Cálculo I
GABARITO EXTRAOFICIAL - P1-2015.1
OBS: Esse não é o gabarito oficial. O Gabarito Oficial será disponibilizado pelo Instituto de Matemática
em alguns dias.
1) Calcule os seguintes limites:
(a)
Resposta:
Pelas propriedades dos limites, podemos dizer que:
(I)
(II)
Fazendo por partes,teremos:
(I)
Sabemos que
Logo:
(II)
Podemos utilizar o Teorema de Sanduíche (Confronto). Pois a função seno é limitada entre 1
e -1. Daí , temos:
Ou seja,
. Assim, voltando no limite que a gente quer calcular, temos:
b)
Substituindo o
na função, teremos:
Como chegamos numa indeterminação desse tipo, podemos utilizar a regra de L’hôspital.
É, teremos que usar L’hôspital de novo!! Bora lá!
Como em baixo temos
denominador da função:
, devemos adaptar a equação para usar L’hôspital somente no
Temos uma indeterminação, do tipo 0/0 agora é só aplicar a regra.
Aplicando os limites novamente, teremos:
Voltando para **, temos que:
(2) Determine o valor de c para que a função
Justifique sua resposta:
Resposta:
Para a função ser contínua,
Assim teremos que
definida abaixo seja contínua em x=0.
Que é uma indeterminação. Podemos manipular a função de modo que a gente possa usar
L’hôspital usando logaritmos. Aplicando ln de ambos os lados, teremos:
Utilizando L’hôspital para esse logaritmo, teremos:
Logo:
2) Seja l a reta tangente à curva dada pela equação
triângulo formado por l e os eixos coordenados:
no ponto
. Calcule o
Reposta:
Para achar a reta tangente na função, devemos derivar implicitamente para achar y’. