Mara Sarro Pereira– Faculdade de Engenharia de Bauru– Dep. de Eng. Civil – [email protected]
Rubens de Figueiredo Camargo – Faculdade de Ciências – Dep. de Matemática – [email protected]
Introdução
Em diversas esferas de nosso meio, surgem problemas em que são necessárias
descrições de funções a partir do conhecimento prévio de suas taxas de variação (em termos
matemáticos, suas derivadas), isto é, da solução de uma equação diferencial.
Nas últimas décadas vários autores ressaltaram que as derivadas e integrais de ordens
não inteiras são muito satisfatórias na descrição das propriedades de materiais utilizados,
tais como os polímeros. Foi provado que o assim chamado cálculo fracionário acaba por ser
ainda mais útil em certas situações para descrição de modelos e propriedades que o já
conhecido cálculo de ordem inteira.
As derivadas fracionais fornecem um excelente instrumento para as descrições de
propriedades hereditárias e de memória de diversos materiais e processos. Essa é a principal
vantagem das derivadas fracionais quando comparadas com os clássicos modelos de
integração habituais.
A maneira mais comum de utilização do cálculo fracionário é substituir a derivada de
ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que descreve um determinado
fenômeno, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, esse método nos conduz a
equações diferenciais de ordem não-inteira e a necessidade de resolvê-las. Usualmente, a
solução de uma equação diferencial fracionária é dada em termos de um parâmetro (ordem
da derivada) e a solução da respectiva equação de ordem inteira é recuperada como caso
particular deste parâmetro e em muitos casos a ordem da derivada que torna a solução da
equação mais próxima da realidade não é inteira.
No presente trabalho, estudamos o problema do oscilador harmônico simples em sua
versão fracionária e mostramos que sua solução, para diferentes valores da derivada, refina
a solução do oscilador harmônico amortecido, isto é, com a diminuição da ordem da
derivada conseguimos recuperar o efeito de todos os atritos existentes em um sistema real.
Oscilador Harmônico Fracionário
Sabemos que a equação diferencial
na qual m, k, m. são constantes positivas, é a equação diferencial que descreve o
deslocamento (elongação) de um sistema massa-mola com massa m, sujeito a uma força do
tipo Hooke, k, em um meio onde o coeficiente de atrito tem módulo m e sujeito a uma força
externa f(t).
Resolvemos o caso do oscilador harmônico simples (m = 0 = f(t)), em sua versão
fracionária, isto é, resolvemos a equação
A derivada fracionária da equação anterior é a derivada de Caputo, a equação foi resolvida
através da metodologia da transformada de Laplace e a solução é dada por:
na qual
é a conhecida função de Mittag-Leffler dada por
Comportamento Gráfico
Note que, a medida que
diminuímos a ordem da
derivada, aumentamos
o amortecimento, o que
mostra que mudando a
ordem da derivada
conseguimos
incorporar, com grande
precisão, os atritos do
sistema.
Objetivo
O principal motivo de solucionar Equações Diferencias consiste em obter uma
previsibilidade melhor e mais detalhada das consequências do objeto que está sendo
estudado. O cálculo fracionário tem parte de sua importância fundamentada nas derivadas
de ordem não inteira, que refinam o procedimento e trazem uma melhor compreensão e
modelagem de fenômenos naturais, sendo de grande auxílio e importância atualmente.
Figura 1: Comportamento gráfico da função
Derivada Fracionária
Bibliografia
Podemos definir, a integral de ordem n da seguinte forma:
W. E. Boyce and R. C. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno”, Oitava Edição, LTC, Rio de Janeiro, (2006).
[2] R. F. Camargo, “Cálculo Fracionário e Aplicações”, tese de doutorado, IMECC UNICAMP, 2009.
[3] E. C. de Oliveira and J. E. Maiorino, “Introdução aos métodos da Matemática aplicada”, Editora
Unicamp.
[4] I. Podlubny, “Fractional Diferential Equations”, Technical University of Kosice, Slovak Republic,
Academic Press.
[5] D. C. Rosendo, “Sobre a função de Mittag Leffer”, Editora Unicamp, maio de 2008.
[6] H. Guidorizzi, “Um Curso de Cálculo”, Volume 2, 2001.
[1]
Mostramos que o operador integral de ordem n, definido pela equação anterior, pode
ser escrito como um integral simples (convolução de Laplace), da função f(t) com a função
Gel’Fand-Shilov,
, e desta forma definimos a integral fracionária como
Sabe-se que a derivada é o operador inverso à esquerda da integral, no entanto, não
aplicável à todos os casos.
Agradecimentos
Para tanto, Caputo desenvolveu um estudo cuja derivada é o operador inverso à
direita da integral, ou seja, sendo n – 1 < a < n, temos