeiro
calendário anual com 365 dias.
Século XXV – XX A.C.
• Babilônios e Egípcios construíram
obeliscos cuja sombra projetada pelo
Sol se movia durante o transcorrer do
dia permitindo assim, que as pessoas
dividissem o dia em duas partes pela
indicação do meio dia.
Século XV A.C.
• O mais antigo relógio de sol conhecido foi construído
por volta de 1500 AC no Egito, na época de Tutmés
III (1501-1448 AC).
• Feito em pedra, na forma de um T, com uns 30 cm,
suportando uma outra peça de mesmo
comprimento e perpendicular.
• As linhas de hora eram marcadas na pedra a
intervalos regulares.
• O T era voltado para o Leste na parte da manhã e a
oeste na tarde.
• A posição da sombra da parte superior do T indicava
a hora.
• Este dispositivo encontra-se exposto no Museu de
Berlim.
O Mais Antigo Relógio
•
Relógio de Sol Egípsio
Stonehenge
• A disposição das pedras de
Stonehenge assume a
configuração que ainda
podemos ver atualmente.
Stonehenge é um monumento
megalítico na Inglaterra que,
até onde se sabe, tinha por
objetivo identificar as épocas
do ano, pois há alinhamentos
de pedras que coincidem
exatamente com o nascer e o
por do sol no início do verão e
do inverno.
Modelo de Relógio de Sol
Pensamento…
• "Não esconda os seus talentos.
• Para o uso eles foram feitos.
• O que é um relógio de sol na
sombra?" (Benjamin Franklin)
O princípio do relógio de sol supõe uma divisão
da inclinação da sombra em intervalos de 15º
Triângulos retângulos com ângulos notáveis
(“triângulos das horas”)
1
15o
30o
45o
60o
75o
Vamos calcular a relação entre os lados desses triângulos?
Cada ângulo notável pode ser associado
a uma hora do dia
o
15
As divisões em
assinalam
os valores notáveis de ângulos
90o
75o
60o
45o
30o
15o
0o
Dividido em 24 partes, cada uma com
15o, pode representar as horas do dia
15o
15o
15o
15o
15o
15o
Os 360o possuem diversas
divisões interessantes
30o
30o
30o
O círculo trigonométricos foi dividido em 360 partes
(graus) seguindo a notação sexagesimal babilônia
60o
60o
60o
60o
60o
60o
Círculo trigonométrico grego, com raio
constante (60, base das frações sexagesimais)
60
60
60
60
60
60
60
60
Ptolomeu de Alexandria (c. 85 – 165)
Círculo trigonométrico, tábua de senos
Círculo trigonométrico de Ptolomeu, com raio
constante (60, base das frações sexagesimais)
60
60
60
60
60
60
60
60
Círculo trigonométrico de Ptolomeu, com raio
constante (60, base das frações sexagesimais)
60
60
60
60
60
60
60
60
O círculo trigonométrico posteriormente
passou a ter raio unitário
1
1
1
1
1
1
1
1
Foram os gregos que generalizaram o
conhecimento egípcio
Seno
O seno é uma função trigonométrica.
Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos
igual a
, define-se
cateto oposto a
como sendo a razão entre o
e a hipotenusa deste triângulo.
cateto.oposto
sen (q ) =
hipotenusa
Para os gregos não haviam razões
trigonométricas, mas linhas trigonométricas
1
sen 

Havia apenas o seno, o cosseno era apenas o seno
do ângulo complementar (não tinha nome próprio)
1

sen 

sen 
A palavra cosseno vem de complementi sinus
(seno do ângulo complementar)
1

sen 

cos 
Seno e cosseno não eram razões entre lados, mas
comprimentos de segmentos de reta, aplicáveis
aos demais triângulos por semelhança

a
1

b

cos 

c
sen  = b/a
cos  = c/a
sen 
Tangente se refere à reta que apenas
toca (tange) o círculo
tan 

1
Cotangente também vem de tangente do
ângulo complementar


a
b
tan 


c
1
tan  = b/c
tan  = cotan  = c/b
Ptolomeu consolidou o uso de diversas
propriedades já descobertas pelos gregos
relacionadas aos círculos
O ângulo central é o dobro dos ângulos
inscritos na circunferência que contenham o
mesmo arco.
A demonstração vem de colocar um dos lados
do ângulo inscrito sobre o diâmetro da
circunferência.
Ptolomeu utilizou esses fatos simples para desenvolver e
consolidar a trigonometria. Em sua obra Almagesto (do árabe Almajisti, “O Grande). O nome original da obra era “Coleção
Matemática” e possuia 13 volumes. Os comentadores
distinguiram a obra de Ptolomeu em “Pequena Astronomia”, e os
livro do Almagesto foram chamados de “A Grande Coleção).
Nessa obra encontramos o famoso Teorema de Ptolomeu:
Em um quadrilátero
inscrito em um círculo,
de lados a, b, c e d e
diagonais x e y, vale a
fórmula ac + bd = xy.
Para demonstrar esse fato Ptolomeu considera que
existem diversos ângulos congruentes por conterem
o mesmo arco da circunferência:
Agora tomamos o ponto
E na diagonal AC de
modo que os ângulos
ABE e DBC sejam
congruentes (mesma
forma e ângulo).
Temos então que
são semelhantes
os triângulos ABE e
CDB.
Ptolomeu utilizou seu Teorema para construir sua
Tábua de Cordas, que podem ser lidas como
Tábuas de Senos
Ptolomeu colocou o
lado d do quadrilátero
sobre o diâmetro da
circunferência.
Os triângulos ABD
e ACD são
retângulos em B e
C.
Ptolomeu utilizou seu Teorema para construir sua
Tábua de Cordas, que podem ser lidas como
Tábuas de Senos
Observe também que
o triângulo BCF é
retângulo em B.
O Angulo F é
congruente ao ângulo
BAC que vale BADCAD
Outras propriedades simples dos ângulos podem ser
utilizadas para construir as demais Fórmulas de Ptolomeu
sen(-x) = -senx
cos(-x) = cosx
Outras propriedades simples dos ângulos podem ser
utilizadas para construir as demais Fórmulas de Ptolomeu
sen(x+90) = cosx
cos(x+90) = -senx
Esses resultados possuem uma grande aplicação prática,
principalmente para o cálculo de distâncias
Um aplicação do Teorema dos Senos para o Cálculo
de Distâncias inacessíveis
A Trigonometria adquirirá posteriormente uma dimensão
jamais sonhada pelos gregos. Servirá para dar forma e vida
aos números mais estranhos e úteis do planeta: os Números
Complexos.
1
sen 

cos 
Os Números Complexos passarão a ser representados no plano
que virá a ser conhecido como Plano de Argand-Gauss.
Im(z)
b
r
sen 

cos 
a
Z = a + bi = r(cos + isen)
Re(z)
Sen a = cateto oposto
hipotenusa
Cos a = cateto adjacente
hipotenusa
Cateto oposto
Revisando...
Razões trigonométricas
a
Cateto adjacente
tan a = cateto oposto
cateto adjacente
Determinar as razões trigonométricas
Sen a = 9 =0,6
15
cos a = 12 =0,8
15
tan a = 9 =0,75
12
9 cm
Exemplo:
15cm
a
a = 36,87
12 cm
Determinação da amplitude de um ângulo
sen a = cateto oposto = 3 = 0,5
hipotenusa 6
3 cm
Exemplo:
a
a = sen-1(0,5) = 30º
Determinação da amplitude de um ângulo
tan a = cateto oposto = 12 = 2,4
cateto adjacente
5
12 cm
Exemplo:
a
a = tan-1(2,4) = 67,38º
5 cm
Determinação da amplitude de um ângulo
Exemplo:
cos a = cateto adjacente = 6 = 0,6
hipotenusa
10
10 cm
a
a = cos-1(2,4) = 53,13º
6 cm
Determinação de distâncias
Decolagem do Avião
Determine
a
distância
(d)
percorrida na horizontal, e a altura
(a) atingida pelo avião 5 segundos
após a descolagem.
Resolução:
Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) :
O que é dado:
O que desejamos saber:
ângulo = 20o
1. A distância percorrida na
horizontal (d)
hipotenusa= 400 m
2. A altura atingida (a)
A distancia percorrida da horizontal (d)
Cálculo do cateto adjacente (d)
Co-seno
comprimento do cateto adjacente ao ângulo 20
cos 20 
comprimento da hipotenusa
d
0,94 

