Mecânica – Aula 3
Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Vetor Posição (1)

Para descrever o movimento de uma
partícula no espaço é
necessário
inicialmente descrever a posição da mesma.

Consideremos uma partícula que está em
um ponto P em um dado instante.

O vetor posição 𝑟 da partícula neste
instante é um vetor que vai da origem do
sistema de coordenadas até o ponto P.
2
Vetor Posição (2)

As coordenadas cartesianas do ponto P são
as componentes x, y e z do vetor.Assim:
𝑟 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
3
Vetor Posição (3)

Vamos supor agora que a partícula esteja
em movimento.

O vetor posição passa a ser então uma
função do tempo, que descreve o
movimento da partícula:
𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝒊 + 𝑦(𝑡)𝒋 + 𝑧(𝑡)𝒌
4
Vetor Posição (4)
Se o ponto inicial do
vetor posição permanece
fixo na origem do sistema
de eixos coordenados, o
ponto final vai traçando
uma curva, que é a
trajetória da partícula.
 Ao lado, temos vetores
posição de uma partícula
em
três
instantes
diferentes
e
temos
também a trajetória da
partícula.

5
Vetor Deslocamento (1)
Consideremos
uma
partícula que, em seu
movimento, passe por um
ponto P1 e depois por um
ponto P2, como se vê ao
lado.
 O vetor deslocamento da
partícula, de P1 até P2 , é o
vetor definido pela seta
com ponto inicial em P1 e
ponto final em P2.
 O vetor deslocamento Δ𝒓
da posição P1 até P2 é igual
à diferença entre o vetor
posição 𝑟2 e o vetor
posição 𝑟1 :

∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1
6
Vetor Deslocamento (2)

Dados dois vetores posição:
𝑟1 = 𝑥1 𝒊 + 𝑦1 𝒋 + 𝑧1 𝒌 e
𝑟2 = 𝑥2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑧2 𝒌
então, em termos das componentes desses vetores,
o vetor deslocamento é escrito como:
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1
∆𝑟 = 𝑥2 − 𝑥1 𝒊 + 𝑦2 − 𝑦1 𝒋 + 𝑧2 − 𝑧1 𝒌
∆𝑟 = ∆𝑥𝒊 + ∆𝑦𝒋 + ∆𝑧𝒌
ou seja, o vetor deslocamento é a soma dos vetores
deslocamentos nas direções dos eixos OX, OY, OZ.
7
Vetor Velocidade Média (1)

A razão entre o deslocamento vetorial e o tempo
gasto para realizá-lo é chamada de velocidade
vetorial média (ou vetor velocidade média) da
partícula no intervalo de tempo em que ocorreu o
deslocamento:
𝑟2 − 𝑟1 ∆𝑟
𝑣𝑚 =
=
𝑡2 − 𝑡1 ∆𝑡

Deve-se notar que o vetor velocidade média é o
produto de um número sempre positivo (1/t)
pelo vetor deslocamento ∆𝑟. Portanto, é um vetor
com a mesma direção e sentido de ∆𝑟.
8
Vetor Velocidade Instantânea (1)

A velocidade instantânea é definida como o limite
da velocidade média quando o intervalo de tempo
tende a zero, sendo igual à taxa de variação do
vetor posição com o tempo:
∆𝑟 𝑑 𝑟
𝑣 = lim
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
9
Vetor Velocidade Instantânea (2)
No limite em que Δt → 0 , o ponto P’ tende para o ponto P
e a reta secante que passa por P e P’ tende para a reta
tangente à trajetória no ponto P.
 Portanto, nesse limite, a velocidade instantânea tem a
direção da reta tangente à trajetória no ponto P, isto é, o
vetor velocidade instantânea é sempre tangente à
trajetória no ponto em que a partícula se encontra.

10
Vetor Velocidade Instantânea (3)

O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à
trajetória no ponto em que a partícula se encontra.

Nesta figura temos indicada a velocidade instantânea com que a
partícula passa por vários pontos de sua trajetória.
11
Vetor Velocidade Instantânea (4)

A velocidade instantânea pode ser escrita em
termos de suas componentes como:
𝑑𝑟 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑣=
=
𝒊+
𝒋+ 𝒌
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

Assim:
𝑑𝑥
𝑣𝑥 =
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑣𝑦 =
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑣𝑧 =
𝑑𝑡
12
Velocidade Escalar (1)

O módulo da velocidade instantânea, isto é, a
velocidade escalar, é dada pelo Teorema de
Pitágoras:
𝑣 =

(𝑣𝑥 )2 + (𝑣𝑦 )2 + (𝑣𝑧 )2
Se a partícula estiver se movendo no plano, então
o vetor posição e o vetor velocidade têm apenas
dois componentes (z e vz são nulos) e então:
𝑣 =
(𝑣𝑥 )2 + (𝑣𝑦 )2
13
Vetor Aceleração (1)
Uma vez que a velocidade de uma partícula é uma
grandeza vetorial, ela possui, em cada instante, um
módulo, uma direção e um sentido.
 Basta que apenas uma entre essas três quantidades
varie com o passar do tempo para que a
velocidade varie com o tempo.
 No caso particular em que o módulo da
velocidade permanece constante, dizemos
que ela se move num movimento uniforme.
 Entretanto, um movimento uniforme não é
necessariamente retilíneo, como, por exemplo, o
movimento circular uniforme.

14
Vetor Aceleração (2)

Analogamente ao caso do movimento retilíneo, a
aceleração indica como a velocidade de uma
partícula está variando.

Porém, agora, vamos generalizar o conceito de
aceleração para incluir tanto:
◦ Variações do módulo da velocidade (isto é, da velocidade
escalar), como...
◦ Variações da direção da velocidade (isto é, da direção e
do sentido do movimento no espaço).
15
Vetor Aceleração Média (1)

Suponha que em um instante t1 uma partícula
esteja na posição r(t1) com velocidade v(t1) e, em
um instante posterior t2, ela esteja na posição r(t2)
com velocidade v(t2).
16
Vetor Aceleração Média (2)

A razão entre a variação da velocidade vetorial da partícula
e o tempo gasto para ocorrer tal variação é chamada de
aceleração vetorial média (ou vetor aceleração média)
da partícula no intervalo de tempo[t1, t2]:
𝑎𝑚
𝑣2 − 𝑣1 ∆𝑣
=
=
𝑡2 − 𝑡1
∆𝑡
17
Vetor Aceleração Média (3)

A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a
mesma direção e sentido do vetor ∆𝑣:
𝑣1
∆𝑣
𝑣2
18
Vetor Aceleração Instantânea (1)

Como no movimento retilíneo, a aceleração
instantânea 𝑎 no ponto P1 é o limite da aceleração
média quando o ponto P2 se aproxima do ponto P1
e t tende a zero:
∆𝑣 𝑑 𝑣
𝑎 = lim
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡

A aceleração instantânea é, assim, a taxa de
variação da velocidade com o tempo.
19
Vetor Aceleração Instantânea (2)

A aceleração instantânea pode ser escrita em
termos de suas componentes como:
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑣 𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑧
𝑎=
=
𝒊+
𝒋+
𝒌
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

Assim:
𝑑𝑣𝑥 𝑑2 𝑥
𝑎𝑥 =
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦 𝑑2 𝑦
𝑎𝑦 =
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑧 𝑑2 𝑧
𝑎𝑧 =
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
20
Componentes da Aceleração Vetorial
Instantânea (1)

