Modelagem e Simulação de
Processos – Equações Algébricas
Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EXEMPLO: PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO
Anilina é removida da água por uma operação de extração utilizando tolueno como solvente. O
processo é realizado em uma torre com 10 estágios em contracorrente, conforme
esquematizado na figura. A constante de equilíbrio válida para cada estágio é:
Ki=Yi/Xi
Onde:
Yi = (lb de anilina na fase
orgânica)/(lb
de tolueno na
fase orgânica);
Xi= (lb de anilina na fase
aquosa)/ (lb de água na fase
aquosa);
a) Realize os balanços de massa em cada estágio da torre e combine as equações de balanço com as de
equilíbrio a fim de se obter um sistema com 10 equações.
b) Resolva o sistema de equações e simule a concentração em cada fase de cada estágio da
torre ( valores de Xi e Yi). c) Analise, comente os resultados obtidos e faça uma verificação da
validade do resultado obtido realizando o balanço material considerando como volume de
controle toda a torre.
A função linsolve pode ser utilizada para a resolução do sistema de equações lineares.
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PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
EXEMPLO: PROCESSO CONTÍNUO DE EXTRAÇÃO
Resultado esperado no Xcos:
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Métodos numéricos:
- Equação não linear: Método de Newton-Raphson, Bisseção, entre outros;
- Sistema de equações não lineares: Método de Newton-Raphson multivariado;
Características comuns:
-- Métodos iterativos;
-- Podem necessitar de estimativa(s) inicial(is) do(s) parâmetros;
-- Podem necessitar da derivada ou da matriz jacobiana da(s) função(ões) com relação aos
parâmetros a serem estimados;
-- Função fsolve do scilab (ver a ajuda do scilab).
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Solução da equação de Colebrook.
Desenvolva um programa computacional para calcular o fator de atrito em função da
rugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re) utilizando a equação de
Colebrook:
a) Apresente uma forma a ser utilizada para a obtenção da estimativa inicial;
b) Calcule o fator de atrito para e/D=10-4 e Re=105. Compare o valor estimado com o
obtido ao se utilizar o diagrama de Moody.
c) Plote um gráfico de f em função de Re para tubos lisos, e/D=10-4, e/D=10-3 e
e/D=10-2 Compare com as curvas apresentadas no diagrama de Moody.
Informações úteis:
Alguns comandos lógicos (em caso de dúvidas utilize o help do scilab) comando if (se), faz
um teste lógico (= = igual, ~= diferente, > maior que, > = maior ou igual que, < menor que,
<= menor ou igual que, & (e), | (ou) ,then (faça se verdadeiro), else (se falso), end (fim) ;
while (faça enquanto) teste lógico for verdadeiro, end;
for (para) i=a:passo:b (i variando de a até b com o passo) “poderia ser também i=a:b (i
variando de a até b com o passo igual a 1)” end;
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
b) No Xcos:
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c) No Xcos: Obs. Como Re deve ser em escala logaritmica, t=log10(Re) ou Re=10^t.
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
c) Gráfico final.
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Projeto de reatores contínuos em série
Considere o projeto de um conjunto de reatores contínuos em série que será utilizado na
conversão A+BC+D, para a qual a constante de velocidade é k. A cinética é de
segunda ordem com relação a concentração de A (a):
rA=ka2
Considere que o projeto prevê a utilização de n reatores com um determinado volume V. Os
reatores serão operados a volume constante, com uma taxa de alimentação F de uma
solução contendo iguais concentrações de A e B na entrada do conjunto de CSTRs.
Considere a0 a concentração de A na entrada do primeiro reator e a1, a2, ..., an as
concentrações na saída do primeiro, segundo, ..., enésimo reator, respectivamente.
A etapa do projeto que coube a você, como engenheiro, é justamente criar uma
metodologia ou um programa computacional capaz de calcular o volume dos reatores V em
função do número de reatores n, para ser utilizado em uma futura análise financeira.
Além disso, para ter controle sobre o processo, o programa também deverá simular as
concentrações de A na saída de cada reator.
O projeto prevê uma conversão global de 80% (ou seja, an/a0=0,2) e as seguintes
condições: k=0,075 L/(mol min), F=30L/min, a0=1,6 M. Para testar o programa
simule para n=1, 2, 5, 10, 30, 50, 70, 100.
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Para 10 reatores com “n” definido no contexto
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Destilação flash para misturas multicomponentes
F moles por hora de uma mistura de n- componentes de gás-natural liquefeito são
expandidos em um tambor de flash a120 ºF e 1600 psia. O vapor e o líquido saem do tambor a
taxas V e L (moles por hora), respectivamente. As frações molares dos componentes em F, V
e L são dados por zi, yi e xi (i=1,2,...,n), respectivamente.
Assumindo as condições de equilíbrio líquido vapor e de operação em estado
Estacionário:
a) Apresente o balanço material global e o balanço material por componente, considetando a
seguinte relação de equilíbrio por componente:
Ki=yi/xi (i=1,2,...,n)
b) Reduza o número de equações não lineares a uma única equação não linear;
c) Assumindo F=1000moles/h, calcule as frações molares na fase líquida (xi), na fase vapor
(yi) e os fluxos na fase líquida L e vapor V.
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PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Exemplo: Xcos