Modelagem e Simulação de
Processos – Equações Diferenciais
Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
(PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)
Um fenômeno importante na indústria de processos é a transferência de massa entre duas correntes
fluidas. Em fenômenos como absorção, destilação e retificação, uma corrente líquida flui para baixo
e uma corrente em fase gasosa é forçada a subir através da fase líquida. A representação
esquemática abaixo considera uma vazão molar L de líquido a uma composição f(t) e uma vazão
molar V de um vapor a uma composição g(t) sendo alimentadas a um "prato" contendo uma massa
m de líquido no qual se dá a transferência de massa. Deste processo resultam uma corrente líquida
de composição x e uma corrente gasosa de composição y. Neste problema, todas as composições são
expressas em fração molar.
Considerando constantes L, V e m, pode-se obter a seguinte equação diferencial para a
determinação da composição do líquido que sai do prato:
,
K é a constante de equilíbrio líquido-vapor
E é a eficiência do prato (uma eficiência de 100% corresponde a uma situação em que x e y são as
composições de equilíbrio para os componentes).
Monte um gráfico (até que seja possível se visualizar o regime permanente) mostrando a variação da
composição x com o tempo considerando os seguintes dados: a = 1; b = 2,5; f(t) = 0,05 + t para
t<=0,5;
f(t) = f(0,5) para t>0,5; g(t) = 0,01.
Considere que no instante t=0, a composição de saída do líquido corresponde à concentração de
entrada (x0=0,05).
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
(PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)
Xcos:
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)
Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada
Considere o crescimento de uma determinada bactéria em um biorreator batelada. Sendo a
concentração inicial de microrganismos igual a X0 e a de substrato S0, se considerarmos que apenas
um substrato limite o crescimento, que a quantidade de substrato consumida para a manutenção celular
e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao crescimento celular, a
velocidade específica de crescimento celular (x) pode ser descrita pelo modelo de Monod:
x=rx/X=máx*S/(ks+S)
(1)
onde:
rx=velocidade de crescimento celular (g/[Lh]);
X= concentração de bactérias (g/L);
t=tempo (h);
S=concentração de substrato (g/L);
máx=velocidade específica máxima de crescimento (h-1);
ks=concentração de substrato quando x=máx/2 (g/L).
A velocidade específica de consumo de substrato (s) é dada por:
s=rs/X=(1/Yx/s) x
onde:
Yx/s= conversão de substrato em células;
rs= velocidade de consumo(2)
de substrato (g/[Lh]);
Considerando X0=0.5g/L; S0=50g/L; máx=0.5h-1; ks=1g/L; Yx/s=0.5(g de células/grama de substrato),
plote o gráfico das concentrações de substrato e células (X e S) no reator, em função do tempo, até
que todo o substrato seja consumido.
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)
Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada: Xcos (obs. 2 formas de resolver).
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
(PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO)
Vários métodos numéricos: shooting, métodos de colocação, etc. No scilab pode-se utilizar a função bvode
Reação-difusão em catalisador poroso
Considere o fenômeno de reação-difusão envolvido na reação catalítica AB que ocorre em uma partícula catalítica
porosa, presente em um reator. Para que a reação ocorra, o reagente A deve difundir do meio externo para o interior
da partícula catalítica porosa (pois o elemento que catalisa a reação estará distribuido nos poros das partículas).
Para uma cinética de ordem n qualquer, o balanço material adimensionalizado é dado pela seguinte equação
diferencial.
d 2 ca   1 dca

  2 2 can
2
xa dxa
dxa
(1)
Onde:
ca é a concentração adimensional de reagente A no interior da partícula, calculada pela da divisão da concentração no
interior da partícula pela concentração de reagente no meio fluido externo à partícula;
xa é a coordenada espacial que corresponde à divisão entre a posição medida a partir do centro da partícula e o
comprimento entre o centro e a superfície da partícula;
α é o fator correspondente à geometria da partícula (α =1 para geometria retangular, α =2 para geometria cilíndrica e
α =3 para geometria esférica);
 é o módulo de Thiele (que incorpora parâmetros de reação e de difusão).
As condições de contorno, são apresentadas pelas seguintes equações:
dca
 0 para xa = 0; ca  1 para xa=1.
dxa
O fator de efetividade (η), o qual é a razão entre a velocidade de reação real (incluindo a restrição difusional) e a
velocidade de reação nas condições da superfície da partícula (sem restrição difusional) pode ser calculado a partir da
seguinte equação:

a)
b)
1 dca
 2 dxa
xa 1
Plote as curvas de concentração adimensionalizada (ca) em função de xa para xa variando entre 0 e 1 com um
passo de 0,01, para uma reação de primeira ordem e para a geometria esférica, para  = 0,5,  = 1,  = 2,  = 4 e
 = 8;
Compare os valores obtidos numericamente para o fator de efetividade para os módulos de Thiele do item a) com
1
1
a solução analítica do fator de efetividade para geometria esférica:  

 tanh3  3 2
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
(PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO)
Vários métodos numéricos: shooting, métodos de colocação, etc. No scilab pode-se utilizar a função bvode
Reação-difusão em catalisador poroso (shooting no Xcos)
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS
Algoritmos de otimização: Nelder-Mead (fminsearch no scilab), Quasi-Newton (optim no scilab),
Heurísticos – genéticos (optim_ga e optim_moga no scilab), recozimento simulado ou “simulated
annealing” (optim_sa no scilab)
Considere que um reator industrial (em batelada) processe as seguintes reações:
Sendo inicialmente adicionados 1 kmol/m3 de A e 0,8 kmol/m3 de B, e considerando que a cinética
das reações obedeça às seguinte equações:
r1= k1*CA*CB
r2= k2*CC
r3= k3*CC
r4=k4*CC
Considerando as constantes cinéticas em m³/(kmol*h) iguais a: k1=10; k2=1;k3=5 e k4=10.
Para a otimização do processo, foi feita uma análise financeira. Nessa análise, obteve-se a
seguinte relação entre custo (C) e tempo de reação (em horas) no reator:
C=100*et
Por meio de uma análise de mercado, obteve-se a seguinte expressão relacionando o preço de
venda (PV em reais) em função da concentração do produto de interesse (no caso CE em kmol/m3)
PV=1000*CE
Portanto o lucro, é:
L=PV-C=1000*CE-100*et
a) plote as curvas CA, CB, CC, CD e CE em função do tempo (em horas) de reação até o final da
reação.
b) Estime o tempo economicamente ótimo de reação.
c) Em qual intervalo de concentração de E você poderá atender ao cliente sem ter prejuízo?
Justifique a sua resposta.
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS
a)
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS
b) Otimização utilizando fminsearch. Obs. Como a otimização visa estimar valores de tempo que
forneçam valores mínimos para uma função custo, teremos que adaptar o problema, pois o tempo
passa a ser uma variável dependente, logo construiremos blocos independentes para a otimização. Obs.
O item c) fica como desafio…