A aceleração vetorial, em um determinado ponto
de uma trajetória, pode sempre ser expressa como
a soma de duas componentes:
◦ Uma denominada aceleração tangencial,
sempre tangente à trajetória, responsável pela
variação do módulo do vetor velocidade.
◦ Outra, perpendicular à trajetória, chamada de
aceleração centrípeta, responsável pela
variação da direção do vetor velocidade.
21
Componentes da Aceleração Vetorial
Instantânea (2)
Características da componente tangencial da
aceleração
 Mede a rapidez com que o módulo do vetor
velocidade varia.
 Direção sempre tangente à trajetória.
 Sentido igual ao do vetor velocidade se o
movimento for acelerado; se o movimento for
retardado, o sentido é contrário ao do vetor
velocidade.
 Tem módulo nulo nos movimentos uniformes.
22
Componentes da Aceleração Vetorial
Instantânea (3)
Características da componente centrípeta da
aceleração
 Mede a rapidez com que a direção do vetor
velocidade varia.
 Possui direção radial e aponta sempre para o
centro da trajetória.
 Possui módulo dado por acp = v2/R, em que v é a
velocidade instantânea e R é o raio da trajetória
descrita pelo móvel.
 Nos movimentos retilíneos, a direção do vetor
velocidade não varia, portanto a aceleração
centrípeta é nula.
23
Componentes da Aceleração Vetorial
Instantânea (4)
Determinando o vetor aceleração

As
componentes
tangencial
e
centrípeta
são
perpendiculares entre si. Sendo assim, podemos fazer uso
do Teorema de Pitágoras para escrever:
24
Componentes da Aceleração Vetorial
Instantânea (5)
Tipo de Movimento
Acelerações
MU
at = 0, acp = 0
MUV
at  0, acp = 0
MCU
at = 0, acp  0
MCUV
at  0, acp  0
25
Movimento Circular Uniforme (1)




Na figura acima temos um MCU definido por um círculo de raio r.
Colocamos a origem do eixo de coordenadas no centro do círculo.
Assim, a posição instantânea P da partícula é dada pelo vetor 𝑟 = 𝑂𝑃.
Definido o eixo de coordenadas, podemos decompor o vetor 𝑟 em
termos dos vetores unitários i e j como:
𝑟 = rcosθ i + rsinθ j
26
Movimento Circular Uniforme (2)
Como o raio é fixo, a posição instantânea da
partícula é definida por apenas uma variável: o
ângulo θ entre o eixo x e o vetor deslocamento
𝑟 = 𝑂𝑃.
 Como a posição da partícula está variando com o
tempo e é determinada pelo ângulo θ, este ângulo
é uma função do tempo, θ(t).
 Analogamente ao MRU, podemos escrever:
θ(t) = θ0 + (t-t0)
aonde:  = dθ/dt é a velocidade angular do
movimento.

27
Movimento Circular Uniforme (3)

No SI, ângulos são medidos em radianos (rad) e a
velocidade angular é expressa em unidade de rad/s.
Definição de Radiano
Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo
por um arco de circunferência com o mesmo
comprimento que o raio do referido círculo.
Radiano: os comprimentos das
linhas azul e vermelha são iguais.
28
Movimento Circular Uniforme (4)
Assim, com o ângulo θ medido em radianos,
podemos escrever:
s(t) = r θ(t)
aonde s(t) nos fornece o comprimento do trajeto
percorrido pela partícula durante um dado intervalo
de tempo.
 Derivando esta equação de ambos os lados com
relação a t, obtemos:
ds
dθ
=r
dt
dt

v = r
29
Movimento Circular Uniforme (5)

A equação:
v = r
nos diz que, em um disco em rotação uniforme (por
exemplo, um disco de vinil numa vitrola), a
velocidade tangencial cresce linearmente com a
distância ao centro, sendo nula no centro e máxima
na periferia.
30
Movimento Circular Uniforme (6)
Outra característica importante de um MCU é
que este é periódico.
 O período T do movimento é definido como o
tempo que uma partícula leva para percorrer uma
volta completa ao redor do círculo.
 Como a partícula se move com o módulo da
velocidade constante v, o tempo total para
percorrer o círculo de perímetro 2π r é:

2𝜋𝑟
𝑇=
𝑣
31
Movimento Circular Uniforme (7)
O inverso do período chama-se
frequência, definida como:
1
𝑓=
𝑇
 A frequência nos fornece o número
de rotações por unidade de tempo.
 No SI, a unidade de período é o
segundo, e a unidade de frequência é o
inverso do segundo, s–1.
 Essa unidade é conhecida como hertz
(Hz), em homenagem a Heinrich
Rudolf Hertz.
 Uma outra unidade de frequência
muito utilizada é a rpm (revoluções
por minuto).