400
 d  0,94  400 
 d  376m
A altura atingida (a)
Cálculo do cateto oposto (a)
Qual a razão trigonométrica que
relaciona o cateto oposto com a
hipotenusa?
seno
comprimento do cateto oposto ao ângulo 20
sen20 
comprimento da hipotenusa
a
0,34 

400
 a  0,34  400 
 a  136m
Resolução de problemas usando a trigonometria
O que é dado:
Cateto oposto =80 cm
x
10º
80 cm
ângulo = 10º
O que precisa saber:
hipotenusa
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?
seno
comprimento do cateto oposto ao ângulo 10º
sen10º 
comprimento da hipotenusa
80
80
sen10º 
 0,174
x
x
80
x
 x 459, 77cm
X = 4,6 m
0,174
Resolva o seguinte triângulo retângulo
A
4 cm
B
Determinar os ângulos desconhecidos:
ˆ = 90º
ABC
4
senx   senx  0,571
7
ˆ =180º-35º-90º=55º
CAB
7 cm
x
X = 35º
C
Determinar o lado desconhecido:
AB  4cm
AC  7cm
BC
cos 35º 
 BC  cos 35º 7 
7
 BC 0,819  7  BC 5,733cm
Relação entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo
C
Dado o triângulo [ABC], sabemos por
definição que:
c
b
B
a

a
cos=
c
b
sen=
c
A
b
tg =
a
Vamos calcular o seguinte quociente:
sen 
=
cos 
b c
b =
= ×
=
c a
a
Conclusão:
sen 
 tg
cos 
Relação entre o seno e o co-seno do mesmo ângulo
C
Vamos calcular
sen 2  cos 2
 sen   cos 
2
2
Escrita
simplificada
b2 + a2
=
c2
c2
= 2
c
1
b
B
b a
= 2+ 2
c c
2
2
c
a
b
sen=
c
Portanto:
Pelo Teorema de
Pitágoras:
b2 + a2 = c2

A
a
cos=
c
sen2  cos2   1
Fórmula fundamental da
trigonometria
Exercício
Seja sen  = 0,6 e  um ângulo agudo, determina tg .
Resolução:
Determinação do co-seno
Determinação da tangente
sen2  cos2   1
0,6  cos   1
cos2   1  0,62
2
2
cos2   0,64
cos   0,64
cos  0,8
Como cos  é positivo, vem
cos  0,8
Sabemos que:
sen  0,6
cos  0,8
Então:
sen  0,6
 0,75

tg 
cos  0,8
Resposta: tg  =0,75
Resumindo...
Ângulos Obtusos
• Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo
ângulos obtusos utilizamos as seguintes definições:
sen x = sen (180º – x)
cos x = – cos (180º – x)
Exemplo
Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º.
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = –
0,5000
No triângulo retângulo da figura abaixo,
determine as medidas de x e y indicadas
(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg
65° = 2,14)
cos 65° = y / 9
0,42 * 9 = y
y = 3,78
sen 65° = x /9
0,91 * 9 = x
x = 8,19
b) Considerando o triângulo retângulo
ABC da figura, determine as medidas a e
b indicadas. (Sen 60° = 0,866)
sen 60° =
/a
0,866 . a = 20,78
a = 24
cos 60° = b / 24
0,5 ∗ 24 = b
b = 12
Faça os
exercícios
propostos