Profª Débora Bastos
Integrais por substituições
trigonométricas.
É impossível ver numa disciplina de cálculo TODOS os métodos de
resolução de integrais. Hoje estudaremos as substituições
trigonométricas para incrementar nossa gama em resolver integrais.
A substituição trigonométrica é um artifício para resolver integrais
com radicais, por exemplo:
a2  x2
x2  a2
x2  a2
Nos quais a é uma constante POSITIVA e que não tenhamos no nosso
formulário.
Nos casos de radicais com subtração podemos substituir x por
x=a.sin 
 /2 <  < /2
dx=a.cosd
Ou
x=a.cos 
0 <  < 2
dx=a.sind
E daí a relação: sen2+cos2=1
Substituições Trigonométricas
 Fazendo a substituição:
 x=a.sin   /2 <  < /2
a2  x2 
a2  a2 sin2  
dx=a.cosd

a2 1  sin2 


 a cos2   a cos   a cos 
 Aqui podemos considerar  no intervalo inicial, pois
a2 – x2 também deve ser positivo para a raiz existir,
então o intervalo está compatível com o problema e só
assim podemos considerar que o módulo é o próprio
cosseno, pois está considerando só argumentos que o
resultado é positivo.
Substituições Trigonométricas
 Radicais com subtração fazemos a substituição:
 x=a.sin   /2 <  < /2
dx=a.cosd
a2  x2  a cos 
Exemplo:
1 
1

4


dx
x2 4  x 2
d
1


2
4
cos 
2 cos d
 2 cos2   2 cos 


2
cos sec d  
 4  x2  / 2
cos 


cot g 


sen
x/2
4  x
x
2

1
 cot g  k 
4
1
 

4
4  x2
x
 k
Substituições Trigonométricas
 Radicais com adição fazemos a substituição:
 x=a.tg  0 <  < /2
dx=a. sec2d
 E daí a relação tg2 +1 = sec2
x 2  a2 
a2tg2  a2

a2(tg2  1) 
 a sec2   a sec   a sec 
Exemplo:
2 
(
x3dx
x2  9 )3
x2  9 

x=3tg
dx = 3sec2
(3tg)2  9 


9 tg2  1
 3 sec 
Substituições Trigonométricas
Exemplo:
(
2 


x
3
 9)


sen3d
(3 sec )3
2
cos 
send
cos2 

3

x2  9  3 sec 
x2  9
x=3tg
dx = 3sec2

27tg3  3 sec2 d
 3
 3
cos  
x3dx
2
3

 3
sen2
2
cos 
 3 send 
tg3d
 3
sec 


 send  3
sen3
cos3 

d

sec 
1  cos2   send
2
cos 

3
 3 cos   3 sec   3 cos   k
cos 
  x²  9 
9
x²  9
 k
Exemplos:
 udv
Resolva as integrais 1 e 2 por partes:
1 
2
 arcsin xdx
xex
 (1  x)2
 u  v 
RtA  x arcsin x 
R
dx
ta
 vdu
1  x2  k
ex

 k
1  x
Demonstre as fórmulas 19 e 25 pelo método da substituição trigonométrica, ou seja:
19 

dv
a2  v 2
v
 arcsin   k
a
a  0
25 

a  0
dv
v 2  a2

1
ln v 

2a
v 2  a2   k