Heinrich
Rudolf
Hertz
(Hamburgo, 22/Fev/1857
Bonn, 1/Jan/1894), ilustre físico
alemão,
demonstrou
a
existência
da
radiação
eletromagnética,
criando
aparelhos
emissores
e
detetores de ondas de rádio.
Pôs em evidência, em 1888, a
existência
das
ondas
eletromagnéticas
imaginadas
por James Maxwell em 1873.
32
Movimento Circular Uniforme (8)

Podemos escrever a velocidade angular em termos
do período e da frequência, portanto, como:
2𝜋
𝜔=
= 2𝜋𝑓
𝑇
33
Movimento Circular Uniforme (9)

No movimento em 2 ou 3 dimensões a definição
de aceleração instantânea nos diz que pode existir
aceleração diferente de zero quando houver
qualquer variação do vetor velocidade incluindo:
◦ Apenas variação da direção deste vetor, sem variação da
velocidade escalar.

Isto é o que ocorre no MCU: Embora o módulo da
velocidade escalar não varie, a sua direção varia. E
se há variação de velocidade, há aceleração.
34
Movimento Circular Uniforme (10)

Isto significa que a aceleração não pode ter
nenhuma componente paralela (tangencial) à
trajetória, pois se tivesse, a velocidade escalar seria
variável. Logo:
𝑎𝑇 = 0

Portanto, a aceleração possui apenas uma
componente perpendicular à trajetória,
responsável por produzir uma variação na direção
da velocidade.
35
Movimento Circular Uniforme (11)



A esta componente, denominamos aceleração
centrípeta (do grego: que se dirige para o centro). Ela é
dada por:
𝑣2
𝑎𝐶 =
𝑟
Observamos que, sendo constante o raio da revolução,
a aceleração é proporcional ao quadrado da
velocidade e, para uma dada velocidade, a aceleração é
inversamente proporcional ao raio.
Observe que o valor de aC é proporcional ao
quadrado da velocidade e inversamente proporcional
ao raio da circunferência. Portanto, se um automóvel
faz uma curva “fechada” (r pequeno) com grande
velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta.
36
Movimento Circular Uniforme (12)
Se fizermos girar uma pedra presa a um fio, sentiremos
nitidamente o esforço muscular que este exercício requer. Isto
poderia causar alguma admiração: a pedra não está se
deslocando com velocidade constante?
 O fato é que isso não é verdade. A pedra gira com uma
velocidade cujo módulo permanece constante, mas a variação
contínua da direção dessa velocidade torna o movimento
do tipo ‘acelerado’.
 O esforço que sentimos é aquele necessário para desviar
a pedra da trajetória retilínea que ela tende a tomar, por
inércia. Estamos, ao gira-la, dando constantes ‘puxões’ para
dentro da curva. É disso que vem a necessidade da aceleração
V2/r que calculamos.
 Segundo a lei de Newton, a força deve ter a mesma orientação
que a aceleração. Como nossos ‘puxões’ são ‘para dentro
da curva’, mais uma vez concluímos que essa aceleração
é radial e tem um sentido apontando para o centro da
curva.

