Matemática Financeira
Descontos
Prof. Ms. Cristiane Attili Castela
Aula 05
Descontos
• O cálculo do desconto refere-se ao
valor de um título numa data antes
de seu vencimento;
• O desconto é a diferença entre o
valor de resgate e o valor presente
do título na data da operação.
D  V f  Vp
Prof. Cristiane A. Castela
2
Aplicações
• Cheques pré-datados;
• Duplicatas
Prof. Cristiane A. Castela
3
Situação Exemplo:
Você é um fornecedor de matéria-prima
para a indústria automotiva. Ao fornecer
um lote de mercadorias recebe um
cheque pré-datado com vencimento em
60 dias. Estando na época de pagar os
seus funcionários, você precisa de capital
para fazer os respectivos depósitos. Como
fazer para ter dinheiro hoje?
Prof. Cristiane A. Castela
4
Resposta:
Você pode ir até o banco e
antecipar
o
recebimento
do
cheque, porém o banco irá cobrar
por
esta
antecipação.
Esta
cobrança efetuada pelo banco é o
que chamamos de desconto.
Prof. Cristiane A. Castela
5
Tipos de Descontos
• Desconto Simples
(Bancário ou comercial)
– A taxa de desconto incide
sobre o valor futuro do
título
(D = VF.id.n)
– Valor descontado
(D=VF - VP)
Prof. Cristiane A. Castela
• Desconto Composto
– A taxa de desconto
incide sobre o valor
futuro
deduzido
dos
descontos acumulados
até
o
período
imediatamente anterior.
VP = VF(1-id)n
– Valor do desconto (D)
D = VF - VP
6
Algumas considerações
• O desconto praticado pelo mercado
é o desconto simples, por que?
• O desconto composto existe na
teoria, porém na prática não é
usado.
Prof. Cristiane A. Castela
7
Exemplo 1
Uma duplicata de $70.000,00, com vencimento
para 90 dias, foi descontada por um banco à taxa
de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue
ou creditado ao cliente.
D = VF.id.n
D = 70.000 x 3 x 0,027 = 5.670,00
VP = VF – D
VP = 70.000,00 – 5.670,00 = $ 64.330,00
Prof. Cristiane A. Castela
8
Exemplo 2
Calcular o valor do desconto de um
título de 100.000,00, com 115 dias a
vencer, sabendo-se que a taxa de
desconto é 3% ao mês.
D  VF  id  n
115
D  100.000
 0,03
30
D  $11.500,00
Prof. Cristiane A. Castela
9
Exercício 1
Uma duplicata de $95.000,00, com
vencimento
para
80
dias,
foi
descontada por um banco à taxa de
2,35% ao mês. Calcular o valor líquido
entregue ou creditado ao cliente.
$ 89.046,67
Prof. Cristiane A. Castela
10
Exercício 2
Uma duplicata de $5.000,00, com
vencimento para 125 dias, foi descontada
por um banco à taxa de 3,6% ao mês.
Calcular o valor líquido entregue ou
creditado ao cliente.
$ 4.250,00
Prof. Cristiane A. Castela
11
Exercício 3
Calcular o valor do desconto de um título
de $68.000,00, com 225 dias a vencer,
sabendo-se que a taxa de desconto é
3,5% ao mês.
$ 17.850,00
Prof. Cristiane A. Castela
12
Exercício 4
Calcular o valor do desconto de um título
de $34.000,00, com 200 dias a vencer,
sabendo-se que a taxa de desconto é 20%
ao ano.
$ 3.777,78
Prof. Cristiane A. Castela
13
Exercício 5
Determinar quantos dias faltam para
o vencimento de uma duplicata, no
valor de $9.800,00, que sofreu um
desconto de $548,50 , à taxa de 32%
ao ano.
63 dias
Prof. Cristiane A. Castela
14
Descontos Compostos
• “A taxa de desconto incide sobre o valor futuro
deduzido dos descontos acumulados até o período
imediatamente anterior. É obtido através de
cálculos exponenciais e praticamente não é usado
em nenhum país do mundo”. (Vieira Sobrinho)
VP  VF (1  id )
D  VF  VP
Prof. Cristiane A. Castela
n
15
Exemplo
Calcular o desconto composto efetuado sobre
um título, cujo valor de face é de 1000,00, com
vencimento em 90 dias à taxa de 2% ao mês.
D1 = VF.id = 1000x0,02 = 20,00
VP1 = 1000-20 = 980,00
D2 = 980x0,02 = 19,60
VP2 = 980 – 19,60 = 960,40
D3 = 960,40x0,02 = 19,21
VP3 = 960,40 – 19,21 = 941,19
D = D1+D2+D3 = $58,81
Prof. Cristiane A. Castela
16
Fazendo as contas pela fórmula
VP  VF (1  id )
3
VP  1000(1  0,02)  941,19
n
D  VF  VP
D  1000 941,19  58,81
Prof. Cristiane A. Castela
17
Exercício 1
Uma duplicata no valor de R$ 8.000,00 foi
descontada para quatro meses antes do
vencimento, a uma taxa de desconto
comercial composto igual a 3%a.m. Calcule
o valor líquido da operação e o desconto
sofrido pelo título.
R$ 7.082,34 e R$ 917,66
Exercício 2
Construa uma tabela apresentando o
valor do desconto e o valor de resgate de
um título de $2.000,00 descontado à
taxa de 2% ao mês, para os prazos 30,
60, 90, 120 e 150 dias, considerando
descontos
simples
e
descontos
compostos.
Prof. Cristiane A. Castela
19
Cálculo de Desconto para uma
série de Títulos do mesmo
valor
Título 1 – VF  D1 = VF.id.1
Titulo 2 – VF  D2 = VF.id.2
Título 3 – VF  D3 = VF.id.3
Título 4 – VF  D4 = VF.id.4
...
Titulo n – VF  Dn = VF.id.n
Desconto total = D1+D2+D3+...+Dn
Prof. Cristiane A. Castela
20
Cálculo do desconto total
(Dt)
Dt = D1+D2+D3+...+Dn
Dt = VF.id.1+VF.id.2+VF.id.3+...VF.id.n
Dt = VF.id(1+2+3+...n)
Mas, (1+2+3+...+n) é uma P.A.

1  n n
Então (1+2+3+...+n) =
2
• Conclusão...
Prof. Cristiane A. Castela
21
Fórmula para o desconto de
uma série de n títulos com
vencimentos periódicos
Dt

1  n
 VF .id .
n
2
Obs: O primeiro título vence no final do primeiro
período.
Prof. Cristiane A. Castela
22
Exemplo 1
Calcular o valor líquido correspondente ao
desconto bancário de 12 títulos, no valor de
$2.000,00 cada um, vencíveis de 30 a 360
dias, respectivamente, sendo a taxa de
desconto cobrada pelo banco de 2% ao
mês.
Prof. Cristiane A. Castela
23
Solução
Dt

1  n
 VF .id .
n
2

1  12 
Dt  2000  0,02 
12  3.120 ,00
2
Valor Líquido recebido:
VPtotal  12 2.000,00  3.120,00  $20.880,00
Prof. Cristiane A. Castela
24
Exemplo 2
Cinco duplicatas, no valor de $40.000,00
cada uma, com vencimento para 90, 120,
150, 180 e 210 dias, são apresentadas
para desconto. Sabendo-se que a taxa de
desconto cobrada pelo banco é de 3% ao
mês, calcular o valor do desconto.
Prof. Cristiane A. Castela
25
Solução
• Observe que o vencimento da primeira
duplicata ocorre em 90 dias (3 meses).
• A fórmula deve ser adaptada para esta
situação:
Dt
Prof. Cristiane A. Castela

t1  t N 
 VF .id .
n
2
26
Solução
Dt

t1  t N 
 VF .id .
n
Dt

3  7
 40.000  0,03 
5  30 .000 ,00
2
Prof. Cristiane A. Castela
2
27
Exercício 1
Uma empresa apresenta a um banco, para
desconto,
4
duplicatas
no
valor
de
$32.600,00 cada uma, com vencimentos
para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o
valor líquido creditado pelo banco na conta
da empresa, sabendo-se que a taxa de
desconto cobrada é de 2,4% ao mês.
$ 114.752,00
Prof. Cristiane A. Castela
28
Exercício 2
Determinar o número de títulos com
vencimentos sucessivos de 30 em 30
dias, descontados à taxa de 3,3% ao
mês, sabendo-se que todos são do
mesmo valor, igual a $13.000,00 cada
um, e cujo desconto total é de
$12.012,00.
7 títulos
Prof. Cristiane A. Castela
29
Comparação entre juros
compostos e descontos
simples
• Vamos supor que exista um título no
valor de $1.000,00 (valor de face) que
pode ser descontado à taxa de desconto
de 2,5% ao mês.
• Construir uma tabela com o valor de
resgate para vários períodos de
antecipação.
Prof. Cristiane A. Castela
30
Tabela 1
Valor do
Prazos
desconto
(n)
(D)
1
5
10
15
20
25
30
35
40
Prof. Cristiane A. Castela
25,00
125,00
250,00
375,00
500,00
625,00
750,00
875,00
1.000,00
Valor
líquido
(VL)
975,00
875,00
750,00
625,00
500,00
375,00
250,00
125,00
0,00
31
Calculando a taxa de juros que
corresponde ao desconto efetuado
Valor do
Prazos
desconto
(n)
(D)
1
5
10
15
20
25
30
35
40
25,00
125,00
250,00
375,00
500,00
625,00
750,00
875,00
1.000,00
Prof. Cristiane A. Castela
Valor
líquido
(VP)
975,00
875,00
750,00
625,00
500,00
375,00
250,00
125,00
0,00
taxa de juros compostos
correspondente à taxa de
desconto de 2,5% ao mês
(%)
2,564
2,707
2,919
3,183
3,526
4,001
4,729
6,121
*******
VF  VP(1  i)
32
n
Exercício
Que taxa de desconto ao mês deve ser
cobrada numa operação com prazo de 90
dias que resulte numa taxa efetiva de
juros de 7,1% ao mês, calculada com
base
no
regime
de
capitalização
composta?
6,2% a.m.
Prof. Cristiane A. Castela
33
Matemática Financeira
Exercícios sobre
Descontos com IOF
Prof. Ms. Cristiane Attili Castela
Exercício 1
Uma empresa comercial possui em seu grupo de
contas a receber um cheque pré-datado no valor de
R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está
programada para daqui a cinco meses. Sabendo que
a empresa pensa em descontar esse título em um
banco que cobra uma taxa de desconto de 3%a.m.
mais uma taxa operacional (IOF) igual a 0,7% do
valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título,
no regime de capitalização simples.
R$ 785,00
Exercício 2
A fábrica das Medalhas Milagrosas recebeu,
líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do
desconto de uma nota promissória no valor
de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por
fora da operação foi igual a 5%a.m. e a taxa
(IOF) aplicada sobre o valor nominal foi igual
a 0,20%, calcule a duração da operação, no
regime de capitalização simples.
2 meses
Exercício 3
Um banco realiza operações de desconto de
notas promissórias mediante a aplicação de
uma taxa simples de desconto por fora igual
a 4% a.m. Além disso, cobra a título de IOF
uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal.
Qual será o valor líquido recebido após
desconto de um título com valor nominal
igual a R$ 12.500,00 e vencimento em 50
dias?
R$ 11.629,17
Matemática I
Prof. Cristiane A. Castela
37
Exercício 4
O desconto bancário de um título com valor
nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu,
líquidos, R$ 12.885,00.
Se a taxa de
desconto por fora foi igual a 3% a.m. e o
prazo da operação foi igual a quatro meses e
meio, estime a taxa percentual incidente
sobre o valor nominal da operação, no
regime de capitalização simples.
0,6%
Matemática I
Prof. Cristiane A. Castela
38
Lista de Exercícios
Resolver os exercícios do livro:
Matemática Financeira - J. D. Vieira
Sobrinho: pág. 61 - 63
Prof. Cristiane A. Castela
39