CONTROLE
AVANÇADO
Prof. André Laurindo Maitelli
DCA-UFRN
IDENTIFICAÇÃO DE
SISTEMAS
DINÂMICOS
Introdução
• “É a determinação de um modelo matemático que
represente os aspectos essenciais do sistema,
caracterizado pela manipulação dos sinais de
entrada e saída que estão relacionados através de
uma função de transferência contínua ou discreta”
• “É a determinação, com base em entradas e saídas,
de um sistema em uma classe de sistemas
especificados, ao qual o sistema em teste é
equivalente”.
• Para processos industriais, o modelo pode ser
obtido a partir do tratamento das medidas
coletadas através de uma realização experimental
Introdução
incertezas
entrada
Processo
saída
Técnicas de
Identificação
Modelo matemático
do processo
Etapas
• Planejamento Experimental
– o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema
– um bom método de identificação deve ser insensível às
características do sinal de entrada
• Seleção da Estrutura do Modelo
– pode ser feita a modelagem usando leis físicas
– a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se
tem nenhum conhecimento sobre o processo
– pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento
• Estimação de Parâmetros
– baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma
classe de modelos e um critério
• Validação
– verificação da adequação do modelo escolhido
Laço de Identificação
conhecimento
a priori
Planejamento
Experimental
Dados
Conjunto de
modelos
Critério
Avaliação do modelo
Não OK
Validação
usar
OK
revisar
* O modelo pode ser
deficiente devido a:
- falha
do
procedimento
numérico
- critério mal escolhido
- conjunto
de
modelos
inapropriado
- dados não informativos
Procedimentos
• Diferentes procedimentos para a geração do
sinal de entrada, medição da saída e
armazenamento dos dados:
–
–
–
–
Teste de resposta ao degrau
Teste de resposta em freqüência
Off-line
On-line
Procedimentos
• Identificação de um processo pelo teste de
resposta ao degrau:
entrada
Processo
saída Armazenamento
de dados
• O teste só tem validade para processos lineares ou
não-lineares linearizados em pontos de operação
• Não permite a identificação de modelos de ordem
superior, pois o degrau tem pobre composição em
freqüência
Procedimentos
• Identificação de um processo pelo teste de
resposta em freqüência:
Analisador
de Espectro
módulo
entrada
Processo
saída
fase
• Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável
na entrada do processo
• Analisa-se as curvas de resposta em freqüência,
identificando-se pólos e zeros
Procedimentos
• Identificação off-line:
– Excita-se o processo e armazenam-se as
medidas de entrada e saída para aplicação e
avaliação a posteriori dos algoritmos não
recursivos
– É necessário o conhecimento da estrutura do
modelo, envolvendo ordem e atraso de
transporte
Procedimentos
• Identificação on-line:
– Excita-se o processo e trata-se em tempo real as
medidas de entrada e saída obtidas
– A aplicação em tempo real dos algoritmos de
identificação é interessante para o rastreamento
dos parâmetros variantes no tempo
– Supera uma desvantagem da aplicação off-line
que é a necessidade de armazenamento de uma
grande quantidade de dados.
Estimação de Parâmetros
u(k)
y(k  1)  f (, y(k), u(k))
y(k)
ESTIMADOR
ˆ
Serão considerados modelos ARMAX:
y(k)  a 1 y(k  1)  a 2 y(k  2)  ...  a n y(k  n)  b1u(k  1)  b 2 u(k  2)  ...  b m u(k  m)  e(k)
Método dos Mínimos Quadrados
Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:
u(0), u(1),....,u(N)
 a1 
a 
 2
  
 
a n 
  
 
 b1 
b 
 2
  
b 
 m
y(0), y(1),....,y(N)
Definindo:
 y(1) 
 e(1) 
 y ( 2) 
 e ( 2) 
 e

Y
  
  




y
(
N
)
e
(
N
)




Tem-se:
  y(1  n )
  y(0)
  y(1)
  y( 2  n )
X





 y( N  1)   y( N  n )
Y  X  e
 u (0)  u (1  m) 

u (1)
 u (2  m) 






 u ( N  1  u ( N  m) 
Exemplo
y(k)  ay(k  1)  bu (k  1)  e(k)
u (0) 
 y(1)    y(0)
 e(1) 
 y(2)    y(1)
 a  e(2) 
u
(
1
)


   



   

  b    

 



y
(
N
)

y
(
N

1
)
u
(
N

1
)
e
(
N
)

 



Y  X  e
Método dos Mínimos Quadrados
• Problema a ser resolvido:
– Dados Y e X, obter θ
• Solução: utilizar método dos mínimos quadrados.
Escolher θ que minimize a função erro J:
N
J   e 2 (k )  e T e
k 1
J  Y  X Y  X
T
Mínimo quando:
J
0
 ˆ