37
Movimento Circular Uniforme (13)
38
Movimento Circular Uniforme - Aplicações(1)
• Navegam
em
órbita
equatorial, a 36 mil km de
altitude,
com
rotação
completa a cada 24 horas.
• Visto do solo, parecem estar
fixos sobre certo ponto.
• São usados em transmissões
de comunicação e de dados.
• Serviços de satélites também
servem para previsão do
tempo, monitoramento da
ocupação urbana, fiscalização
ambiental, controle do espaço
aéreo, vigilância de fronteira e
sistemas de navegação civil e
militar.
http://www.aereo.jor.br/2013/11/29/contrato-de-13-bi-para-o-projeto-do-satelite-geoestacionario-de-defesa-e-comunicacoes-estrategicas/ 39
Movimento Circular Uniforme - Aplicações(2)

Para ser estacionário em relação à Terra, o satélite
deve ter a mesma velocidade angular desta:
2𝜋
2𝜋
𝜋
𝜔=
=
𝜔 =
𝑟𝑎𝑑/ℎ
𝑇
24ℎ
12

O conjunto de satélites geoestacionários
brasileiros chama-se Brasilsat, sendo operados
pela Star One, que é uma subsidiária da Embratel.
40
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (1)
É possível efetuar a transmissão de movimento
circular uniforme entre duas rodas, dois discos ou
duas polias empregando dois procedimentos básicos:
a) Ligando-os por uma correia ou corrente.
b) Colocando-os em contato, através de engrenagens.


Isto é de grande utilidade na construção de aparelhos
ou veículos, como relógios, bicicletas, automóveis, etc.
41
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (2)

Na transmissão por contato há inversão no
sentido do movimento,
ao passo que na
transmissão por correia, isto não ocorre.
42
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (3)

Em ambas as situações, as velocidades lineares dos pontos
periféricos das duas rodas, têm o mesmo módulo. Assim,
considerando-se os pontos A e B destacados nas duas figuras, temse:
Obs: No caso das polias ligadas por correias pressupõe-se a situação
ideal em que a correia é inelástica e não há escorregamento entre os
corpos das polias e a correia.
43
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (4)
Exemplo:
Se trabalhamos com polias de raios de 25 cm e 5 cm
respectivamente, quantas rotações por minuto conseguiríamos
obter na polia B, se a polia maior (A) girar a 1000 rpm?
Resolução:
fa . Ra = fb . Rb
1000 . 25 = fb . 5
fb = 5000 rpm


Observe que é possível projetar sistemas que reduzam ou
ampliem o número de rotações utilizando as polias (ou as
engrenagens).
É isso que acontece em inúmeras aplicações tecnológicas.
44
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (5)
As mudanças de marcha de uma bicicleta são feitas por meio
de um sistema de transmissão constituído de pedais, coroas,
catracas e corrente.
 As coroas são acionadas pelos pedais e as catracas estão
acopladas à roda traseira.
 Assim, uma bicicleta com várias marchas é uma bicicleta
dotada de várias catracas e coroas, sendo que cada uma das
coroas pode ser ligada a cada uma das catracas,
proporcionando, assim, combinações diferentes.

45
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (6)
Na figura, tem-se 2 coroas e 5 catracas.
 Cada coroa pode ser ligada a uma catraca,
resultando em 2 X 5 = 10 possibilidades.


Cada uma dessas possibilidades constitui uma
marcha da bicicleta. A mudança de marchas é feita
por meio de alavancas existentes no guidão da
bicicleta.
46
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (7)
Consideremos a coroa de raio Rco girando com velocidade
angular co. A catraca a ela ligada, de raio Rca, adquire velocidade
angular ca.Tem-se:
  Rco
co Rco= ca Rca  ca= co
Rca
 Dessa relação, deve-se notar que, para que a bicicleta se desloque
com a maior velocidade possível, ou seja, para que a velocidade
angular da catraca (e, portanto, da roda traseira), ca, tenha o
maior valor possível, devemos ligar a catraca de menor raio (Rca) à
coroa de maior raio (Rco).
 Inversamente, a marcha de menor velocidade é obtida ligando-se a
catraca de maior raio à coroa de menor raio.
47

Acoplamentos de Polias e Engrenagens (8)
As engrenagens têm ampla aplicação
na indústria mecânica.
 São discos dentados que podem ser
feitos de diversos metais ou ligas
resistentes (para serviços mais pesados,
como máquinas, câmbios e motores) ou
de plástico (para usos mais leves, como
em relógios de parede, por exemplo).
 Por
meio
da
combinação
de
engrenagens
de
diferentes
características, é possível transmitir
movimentos e ampliar ou reduzir
forças.

