GEOGEBRA
NA SALA DE AULA
Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE).
Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE).
Agosto/2014
Introdução
Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos
de geometria e álgebra em uma única interface.
Sua distribuição é livre (download e uso gratuitos).
Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado
em ambiente de sala de aula.
Ele permite realizar construções
geométricas com pontos, retas,
segmentos, polígonos, etc., assim
como inserir funções e alterar
esses objetos dinamicamente.
Equações e coordenadas também
podem ser diretamente inseridas.
Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria
com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
Elementos básicos
Tela inicial
1. Menus
2. Visualização
Aqui o usuário pode
visualizar os objetos
criados no Geogebra.
2. Visualização
Além
da
janela
de
visualização inicial, existem
outros tipos que podem ser
acessados (i) na barra
lateral à extrema direita ou
(ii) na barra de menus.
3. Barra de ferramentas
Grupos de objetos e ações disponíveis.
3. Barra de ferramentas
3. Barra de ferramentas
3. Barra de ferramentas
3. Barra de ferramentas
Daremos ênfase aos seguintes recursos:
3. Barra de ferramentas
Daremos ênfase aos seguintes recursos:
4. Campo de entrada
Aqui podemos definir objetos como funções e pontos,
além de realizar comandos algébricos. Clicando no botão
com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.
5. Janela de Álgebra
Nessa janela, podem ser
visualizadas fórmulas e objetos
matemáticos
inseridos
no
campo de visualização.
Exercícios
Motivação
Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra
e foram definidos com base na lista de assuntos de
Matemática nos quais os alunos da Escola Jarbas
Passarinho possuem mais dificuldades.
Exercício 1 – definição
Demonstração do cálculo da área de um:
a) Paralelogramo
b) Triângulo
c) Losango
d) Trapézio
Assunto: Geometria Plana (apoio para
ensino da Geometria Espacial);
Exercício 1 – passo a passo
1. Criar os polígonos.
Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2
triângulos.
2. Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações
necessárias para concluir a demonstração.
Exercício 1 – resultados
a)
b)
c)
d)
Exercício 1 – resultados
a)
b)
c)
d)
Exercício 2 – definição
Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas.
Assunto: Relações Métricas no
Triângulo retângulo
Exercício 2 – passo a passo
Prova I
1. Construir um quadrado composto de outros dois
quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos;
2. Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos
triângulos.
Prova II
1. Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e
base maior c;
2. Calcular a área do trapézio;
3. Igualar a área do trapézio à área das figuras que o
compõem.
Exercício 2 – resultado
Exercício 3 – definição
Provar:
a) Lei dos Senos
Assunto: Lei do seno e do
cosseno
Exercício 3 – passo a passo
Lei dos Senos
1. Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos
que determinam arcos;
2. Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice,
traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura
a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.
Exercício 3 – resultado
Exercício 4 – definição
Outras
formas
de
calcular
a
área
de
um
triângulo:
a) Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo
localizado entre eles;
b) Do semi-perímetro e do raio inscrito.
Assunto: Geometria Plana (apoio
ao ensino da Geometria Espacial).
Exercício 4 – passo a passo
1. Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito,
área, perímetro e semi-perímetro.
2. Criar os casos.
a) Utilizar altura em termo do seno
b) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.
Exercício 4 – resultado
Exercício 5 – definição
Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular
Assunto: Geometria Plana (apoio
ao ensino da Geometria Espacial).
Exercício 5 – passo a passo
1. Definir ângulos internos e polígonos regulares.
2. Criar polígonos regulares
3. Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a
base correspondente aos lados dos polígonos regulares.
Exercício 5 – resultado
Exercício 6 – definição
Provar ângulos notáveis.
Assunto: Relações Métricas no
Triângulo retângulo
Exercício 6 – passo a passo
1. Definição de Seno, Cosseno e Tangente.
2. Definição das propriedades de um triângulo equilátero.
3. Criação de triângulos especiais.
i. Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero.
ii. Triângulo a partir da diagonal de um quadrado.
4. Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.
Exercício 6 – resultado
Exercícios 7 e 8 – tema
Razões trigonométricas na circunferência.
Assunto: Trigonometria no ciclo
Exercícios 7 e 8 – resultado
Exercício 7 – definição
Construção de: Cosseno, Seno e Tangente.
Exercício 7 – passo a passo
Cosseno
1. Criar o círculo trigonométrico
2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que
passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse
ponto de cosseno.
Exercício 7 – resultado
Exercício 7 – passo a passo
Seno
1. Criar o círculo trigonométrico
2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que
passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse
ponto de seno.
Exercício 7 – resultado
Exercício 7 - passo a passo
Tangente
1. Criar o círculo trigonométrico
2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que
passa pelo vértice na circunferência.
3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto
P(1,0)
4. Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até
a reta tangente e nomear o segmento apropriado de
tangente.
Exercício 7 – resultado
Exercício 8 – definição
Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente.
Exercício 8 – passo a passo
Secante e Cossecante
1. Criar o círculo trigonométrico;
2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que
passa pelo vértice na circunferência;
3. Criar a reta tangente à circunferência no vértice do
triângulo retângulo;
4. O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta
OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos
secante.
Exercício 8 – passo a passo
Cotangente
1. Criar o círculo trigonométrico;
2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro
no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que
passa pelo vértice na circunferência;
3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto
P(0,1);
4. Prologar o segmento centro - vértice na circunferência
até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado
de cotangente.
Exercício 8 – resultado
Exercício 8 – resultado
Exercício 9 – definição
Explicar variações numa função afim, quando alterados o
coeficiente angular a ou o coeficiente linear b, e numa função
quadrática, quando se alteram os valores de a, b, c.
Exercício 9 – passo a passo
1. Definir a função que será criada;
2. Criar, dependendo da função, dois ou três controles
deslizantes;
3. Criar a função desejada;
4. Mostrar a mudança nas variáveis, quando alterado o
controle deslizante.
Exercício 9 – resultado
Exercício 10 – definição
Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial
Assunto: Função Logarítmica e
Exponencial
Exercício 10 – passo a passo
1. Criar a reta y = x
2. Criar o controle deslizante “a” no intervalo desejado.
3. Criar a função exponencial f(x) = a^x
Obs.: Com a variação do controle deslizante podemos mostrar o
gráfico de vários exemplos da função logarítmica.
Exercício 10 – resultado
Caso a > 1
Exercício 10 – resultado
Caso 0 < a < 1
Exercício 11
Simetria.
Assunto: Simetrias
Exercício 11 – definição
Definições:
1.
2.
3.
4.
Rotação
Translação
Reflexão
Simetria axial
Exercício 11 – passo a passo
Rotação
1. Criar o polígono e o ponto que se deseja rotacionar;
2. Rotacionar o polígono através da barra de ferramentas.
Translação
1. Criar o polígono e o vetor tomado como base;
2. Transladar através da barra de ferramentas.
Reflexão
1. Criar o polígono, as retas e/ou o ponto que será tomado
como referência;
2. Refletir através da barra de ferramentas.
Exercício 11 – passo a passo
Simetria axial
1. Criar o objeto e a reta que será tomada como base;
2. Refletir o objeto utilizando a barra de ferramentas.
Simetria radial (criação da estrela)
1. Criar o quadrilátero BHID’’;
2. Criar ângulos com amplitude fixa de 72º e retas
correspondentes;
3. Refletir o objeto utilizado a barra de ferramentas.
Exercício 11 – resultado
Rotação.
Exercício 11 – resultado
Translação.
Exercício 11 – resultado
Reflexão.
Exercício 11 – resultado
Simetria axial.
Exercício 11 – resultado
Simetria radial.
GEOGEBRA
NA SALA DE AULA
Instrutores:
Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) – [email protected]
Hugo Leonardo (DM/UFRPE) – [email protected]
Coordenador do projeto:
George Valença (DEINFO/UFRPE) – [email protected]
Agosto/2014