NÚMEROS PRIMOS E CRIPTOGRAFIA RSA
Jean Carlo Baena Vicente
Programa de Educação Tutorial (PET)
Carlos Henrique dos Santos
Introdução
Desde civilizações mais antigas é necessária a
proteção de informações importantes.
Durante as guerras métodos de codificações eram
utilizados para evitar que mensagens interceptadas
pelos inimigos fossem de grande valia.
Atualmente, além da necessidade de proteção de
dados de segurança nacional, há dados de
natureza comercial, como os das transações
bancárias ,por exemplo, para esse fim o método de
criptografia RSA é o mais utilizado. No presente
trabalho apresentamos o funcionamento deste
método e as propriedades da teoria dos números
nele envolvidos.
Criptografia RSA
Para o método RSA, a primeira etapa da codificação
consiste em atribuir a cada caractere da mensagem
um número, de forma que seja possível identificar a
mensagem uma vez que esta se torne um único
número.
Em seguida deve-se separar este número em
blocos formando números “b” menores que um certo
número “n”. Este número “n” é chamado de chave
pública, e deve ser o produto de dois números
primos distintos.
A segunda etapa do processo consiste em obter
uma nova sequência de blocos numéricos onde cada novo
bloco, “a”, é o resíduo, módulo “n”, da e-ésima potência de
cada um dos blocos “b”, sendo “e” inversível módulo 𝜙(𝑛). A
nova sequência de blocos obtida será a mensagem
codificada.
Para decodificar a mensagem basta tomar o resíduo módulo
𝜙(𝑛) da potência d-ésima de cada bloco “a”, onde “d” é o
inverso de “e” módulo 𝜙 𝑛 . Assim os blocos originais são
recuperados.
Conclusões
Ao estudar o método de criptografia RSA, percebemos que o
seu bom funcionamento pode ser garantido com alguns
teoremas da teoria de números, como os teoremas de Bézout
e Fermat e mais algumas propriedades ligadas a números
primos. Os problemas surgem quando a segurança do
sistema deve ser assegurada. Basicamente, a segurança do
processo se resume a escolha dos primos que compõem “n”,
daí vem a necessidade de encontrar números primos que
possuam características específicas, e por sua vez, um
incentivo para o estudo de algoritmos de fatoração, testes de
primalidade e funções geradoras de números primos.
Referências
Coutinho, S.C. (2009) Números inteiros e criptografia RSA,
IMPA, Rio de Janeiro.