48
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (9)

1.
2.
Há 5
tipos distintos
de
engrenagens que atuam para cada
necessidade:
Cilíndricas Retas: Dentes paralelos aos
eixos de rotação. Muito utilizadas na
Cilíndrica Reta
transmissão entre eixos paralelos. São as mais
baratas.
Cilíndricas Helicoidais: Também são
produzidas na forma cilíndrica, porém os seus
dentes são dispostos de modo transversal e
em maneira de hélice em relação ao eixo de
Cilíndrica Helicoidal
transmissão. Além de poderem ser usadas
paralelamente à outra engrenagem, podem
também ser usadas em quaisquer outras
angulações. Normalmente dispõem-se em 60°
ou 90º.
49
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (10)
3.
4.
Cônicas: Seu nome é explicado pela
sua forma, que é um tronco de cone.
Com uma estrutura inclinada, pode fazer
a transmissão entre eixos que estejam a
90º de inclinação. Seus dentes são de
formato também cônico, o que torna a
sua fabricação um tanto quando
complicada e dificulta sua montagem.
Parafuso sem fim: Nesta engrenagem
o movimento circular gerado pelo
parafuso, movimenta uma coroa ou um
pinhão teoricamente sem fim, pois ao
contrário de mover a contra parte, ela
gira, mantendo movimento circular.
Cônica
Parafuso sem Fim
50
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (11)
5.
Cremalheira: Com uma coroa de diâmetro infinito, ou
seja, que não se fecha, transforma um movimento
rotacional em um movimento retilíneo, de translação. O
movimento contrário também pode acontecer. Muito
usado para esteiras. De fácil fabricação.
51
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (12)
Um trem de engrenagens é um acoplamento de
duas ou mais engrenagens.
 Um par de engrenagens é a forma mais simples de
se conjugar engrenagens e é frequentemente
utilizada a redução máxima de 10:1.

Trens de engrenagens podem ser:
1. Simples.
2. Compostos.
3. Planetárias.

52
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (13)


Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas
um eixo para cada engrenagem.
A relação entre as duas velocidades é dada pela equação:

Em um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série, a equação
para a relação de velocidades é:

No caso de trens simples, o valor numérico de todas as engrenagens
menos a primeira e a última são cancelados. As engrenagens
intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem
de saída.
Se houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da
última será oposto ao da primeira. Havendo um número impar de
engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É interessante notar
que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada
para modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na
velocidade, atuando como intermediária.
53

Acoplamentos de Polias e Engrenagens (14)


Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário
que se utilize trens de engrenagens compostos.
O trem composto se caracteriza por ter pelo
menos um eixo no qual existem mais de uma
engrenagem.
54
Acoplamentos de Polias e Engrenagens (15)



Devido a analogia com o sistema solar, este tipo de trem de
engrenagens é frequentemente chamado de trem de
engrenagens planetárias (TEP).
A engrenagem central é chamada de solar e, as engrenagens
que giram em torno dela, são chamadas de planetas.
Quase sempre se utiliza, também, uma engrenagem de
dentes internos em torno do TEP, onde os planetas também
se engrenam. Esta é chamada de anular, semelhante a um
anel.
• São
utilizados
em
aplicações
aeroespaciais e em helicópteros, além
do uso automotivo como diferencial
e caixa de transmissão automática.
55
Acoplamentos de Polias e Engrenagens
Exemplos (1)
http://www.woodenclocks.co.uk/Clock5.pdf
56
Movimento Circular
Uniformemente Variado (1)

Aceleração angular:

Função horária angular:

Função velocidade angular:

Equação de Torricelli:
57