Mínimos Quadrados
Laboratório Básico I
Prof. Jaime Urban
Mínimos Quadrados
• Em muitas circunstâncias desejamos obter a reta que
passa por certo número de pontos (dados);
• Em uma situação ideal os dados estariam todos
alinhados em uma reta; entretanto, devido a erros
sistemáticos ou aleatórios eles estão deslocados para
cima ou para baixo de suas posições ideais;
• Mínimos quadrados é um modelo estatístico que permite
determinar o coeficiente linear e o coeficiente angular de
uma reta a partir da minimização da soma dos
quadrados dos resíduos.
Mínimos Quadrados - excel
35
30
Y
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
X
8
10
Mínimos Quadrados
y = 2.9167x + 4.6389
R² = 0.9786
35
30
Y
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
X
8
10
Mínimos Quadrados
Coeficiente Angular
m
N  ( xi yi )   y j  xk
i
j
k
N  xk2   x j  xk
k
j
k
Coeficiente linear
b
2
x
 i  y j   xi  ( x j y j )
i
j
i
j
i
j
k
N  xi2   x j  xk
Mínimos Quadrados
2
i
N  ( xi yi )   y j  xk
i
j
b
k
N  x   x j  xk
2
k
k
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
Y
8
9
14
15
20
24
26
27
30
i
XY
j
8
18
42
60
100
144
182
216
270
1
4
9
16
25
36
49
64
81
j
i
j
k
45
m
m
173
1040
285
((9*1040)-(173*45))/((9*285)-(45*45))
2.916667
j
y = 2.9167x + 4.6389
R2 = 0.9786
30
25
20
15
10
5
0
0
Sum
j
i
35
X*X
i
j
N  xi2   x j  xk
k
Y
m
 x  y   x  (x y )
2
4
6
8
10
X
b
((285*173)-(45*1040))/((9*285)-(45*45))
4.638889
Matlab
clear; close all;
% Exemplo 1 – ajuste linear
x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
y = [8,9,14,15,20,24,26,27,30];
n = 1;
p = polyfit(x,y,n);
xi = 0:0.1:10;
yi = polyval(p,xi);
figure(1);
plot(x,y,'*',xi,yi);
%Exemplo 2 – polinomio de grau 4
x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
y = sin(x)+rand(1,length(x));
n = 4;
p = polyfit(x,y,n);
xi = 1:0.1:9;
yi = polyval(p,xi);
figure(2);
plot(x,y,'*',xi,yi);
Matlab
35
2.5
30
2
25
1.5
20
1
15
0.5
10
0
5
-0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9