UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ANA PAULA ALVES MACHADO DE LIMA
A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS
EM CRIPTOGRAFIA RSA
JUSSARA-GO
2010
Ana Paula Alves Machado de Lima
A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS
EM CRIPTOGRAFIA RSA
Trabalho apresentado para fins de conclusão de curso na
Universidade Estadual de Goiás, Unidade Universitária de
Jussara, no curso de Licenciatura em Matemática, sob
orientação do professor Deusaguimar Divino da Silva.
Jussara-GO
2010
ANA PAULA ALVES MACHADO DE LIMA
A HISTÓRIA DA CRIPTOGRAFIA E A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS
EM CRIPTOGRAFIA RSA
Monografia aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em
Matemática na Universidade Estadual de Goiás – UEG, pela banca examinadora:
Orientador: professor Deusaguimar Divino da Silva
Examinador
Examinador
Jussara-GO
11/2010
Dedico este trabalho aos meus pais e à minha irmã por todo apoio, pela educação...
Ao meu marido pelo apoio e incentivo...
Aos amigos e familiares que estiveram ao meu lado em momentos difíceis, me ajudando a
encontrar forças para ir em frente...
Aos professores, pelo auxílio, orientação e por despertarem o meu interesse pela
matemática...
E aos colegas de curso que deixarão saudades.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, principalmente, a Deus que me deu sabedoria. Depois aos amigos, professores
e familiares pela paciência que, muitas vezes tiveram comigo.
"Ciência é conhecimento organizado. Sabedoria é vida organizada."
(Immanuel Kant)
RESUMO
Este trabalho foi realizado no ano de 2010, em Jussara-GO. Nesta pesquisa se encontram fatos
históricos e aspectos relacionados à criptografia. Quais os primeiros métodos de criptografia,
como surgiram e com que objetivos, como eram utilizados, quem foram seus inventores. Esta
pesquisa também aborda assuntos a respeito de criptografia RSA e sua relação com Álgebra. A
criptografia estuda técnicas matemáticas de enviar mensagens secretas com segurança,
codificando essas mensagens para que apenas um usuário legítimo possa decifrar. O primeiro
algoritmo de criptografia de que se tem notícia, a transposição, surgiu em meados de 400 a.C. A
partir de então vários métodos diferentes foram inventados com diferentes objetivos. Entre eles a
Cifra de César, a Cifra de Vigenère, o ROT 13, o PLAYFAIR, o ADFGVX, o LUCIFER, o DES,
e o RSA. A maioria desses métodos deixou de ser usada por não oferecer segurança. É possível
decifrar alguns desses códigos com um mínimo de conhecimento matemático. A Cifra de César,
por exemplo, pode ser decifrada fazendo uma análise de freqüência de letras ou de padrões de
palavras em um determinado idioma. Os métodos de criptografia são classificados em dois tipos:
simétrico e assimétrico. A criptografia simétrica utiliza uma única chave para codificar e
decodificar a mensagem. A criptografia assimétrica, ou de chave pública, utiliza duas chaves,
uma para codificar e outra para decodificar, sendo uma delas de conhecimento geral, por isso
chamada de chave pública. O RSA é um dos métodos mais seguros e, por isso, o mais utilizado
atualmente. É um método de criptografia de chave pública. Utiliza fundamentos matemáticos
como números primos, aritmética modular, máximo divisor comum, fatoração, etc. Seus
fundadores são Ronald Rivest, Leonard Adleman e Adi Shamir. Os três trabalharam juntos no
MIT (Massachussets Institute of Technology), por volta de 1978, quando inventaram o método.
PALAVRAS – CHAVE: Criptografia, teoria dos números, códigos, chave.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
08
CAPÍTULO 1 CRIPTOGRAFIA: FATOS HISTÓRICOS E MÉTODOS
10
1.1 Primeiros métodos
1.2 Cifra de César
1.3 Cifra de Vigenère
1.4 Vida e obra de Gauss
1.5 O método RSA
10
13
19
20
23
CAPÍTULO 2 A APLICAÇÃO DE TEORIA DOS NÚMEROS NO RSA E
APLICAÇÕES
24
2.1 Aritmética modular
2.2 Aplicação de congruência modular na Cifra de César
2.3 Teoria dos números e RSA
2.4 Aplicações do RSA
2.4.1 Assinatura digital
2.4.2 Identificação
24
30
31
34
36
37
CONSIDERAÇÕES FINAIS
38
BIBLIOGRAFIA
39