SEQÜÊNCIAS
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Seqüências

Representação amostral de um sinal
 Processo de amostragem
 Conversor AD
(analógico-digital)
 Decorrente do uso de computadores em:
 Aquisição via sensores e conversores AD
 Controle digital
 Atuação via atuadores e conversores DA
Seqüências

Definição
x[n]  x(nTa )
 onde:
 x(t) é um sinal/função contínua (t ∈
R)
 Ta
é o período de amostragem
 n é o instante de tempo (n ∈ Z)

n é adimensional
 Obs:
não existe informação em x[n] entre n e n+1
Seqüências

Definição
 Representação gráfica
Seqüência

Efeito do período de amostragem
Sequências

Efeito do período de amostragem
 Ao
invés de reproduzir x(t) em x[n], reproduzimos
outro sinal xT(t) com propriedades espectrais
distintas.
 Aliasing



Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam
em componentes de alta-freqüência em xT(t)
x(t)  conversão AD  x[n]  conversão DA  xT(t)
x(t) ≠ xT (t)
 Resolução do problema

Teorema de Nyquist
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
x[n ]  Ae j
 Ae cos(n )  jsen(n )
 onde
σeω∈
R
 Incluem-se também
x[n]  A cos(n  )
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
 Para
A
todo x(t) periódico, x[n] é periódico?
freqüência de amostragem influencia a
periodicidade da seqüência?
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
 Definição de
 x[n]

periodicidade
= x[n+N]
N ∈ Z*
 Para seqüência senoidais,



f = ω / 2π = m / N
x[n] = A cos(ωn + θ)
 Referência para seqüência senoidal
f é razão entre números inteiros (f ∈ Q)
Condição para x[n] senoidal ser periódica
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
 Considerando o processo de amostragem
x[n ]  A cos(n  )
x ( t )  A cos(t  )
 Temos:
Ta F
m
f 
 Q
N
T Fa
 Condição para sinal
seqüência periódica
periódico amostrado produzir
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
N
= 8, zero ≤ m ≤ 3  zero ≤ f < 0,5
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
N
= 8, 5 ≤ m < 8  0,5 < f < 1
m=8
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
 Padrão senoidal
discreto se repete a múltiplos de f
cos2f  n    cos2kf  n  
m
 m



cos 2  n     cos 2k  n   
N
 N



cos  n    cos  n  
 Intervalos úteis


zero ≤ f < 1 [ciclos/amostra]
zero ≤ ω < 2π [radianos/amostra]
Seqüências

Seqüências periódicas e não-periódicas
 Interpretação
 Número de amostras de um período discreto
 m  Número de ciclos contínuos reproduzidos em um
período discreto
 m/N  Fração do ciclo contínuo usado na amostragem
 f ou ω  Freqüência discreta
N
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Similaridade
com sinais singulares
 Não existe conceito de descontinuidade
 Representação de fenômenos como


Liga-desliga
Amostragem
 Representação matemática de séries numéricas

Série de Fourier
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Delta unitário
 Ou delta de Kronecker
1, n  0
[n ]  
0, n  0


Observe que não há problemas na definição para n=0, como
ocorre com o delta de Dirac.
Não há problemas de escala como no delta de Dirac
 δ[an] = δ[n]
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Degrau unitário
1, n  0
u[n ]  
0, n  0
 Observe que para n=0,
u[0] = 1, não havendo problema
de definição como em u(t)
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Sinal
unitário
1 n0

sgn[n ]   0 n  0
 1 n  0

 Rampa unitária
n, n  0
rampa[n ]  
0 n  0
 n  u[n ]
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Pulso unitário
1, n  N
rect[n ]  
0, n  N
 u[n  N]  u[n  ( N  1)]
 Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre
ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com
um total par de amostras?
Seqüências

Seqüências com “singularidades”
 Trem de
impulsos unitário
 N [n ] 

 [n  kN]
k  
Seqüências

Operações básicas
 Soma
e subtração de sinais
 Multiplicação e quociente de sinais
 São realizadas amostra-a-amostra
 Deslocamento temporal
 Operação de atraso ou avanço de seqüências


f[n] = g[n + n0]  f(t) está adiantado em relação a g[n]
h[n] = g[t – t0]  h[n] está atrasada em relação a g[n]
 Escala em amplitude
 y[n]
= α x[n]
Seqüências

Operações básicas
 Escala no
“tempo”
 Escala dos instantes “n”
 y[n]
= x[A n]
 y[n] = x[n/A]
 Os resultados da escala no “tempo”
para seqüências são
equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de
sinais?
Seqüências

Operações básicas
 Escala
no “tempo”
 Primeiro caso: compressão ou

decimação
y[n] = x [A n]
 Perda de amostras decorrente de

n∈Z
Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t)
 Se a é par

apenas amostras em instantes pares serão mantidas
Seqüências

Operações básicas
 Escala
no “tempo”
 Segundo caso: dilatação ou

interpolação
y[n] = x [n/A]
 Existência de situações com


(n/A) ∉ Z
Nesses casos, y[n] é indefinido
O que fazer?
Seqüências

Operações básicas
 Escala
no “tempo”
 Segundo caso: dilatação ou

“interpolação”
y[n] = x [n/A]
 Existência de situações com


(n/A) ∉ Z
Nesses casos, y[n] é indefinido
Redefinição de escala no “tempo” para “interpolação”
x[n A],
y[n]  
 0
n A Z
c.c.
Seqüências

Operações básicas
 Acumulação
y[n ] 
n
 x[k]
k  
 Semelhante à integração no domínio contínuo
 Mesma ambigüidade da integração

Problema da constante de integração
Seqüências

Operações básicas
 Diferença finita
y[n ]  x[n ]  x[n  1]
 x[n  1]  x[n ]
x[n  1]  x[n  1]

2
 Semelhante à diferenciação no domínio contínuo
 Pode gerar várias expressões
Seqüências

Energia e Potência de Seqüências
 Equivalente às grandezas
de x(t)
 Estimativa de energia que a seqüência carrega
 Energia da seqüência
Ex 

 x[n]
2
n  
 Usado quando o somatório converge

Seqüências finitas, por exemplo
Seqüências

Energia e Potência de Seqüências
 Potência da seqüência
1 N 1
2
Px  lim
x[n ]

N  2 N
n  N
 Usado em seqüências periódicas
 N é um período completo da seqüência
1 k  N 1
2
Px  lim
x[n ]

N  N
n k

Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)