Teoria de erros
Análise Numérica
F (2,2,-1,1)
F (2,5,-3,2)
Calculo do erro.
Conhecida duas aproximações

Erro da menos precisa.
Seja 3.141 e 3.14159265359 dois valores aproximados de .
e.m.a.
3.1415926535
3.141

erro
3.1415926536
Calculo do erro.
Conhecida duas aproximações

Erro da menos precisa.
Seja 3.142 e 3.14159265359 dois valores aproximados de .
3.14159
3.141
3.14160

e.m.a.
3.142
erro
Apresentação da solução

Seja a=3.654803 o valor aproximado da
solução de um problema com
Δa=0.310-2 (< 0.510-2 ⇒ 2 c.d.c)
3.654803
3.65
3.655
← ≈ 0.5 10-2 →
←
6
a melhor
←0.310-2 →
≈ 0.810-2
Análise Numérica - Teoria de erros
→
Apresentação do erro

b=90.6304 ± 0.9522510-1
(resultados da máquina)
90.6304
←
mais fácil
7
0.9522510-1 →
←
0.9610-1
←
110-1
Análise Numérica - Teoria de erros
→
→
Máquinas de calcular
“overflow”
F(10,4,-9,9)
0.9435 × 105 × 0.8125 × 105 →0.7666 ×1010  109
0.76659375 ×1010
Se fosse subtituído por xmax=0.9999 ×109 :
GRANDE
Erro absoluto=| 0.76659375 ×1010 -0.9999 ×109|  0.67 ×1010
0.67 1010
 0.88  1
Erro relativo 
10
0.76610
GRANDE
8
Análise Numérica - Teoria de erros
Máquinas de calcular
“underflow”
F(10,4,-9,9)
0.9435 × 10-5 × 0.8125 × 10-5 →0.7666 × 10-10  0.1×10-9
0.76659375 ×10-10
Se fosse subtituído por 0 (zero):
PEQUENO
Erro absoluto
=| 0.76659375 ×10-10 -0|  0.77 ×10-10
Erro relativo
0.77 10-10

1
-10
0.7610
GRANDE
9
Análise Numérica - Teoria de erros
Máquinas de calcular
Novos erros são introduzidos
F(10,4,-9,9)
0.3375×103 + 0.9128×103 →0.1250 × 104
0.12503 ×104
Erro absoluto () = 0.3 × 100
Erro relativo
 
   0.3  0.3 10 -3
 A
4
0
.
1

10
 
10
Análise Numérica - Teoria de erros
1
 M
2
Fenómeno de cancelamento
0.51325368× 100
EXACTO
0.14466 × 10-1
0.13404466 × 102
0.13407 × 102
(3.754 + 9.653 - 0.002534 - 13.39)  35.48
0.1341 × 102
  0.3 10-2

0.3 10-2
 0.3 10-3
0.1102
0.13407466 × 102 → 0.1341 × 102
  0.5610-2

0.5610-2
 0.5610-3
0.1102
APROXIMADO
11
0.2 × 10-1
  0.5610-2

0.5610-2
 0.56100
-1
0.110
0.7096× 100
  0.2 100
0.2 100

 0.4 100
0
0.5 10
Análise Numérica - Teoria de erros
Propriedade associativa
deixa de ser válida
(da esquerda para a direita)
0.3378× 103
EXACTO
0.33789435 × 103
0.3378456 × 103
0.3375 × 103 + 0.3456 +
0.04875
0.3378 × 103
0.33784875× 103→0.3378× 103
0.33770565× 103→0.3377× 103
Erro introduzido
+0.456×10-1
+0.4875×10-1
Erro acumulado
+0.456×10-1
+0.9435×10-1
+0.0565×10-1
+0.1 ×100
APROXIMADO
12
Análise Numérica - Teoria de erros
-0.09435
Propriedade associativa
deixa de ser válida
(da direita para a esquerda)
0.3378 × 103
EXACTO
0.3
-0.04560
0.04875
-0.09435
+ 0.3375 × 103
+ 0.3456
-0.4560 × 10-1
0.3000× 100
0.3378× 103
Erro introduzido
0
0
0
Erro acumulado
0
0
0
APROXIMADO
13
Análise Numérica - Teoria de erros