Aula 1 - Sinais Conceitos Sinais e sistemas Definições Descrições Representações matemáticas Classificações Sinais Elementares (básicos) Operações Definição: Um sinal é a representação física de uma informação Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o comportamento ou a natureza de uma natureza física Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t representa o tempo Exemplo Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, vc(t), ou a corrente no resistor, i(t) Exemplo Batimentos cardíacos; Flutuação diária dos preço das ações; Sinais de fala; Imagem; Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações Definição Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro conjunto de sinais (saída) Implementação Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas Exemplos: Sistema automático de fala; Circuito elétrico; Sinais de tempo contínuo: O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja, definida para todo valor de t. Sinais de tempo discreto: O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em tempos discretos; Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme. Sinais pares e ímpares: Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se: 𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡 Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se: 𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡 Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto. Sinais pares e ímpares Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par 𝑥𝑝 (𝑡) e um sinal ímpar 𝑥𝑖 𝑡 : 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝 𝑡 + 𝑥𝑖 (𝑡) Então: 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑥(−𝑡) 2 𝑥𝑖 (𝑡) = 𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡) 2 Sinais pares e ímpares Exemplo: Decomponha 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑗𝑡 em sinais pares e ímpares. Propriedades: O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par; O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar; Sinais periódicos e não periódicos: Um sinal 𝑥(𝑡) é períodico se satisfizer a condição: 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 , ∀ 𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇 > 0 T é chamado de período do sinal; O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e normalmente designado por T0; Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não periódico ou aperiódico; Sinal real: Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais; Sinal complexo: Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo 𝑥𝑅 𝑡 + 𝑗𝑥𝐼 𝑡 , onde xR(t) e xI(t); Sinal determinístico: Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função matemática conhecida; Sinal aleatório: Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos estatisticamente; São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas; Servem como blocos para construção de sinais mais complexos; São eles: Exponencial; Degrau; Senoidal; Impulso; Rampa; Sinal exponencial real: De forma geral: 𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒 𝑎𝑡 Onde: B é a amplitude no instante t = 0; Se a > 0, exponencial crescente Se a < 0, exponencial decrescente Sinais senoidais: Forma mais geral pode ser escrito como: 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ∅) Onde: A é a amplitude; w é a frequência em radianos por segundo; Ø é o ângulo de fase em radianos; Sinal exponencialmente amortecido: De forma: 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + ∅ Função degrau ou de Heaviside: Definição: 𝑢 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0 0, 𝑡 < 0 Função impulso ou delta de Dirac: Definição: 𝛿 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0 E ∞ 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1 −∞ Sinal rampa: Definição: 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡 ≥ 0 0, 𝑡 < 0 Ou: 𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡) Operações realizadas nas variáveis dependentes: Mudança de escala de amplitude: 𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑥(𝑡) Adição: 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 +𝑧 𝑡 Multiplicação: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 . 𝑧(𝑡) Diferenciação: 𝑦 𝑡 = Integração: 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −∞ Operações realizadas nas variáveis dependentes: Exemplos: Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores. Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op Multiplicação: Circuito modulador AM Diferenciação: Circuito com indutor 𝑣 𝑡 =𝐿 Integração: Circuito com capacitor 1 𝑣 𝑡 = 𝐶 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 −∞ Realizadas na variável independente: Mudança de escala: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎. 𝑡) Se 0 < 𝑎 < 1, expansão; Se 𝑎 > 1, compressão; Reflexão: 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) Deslocamento: 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 ) Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑎𝑡 − 𝑏 Esta esta relação satisfaz: 𝑦 0 = 𝑥 −𝑏 𝑏 𝑦 = 𝑥(0) 𝑎 Primeiro fazemos os deslocamento temporal, 𝑥(𝑡 − 𝑏), posteriormente fazemos o escalonamento temporal 𝑥(𝑎𝑡) Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala no tempo: Exemplo: 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3)