Y T Y  Y T X   T X T Y   T X T X  0




ˆ  X T X

1
XT Y
 2X T Y  2X T Xˆ  0
Método dos Mínimos Quadrados

ˆ  X X
T

1
T
X Y
Min Σ
yr
yp
x
• Observações:
– A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudoinversa, for não-singular
– A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve
garantir a existência da não-singularidade
– Se não houver a presença de incertezas (ruídos)
podemos achar ˆ em N=n+m passos
– A matriz X cresce a medida que N cresce
Exemplo
y(k)  0.8y(k  1)  u(k  1)
Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada:
u(0)=1 e u(1)=-1
Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1
y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8
 1 
Y


1
.
8


X X
T
1
1
 0
X

 1  1
1 1 1
0  1  0
XT X  





1  1  1  1 1 2
 2  1



1
1


ˆ  a    2  1 0  1  1  0.8
b  1 1 1  1  1.8 1.0 
  


  
Propriedades Estatísticas do
Estimador
• Assumindo que e(k) é uma variável
aleatória independente, gaussiana com
média zero e variância σ2, ou seja,
Ee(i)e( j)  2 ij
Ee(k)  0
1) Média

ˆ  X T X


1

 X X  X X X e
Eˆ  E  EX X X E{e}
X T X  e  X T X
ˆ    X T X

1
1
T
1
T
T
T
X e
Mas E{e}  0
Logo:

E ˆ  
1
T
T
Propriedades Estatísticas do
Estimador
2) Covariância
   
  E ˆ   ˆ  

T


T
1
1

T
T
T
T
  E  X X  X e X X  X e 




 X X
T
Assim,

1
T
 
T
T
X E ee X X X

 X X
T


1
1
2 I
Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias
de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ
Propriedades Estatísticas do
Estimador

Para N observações:

N
2
X X


 N 
T
  XTX 


lim   lim
N 
N  N  N 


2
Calculando:
Se o estimador for consistente:
1
 XTX 

lim 
N  N 


em que Γ é uma matriz constante não-singular
Então,
lim   0
N 
1
1

Propriedades Estatísticas do
Estimador
Conclusão:
Se Eˆ   e
Então
lim   0
N 
ˆ   quando N  
O estimador é consistente
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
• Ideal para aplicações on-line em sistemas
com parâmetros constantes e desconhecidos
 y(1)    y(0)
 y(2)    y(1)

 
 
 



 
y
(
N
)

  y( N  1)
   


 
y(N  1)   y(N)

 y(1  n )

u (0)


 y( 2  n )

u (1)







 y( N  n )


 u ( N  1) 

  y(N  1  n ) 


u (N)

Generalizando, temos:
 Y( N)   X( N) 
 E( N) 
          

 



T
 y( N  1)  x ( N  1)
e( N  1)
u (1  m) 
 e(1) 
 e(2) 
u (2  m) 



  






u ( N  m) 
e
(
N
)



  




u (N  1  m )
e
(N

1)


Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Considerando:
Z(I)  ZI
Já sabemos que:
ˆ N  X TN X N

Logo, com (N+1) amostras:

ˆ N 1  X TN 1 X N 1
ˆ N 1
1
X TN YN  PN X TN YN

ˆ N 1  X TN 1 X N 1

1
X TN 1 YN 1
 YN 
1
X TN 1   
 y N 1 


 T
  X N  x N 1




 XN 
  


 x TN 1  


1
X
T
N
 x N 1
ˆ N 1  X TN X N  x N 1 x TN 1

 X
1
 YN 
 


 y N 1 
T
N
YN  x N 1 y N 1

Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Lema de Inversão de Matrizes:
Sejam Anxn
bnx1, cnx1
A, (A+bcT) matrizes não-singulares
Então:
A  bc 
T 1
1

1
 A  1 c A b
T

1
A 1bcA 1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo

PN 1  X X N  x N 1 x
Definindo:
T
N

1
T
N 1
E usando o lema de inversão de matrizes, com:
A  XTN X N , b  x N1 , c T  x TN1
Temos que:

PN 1  X X N
T
N

1

 1 x


T
N 1
X
PN 1  I  1  x
T
N
T
N 1
XN

1
 X X
1
x N1
PN x N 1

1
T
N

1
N

x N 1 x
PN x N 1 x TN 1 PN
T
N 1
X
T
N
XN

1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo

ˆ N1  PN1 XTN YN  x N1 y N1
Assim:


ˆ N 1  I  1  x TN 1 PN x N 1

1




 1  x
1
ˆ N 1  ˆ N  1  x TN 1 PN x N 1

1
T
N 1

PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN  x N 1 y N 1
ˆ N 1  PN X TN YN  PN x N 1 y N 1  1  x TN 1 PN x N 1
ˆ N 1  ˆ N  1  x TN 1 PN x N 1


1


PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN  x N 1 y N 1


PN x N 1 PN x N 1 y N 1  PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN  PN x N 1 x TN 1 PN x N 1 y N 1


PN x N 1 1  x TN 1 PN x N 1 y N 1  x TN 1 PN X TN YN  x TN 1 PN x N 1 y N 1
Finalmente, temos que:

ˆ N 1  ˆ N  1  x TN 1 PN x N 1

1

PN x N 1 y N 1  x TN 1 ˆ N



Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Assim:


1
K  1  x T P x
PN x N 1
N
N 1 N N 1

T ˆ
ˆ
ˆ




K
y

x
 N 1
N
N
N 1
N 1  N

T
P

I

K
x
N N 1 PN
 N 1




Em que:
x TN1   y(N)   y(N  n  1)  u(N)  u(N  m  1)
É chamado de regressor e contém as informações de
entrada e saída
Seleção de P0 e ˆ 0
1) Calculando os primeiros k pontos:

ˆ k  X Tk X k

1
T
k
X Yk

Pk  X X k
T
k

1
2) ˆ 0 arbitrário
P0  I
Na k-ésima iteração os valores de ˆ k e Pk se aproximam
daqueles calculados em 1) se α→infinito
Seleção de P0 e ˆ 0

1
k 1
Pk  P

 xkx
1
k 2
Pk  P


T 1
k
 x k 1 x
Pk1  Pk12  x k1x Tk1
T
k 1
 xkx

T 1
k

Pk
 P
1
0
 x 1 x  ....  x k 1 x
T
1

T
k 1
Pk  Po1  X Tk X k
 xkx

1

T 1
k

1
Seleção de P0 e ˆ 0

ˆ k  Pk x Tk Yk
ˆ k  Pk X Tk 1

ˆ k  Pk X Tk 1Yk 1  x k y k


ˆ k  Pk  X Tk  2



 x k 1



Yk  2 
  x y 
k k



 y k 1 



ˆ k  Pk X T0 Y0  x1 y1  ....  x k y k

ˆ k  Pk P01ˆ 0  XTk Yk


Yk 1 
 x k   
 y k 

Seleção de P0 e ˆ 0
Conclusão:
Para P0  I (α grande) e ˆ 0 arbitrário:
P01  0
ˆ k  Pk X Tk Yk

Pk  X Tk X k

1
Isto significa que, nestas condições, o método recursivo
aproxima-se do exato.
Excitação Persistente
• O sinal de controle deve ser escolhido de
forma a excitar todos os modos do sistema;
• Para tanto deve ser rico em freqüências
• Um sinal muito utilizado na prática é o
PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por
possuir estas características
+1
-1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
• Utilizado para sistemas variantes no tempo;
• A idéia é dar um maior “peso” aos dados
mais atuais;
• Deve-se ter um cuidado na escolha do fator
de esquecimento;
• Alternativamente, pode-se utilizar outros
métodos como o “reset” da matriz de
covariância.
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
Definindo:
N
J N   N  k e 2 (k)  N 1e 2 (1)  N 2 e 2 (2)  ....  e 2 ( N  1)  e 2 ( N)
k 1
N 

N 1
e(1)
N2

e(2)  e( N)

T
J N  E TN E N

ˆ N  X TN X N

1
X TN YN
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
N 1
J N 1   N 1k e 2 (k )
k 1
 N 1 

Assim,
N 1
N2

e(1)
 
E N 1
 E N 


  
e( N  1)


e(2) 
e( N)  e( N  1)

T
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
  YN    X N 
 E N 

 



          
 y
  xT 
 e

N

1
N

1
N

1

 




ˆ N 1  X TN 1 X N 1
ˆ N 1


   X TN





1
X TN 1 YN 1
 x N 1
 X N 


  
 x T 
 N 1  

ˆ N 1  X TN X N  x N 1 x TN 1
 X
1
T
N
1

 X TN
 x N 1
YN  x N 1 y N 1

  YN 


  
 y

N

1



Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento

PN 1  X X N  x N 1 x
Definindo:
T
N

1
T
N 1
E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,
obtém-se:

1
T
K N    x N 1 PN x N 1 PN x N 1
ˆ
T ˆ
ˆ




K
y

x
 N 1
N
N
N 1
N 1  N

1
PN 1  I  K N x TN 1 PN







Usualmente λ entre 0.995 e 1

0   1
Seleção da Estrutura do Modelo
• A seleção da estrutura de um modelo, no
caso de sistemas monovariáveis limita-se à
determinação da ordem do modelo e a
determinação do atraso de transporte;
• A partir desta afirmação surge um
compromisso entre a capacidade de
representação da dinâmica essencial do
sistema e um número adequado de
parâmetros que possibilite menor esforço
para o processamento dos algoritmos de
identificação e controle;
Seleção da Estrutura do Modelo
• Definindo:

1 N
J N   y(k  1)  x Tk 1ˆ k
N k 1

2
• Podemos utilizar o critério de Akaike para
determinar a melhor estrutura:
AIC  N lnJ N   2p
• em que N é o numero de medidas realizadas
durante o experimento e p é o número de
parâmetros utilizados no modelo estimado;
Seleção da Estrutura do Modelo
• O critério é utilizado da seguinte maneira:
– inicia-se com a utilização de um modelo de
baixa ordem, n=m=1, por exemplo;
– aumenta-se a ordem do modelo estimado e o
critério é avaliado para cada incremento na
ordem, utilizando um determinado conjunto de
medidas;
– A escolha da estrutura adequada é baseada na
menor taxa de variação do critério.