Ciências da Natureza e suas
Tecnologias - Física
Ensino Médio, 3ª Série
RELATIVIDADE
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Sumário
1. Introdução: Motivações para uma nova teoria
2. Cinemática relativística
2.1 Simultaneidade
2.2 Conceito de espaço-tempo
2.3 Transformações de Lorentz
2.4 Contração de comprimentos
2.5 Dilatação do tempo
3. Quantidade de movimento e massa relativística
4. Energia relativística
5. Neutrinos mais rápidos que a luz?
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
1. Introdução: Motivações para uma nova teoria
1905
A mecânica de Isaac Newton estava
bem estabelecida nas suas três leis
e, juntamente com a eletrodinâmica
e a termodinâmica, a física parecia
completa.
Entretanto,
existiam
problemas que tal mecânica não
conseguia explicar...
... surge então a necessidade de ver
a mecânica de uma nova forma, e
Albert Einstein cria a Teoria da
Relatividade Especial (ou restrita)
em 1905, propondo assim novos
conceitos sobre espaço e tempo,
sendo este último tratado agora
como uma nova dimensão.
Imagens: (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac Newton / Public Domain e (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann / Library of Congress, Prints
& Photographs Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] / Public Domain.
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Relatividade

Uma famosa inconsistência da mecânica clássica (newtoniana) mostrou-se no
eletromagnetismo, pois tais equações não eram invariantes, mediante às
transformações de Galileu:
Transformações de Galileu
y’
y
x’ = x – vt
v
y’ = y
z’ = z
t’ = t (tempo)
x
z
z’
x’
O referencial em verde se move com
velocidade v, na direção-x, em relação
ao referencial em preto.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

A transformação de Galileu nos mostra que o tempo transcorrido de um evento
arbitrário é o mesmo para qualquer referencial, isto é, na mecânica newtoniana
todos os observadores são simultâneos.
Exemplo:
v
Imagem: Mia5793 / Public Domain.
Suponha que o relógio
do
menino
que
observa o trem esteja
sincronizado com o do
seu amigo que viaja
no mesmo. Ambos
decidem cronometrar
a duração de uma
‘’bozinada’’ do trem. O
que se observa é que
no relógio de ambos
serão registrados os
mesmos valores !!
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

Voltando ao problema clássico, como as leis físicas devem valer em
qualquer referencial inercial, tal como o eletromagnetismo, uma alternativa
usada para explicar essa inconsistência foi o fato de que as ondas
eletromagnéticas (a luz, por exemplo) propagavam-se num referencial
privilegiado, um meio que preenchia todo universo denominado éter.

Um meio material que se move com velocidade v em relação ao éter seria
capaz de arrastar o mesmo. Assim, o problema do eletromagnetismo
estaria resolvido, pois não depende mais de referencial, já que se propaga
em um privilegiado.

Porém, em 1887, os físicos A. A. Michelson e E. W. Morley questionaram a
existência do éter, realizando um experimento que ficou conhecido como a
Experiência de Michelson – Morley.

Essa experiência tratava-se de medir a velocidade da terra em relação ao
éter, usando um aparelho inventado por Michelson, denominado
Interferômetro ótico.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Uma versão atual do interferômetro de Michelson
Imagens: (a) FL0 at de.wikipedia / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported e(b) Alex-engraver / Public Domain.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

De uma maneira bem sucinta, temos uma fonte que emite um feixe de luz
concentrado, no qual é dividido em dois, no divisor de feixe. Eles seguem
direções perpendiculares, onde são refletidos por espelhos, chegando ao
detector.

No Youtube, existem vários vídeos que reproduzem a experiência de Michelson –
Morley, dentre eles:
http://www.youtube.com/watch?v=r_EdsNf-ljM
http://www.youtube.com/watch?v=4KFMeKJySwA&feature=related

Se existisse o éter, haveria uma diferença no tempo de percurso dos feixes.
Entretanto, observou-se que não! A partir disso desprezou-se a ideia da
existência do éter.

Outra inconsistência da mecânica newtoniana é o fato dela não prever respostas
corretas quando é aplicada a partículas muito rápidas, com velocidades próximas
a da luz. O que se mostra experimentalmente é que a velocidade de tais
partículas nunca ultrapassa a velocidade da luz, enquanto na mecânica
newtoniana não existe esse limite.
Diante de tudo isso, surge a necessidade de uma nova teoria, e é Albert Einstein
que propõe, em 1905, a famosa Teoria da Relatividade Especial.

FÍSICA, 30 ano
Relatividade
2. Cinemática relativística
Einstein inicia seu desenvolvimento da teoria da relatividade enunciando os dois
famosos postulados da relatividade especial:
“ A velocidade da luz tem o
mesmo valor em qualquer
referencial inercial.”
Imagem: Fotografia de Albet Eintein /
Doris Ulmann / Library of Congress,
Prints & Photographs Division,
[reproduction number LC-USZC44940] / Public Domain.
“ As leis da física são as
mesmas em qualquer
referencial inercial.’’
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

A velocidade da luz foi medida experimentalmente, no vácuo, obtendo o valor c =
3.108 m/s.


Como diz o segundo postulado, o valor c é
o mesmo para qualquer referencial inercial.
Isso quer dizer que se você pudesse viajar
com metade da velocidade de um pulso de
luz (c/2), no mesmo sentido, esse ainda iria
se mover com velocidade c em relação a
você, e não c/2, como diz a mecânica
clássica !!
Um referencial inercial é aquele que está em repouso ou em movimento retilíneo
uniforme (MRU) em relação a um dado observador. Por exemplo, a terra é um
referencial inercial para eventos locais e com curto intervalo de tempo. Um carro
em velocidade constante é um referencial inercial, mas quando faz uma curva,
deixa de ser, pois se torna um referencial acelerado.
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2.1 Simultaneidade
No exemplo do menino que observa o trem, concluímos que todos os observadores
são simultâneos. Se formos analisar um trem que se move com uma velocidade muito
alta (por exemplo, 3/5 da velocidade da luz), será que os observadores continuam
simultâneos? Einstein mostrou que não !!
Existe uma excelente simulação no site:
http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-eContemporanea/Simultaneidade
Nele é apresentado um exemplo bem prático (proposto por Einstein na época) que
Dois eventos que são simultâneos para um observador
em certo referencial inercial, não serão simultâneos
em nenhum outro referencial que esteja se movendo
em relação ao primeiro.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
2.2 Conceito de espaço-tempo
Imagem: Wouterhagens
/ Creative
Commons Attribution-Share
Alike 3.0 Unported.
 Nosso senso comum é baseado na mecânica clássica, isto é, espaço e tempo são
grandezas independentes, sendo o tempo absoluto para qualquer referencial:
y
x
tempo
z
Nosso mundo é “tridimensional” (3d)
Tudo o que você vê, faz, movimenta etc,
é limitado nessas 3 dimensões.
espaciais
Existe um ‘’relógio
universal’’ que
cronometra todos os
eventos em todos
referenciais inerciais.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
 Entretanto, para objetos que se movem com velocidades altíssimas (frações da
velocidade da luz, por exemplo) o tempo não é mais absoluto, segundo a relatividade
especial:
Imagem: Wouterhagens
/ Creative
Commons Attribution-Share
Alike 3.0 Unported.
y
+
x
z
(3d)
Agora, cada referencial tem uma
medida de tempo (“um relógio”), e
assim o tempo é tratado como uma
nova dimensão, ou seja, o tempo é
relativo !!
(1d)
=
4 dimensões
Na relatividade
especial, não existe
espaço e tempo
separados, eles agora
formam uma
“entidade”: o espaçotempo de Minkowski
(ou quadridimensional)
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
2.3 Transformações de Lorentz

Como seria a forma das transformações de Galileu, no contexto da relatividade
especial?

Isto é, se o tempo é relativo como vimos, como relacionar intervalos de tempo
medidos em diferentes referenciais inerciais? E as posições?
A resposta está nas transformações de Lorentz:
transformações de Lorentz
y’
y
x  vt
x’ =
v
1 v2 / c2
y’ = y
x
z
z’
x’
z’ = z
t’ =
t  (v / c 2 ) x
1 v2 / c2
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

É bom salientar que, para demonstrar tais transformações, usam-se argumentos
matemáticos mais sofisticados que estão disponíveis em livros de nível universitário.

Nota-se que, para baixas velocidades (v<<c), o termo v / c é desprezado das
equações, e assim as transformações de Lorentz coincidem com as transformações
de Galileu !! Isso significa que, em baixas velocidades, a mecânica newtoniana é
suficiente para explicar eventos, mas falha em altas velocidades !

Há duas consequências imediatas das transformações de Lorentz: contração de
comprimentos e a dilatação do tempo.
2.4 Contração de comprimentos
y’
v
y
z’
z
x1’
x2’
x1
x2
x’
x
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Considere uma régua que se move juntamente com o referencial em verde.
Das transformações de Lorentz, tiramos que
x1  vt1
x1’ =

x2’ =
1 v2 / c2
1 v2 / c2
Fazendo x2’ - x1’ e considerando t1= t2 (pois no sistema em preto, x1 e x2 foram
medidos no mesmo instante de tempo), teremos:
x2’ - x1’ =

x2  vt2
( x2  x1 )
1 v2 / c2
E ainda, chamando x2’ - x1’ = L’ (comprimento da régua no referencial em verde ou
comprimento próprio) e x2 - x1 = L (comprimento da régua no referencial em preto),
teremos:
L’ =
L
1 v / c
2
2
v2
L  L' 1  2
c
Note que para v≠0, L é sempre menor que L’ !!
contração de comprimento
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Desta expressão, concluímos que:
“ O comprimento de um corpo é máximo, quando medido em
repouso em relação ao observador. Quando ele se move com
uma velocidade v relativa ao observador, seu comprimento
medido contrai-se na direção do seu movimento pelo fator
1  v2 / c2
enquanto as dimensões perpendiculares à direção do
movimento não são afetadas.’’
 É importante ressaltar que não há uma contração real do comprimento (física),
ele continua o mesmo, o que muda é sua medida quando feita de referenciais
diferentes.

Para facilitar a compreensão sobre contração de comprimentos, uma animação
bem descontraída está disponível no site:
http://www.youtube.com/watch?v=DvwtT6EHVs0&noredirect=1
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Exemplo 1
Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma
estação orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 . 108 m/s. Durante a
passagem, em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que as
extremidades dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as extremidades
da plataforma (1). Determine:
A) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a nave
abandonar toda a plataforma;
B) O comprimento de repouso da nave;
C) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.
Resolução
A) Este é um problema de cinemática, logo para L=100m e v = 2,0 . 108 m/s teremos:
L
100m
102
6
7
t  

s

0
,
5
.
10
s

5
.
10
s
8
8
v 2.10 m / s 2.10
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
B) O comprimento de repouso da nave será o comprimento próprio (L’), pois o
observador O está medindo o comprimento L já contraído pelo efeito relativístico. Como
sabemos:
v2
L  L' 1  2
c
L' 
L
1 v2 / c2
assim
L' 
100
(2.108 ) 2
1
(3.108 ) 2

100
4.1016
1
9.1016

100
100
100


 134m
4
5 0,7453
1
9
9
Que é um comprimento maior, como se esperava.
C) Neste caso, o alienígena O’ verá a plataforma contraída do comprimento de repouso
L’=100m. Assim:
v2
(2.108 ) 2
L  L' 1  2  100. 1 
 100.(0,7453)  75m
8 2
c
(3.10 )
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2.5 Dilatação do tempo
Considere o mesmo exemplo da nave alienígena. Se o alienígena O’ quisesse
medir o tempo que a nave gasta para passar pelo observador O que está na plataforma,
ele mediria:
L'
t 
v
onde L’ , neste caso, vale 134m (comprimento próprio) e v é a velocidade da nave. Por
outro lado, se o observador O quisesse fazer esta mesma medida, o valor obtido por ele
seria:
t ' 
L
v
t ' é chamado de tempo próprio, porque tal observador pode obtê-lo com um único
cronômetro. L , neste caso, é o comprimento contraído do trem (100m). Destas duas
equações, tiramos que:
t ' L
, como

t L '
L
v2
 1  2 , então: t 
L'
c
t '
v2
1 2
c
Dilatação do tempo
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Note que para v≠0, Δt é sempre maior que Δt’ !!
“Um relógio avança com a máxima velocidade quando está em
repouso em relação ao observador. Quando se move com uma
velocidade v relativa ao observador, a sua velocidade de
avanço é diminuída pelo fator 1  v2 / c2 ’’
Exemplo 2 : Paradoxo dos Gêmeos
Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40
anos de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência
espacial americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é
realizada numa nave que se move a uma velocidade de 2.108 m/s. O tempo gasto na
viagem cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta
voltar, a sua idade será a mesma que a do seu irmão?
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Resolução
Como vimos na dilatação do tempo, o tempo próprio sempre é menor. Assim, o tempo
passará mais lento para o astronauta do que para seu irmão. Chamando Δt’ o tempo de
viagem cronometrado pelo astronauta e Δt = 10 anos o tempo da viagem cronometrado
pela NASA (referencial da terra) temos que:
t 
t '
v2
1 2
c
v2
(2,4.108 ) 2
5,76
t '  t 1  2  10. 1 
 10. 1 
 10. 0,36  6anos
8 2
c
(3.10 )
9
Logo ,concluímos que o astronauta estará com 46 anos após a viagem, enquanto seu
irmão terá 50 anos, ou seja, o astronauta estará mais novo que seu irmão gêmeo !!
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
3. Quantidade de movimento e massa relativística
Sabemos que um corpo de massa m e módulo de velocidade v tem a seguinte
quantidade de movimento (p):
p  mv
Para que esse princípio seja válido também na relatividade, devemos corrigir o termo de
massa, e a expressão da quantidade de movimento relativística será:
p
m0 v
v2
1 2
c
Onde m0 é a massa de repouso deste corpo, isto é, sua massa medida por um
referencial que está em repouso em relação ao mesmo. Note que para velocidades
muito menores que a da luz (c), a expressão da quantidade de movimento se reduz à
forma clássica: p  m0v .
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

Assim como a medida do comprimento se reduz e a do tempo se amplia, a massa
de um corpo aumenta com a velocidade em relação a determinado referencial.

A expressão relativística da massa m de um corpo, observando a expressão da
quantidade de movimento relativística, será:
m
m0
2
Massa relativística
v
1 2
c

É de se notar desta expressão, que, se formos aumentando a velocidade da
partícula de tal forma que v = c, o denominador será zero e, assim, sua massa
tenderia a infinito, algo sem sentido físico. Isso reforça de uma forma mais
concreta a ideia:
A velocidade da luz no vácuo (c) é a maior velocidade
possível para um corpo.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

Abaixo temos um gráfico da razão m / m0 em função da velocidade do corpo (em
múltiplos de c). Note que, à medida que o corpo vai atingindo a velocidade da luz,
sua massa aumenta até o limiar de massa infinita v=1,0c (situação em que a
função diverge para infinito):
m/mº
7
6
5
4
3
2
1
Velocidade
0
0,20c 0,40c 0,60c 0,80c
1,0c
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Exemplo 3
Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo v
= 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse
referencial:
A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?
B) A massa dessa partícula?
C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?
Resolução
A) Basta aplicar a equação do momento relativístico:
p
m0 v
2
v
1 2
c
•

2.106.2,4.108
(2,4.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
4,8.102

 800kg.m / s
(0,6)
Note que, pela física clássica, esta resposta seria apenas o numerador (480 kg.m/s),
ou seja, 60% do valor relativístico.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
B) Basta aplicar a expressão da massa relativística:
m
m0
2

v
1 2
c
2.106
(2,4.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
2.106

 3,3.106 kg
(0,6)
C) Aplicando novamente a expressão da massa relativística para v = 2,9.108m/s:
m
m0
v2
1 2
c

2.106
(2,9.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
 1,4.105 kg
Os resultados dos itens B e C mostram a tendência para o infinito da massa da
partícula. No item B, a massa da partícula é 1,7 vezes sua massa de repouso,
enquanto no item C, com um pequeno acréscimo na velocidade, sua massa se tornou
15 vezes maior que sua massa de repouso!
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
4. Energia relativística
Einstein demonstrou que massa e energia são duas quantidades equivalentes e
podem ser relacionadas pela famosa expressão:
E  m c2
em que m é sua massa, c a velocidade da Luz e E sua energia total. Por uma
substituição direta, temos as conversões:
1,0kg  9,0.1016 joules
1,0 joule  1,1.1017 kg
Para a massa de repouso m0, existe uma energia de repouso associada que vale:
E0  m0c 2
Se esse corpo se movimenta, ele adquire também uma energia cinética Ec, que pode
ser expressa levando em conta o acréscimo de massa Δm = m - m0 decorrente da sua
velocidade v, isto é:
EC  m.c2  (m  m0 ).c2  mc2  m0c2
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Como: m  m0 / 1  v 2 / c 2 , podemos, então, obter uma expressão para energia
cinética relativística desse corpo:
EC 
m0c 2
v2
1 2
c
 m0c 2
Energia de repouso (E0)
Energia total relativística (E)
Pode-se demonstrar que a energia expressa em termos da quantidade de movimento
relativística é dada por:
E  ( pc ) 2  (m0c 2 ) 2
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
5. Neutrinos mais rápidos que a luz?
O experimento OPERA (Oscillation Project with Emulsion-tRacking Apparatus) está
localizado a 1.400 metros de profundidade, no Laboratório Gran Sasso, na Itália. Um
detector ultra-sensível recebe um feixe de neutrinos disparado do laboratório CERN, na
Suíça - onde está o famoso LHC (Large Hadron Collider) - que está localizado a mais
de 730 quilômetros de distância.
O que os pesquisadores concluíram em 2011 é que os neutrinos estão chegando
60 nanossegundos antes do que deveriam. E isso só pode ser possível se eles
estiverem viajando a uma velocidade maior do que a da luz !! Seguem aí alguns links de
portais de notícias relatando tal acontecimento:
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=neutrinos-viajarmais-rapido-luz&id=010130110923
http://veja.abril.com.br/noticia/ciencia/neutrinos-voltam-a-superar-velocidade-da-luz
http://oglobo.globo.com/ciencia/neutrinos-mais-rapidos-que-luz-ainda-desafiam-einstein3266089
FÍSICA, 30 ano
Relatividade

Quem tiver mais curiosidade e um pouco de habilidade em inglês pode observar o
trabalho original publicado:
http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1109/1109.4897.pdf
Esse acontecimento deixou uma pergunta na sociedade científica que não quer
calar: A relatividade especial precisa ser corrigida ou os Neutrinos são uma
exceção na natureza?
FIM
Imagem: Professor Albert Einstein, University of Berlin /
The Solar Eclipse of May 29, 1919, and the Einstein
Effect," The Scientific Monthly 10:4 (1920), 418-422, on
p. 418 /Public Domain

Tabela de Imagens
Slide
Autoria / Licença
3a (a) Sir Godfrey Kneller / Retrato de Sir Isaac
Newton / Public Domain.
3b (b) Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann /
Library of Congress, Prints & Photographs
Division, [reproduction number LC-USZC4-4940]
/ Public Domain.
5 Mia5793 / Public Domain.
7a
7b
9
12
13
31
Link da Fonte
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isa 26/03/2012
ac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg
26/03/2012
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_
Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Taking_ 26/03/2012
the_train,_transit,_subway_or_underground..jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aufbau 26/03/2012
(a) FL0 at de.wikipedia / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported -Michelson-Interferometer.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Michel 26/03/2012
(b) Alex-engraver / Public Domain.
son_stellar_interferometer.svg
Fotografia de Albet Eintein / Doris Ulmann /
26/03/2012
Library of Congress, Prints & Photographs
Division, [reproduction number LC-USZC4-4940] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_
Einstein,_by_Doris_Ulmann.jpg
/ Public Domain.
Wouterhagens / Creative Commons Attribution- http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwa 26/03/2012
tch_A.jpg
Share Alike 3.0 Unported.
Wouterhagens / Creative Commons Attribution- http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stopwa 26/03/2012
tch_A.jpg
Share Alike 3.0 Unported.
Professor Albert Einstein, University of Berlin /
26/03/2012
The Solar Eclipse of May 29, 1919, and the
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albert_
Einstein Effect," The Scientific Monthly 10:4
Einstein_photo_1920.jpg
(1920), 418-422, on p. 418 /Public Domain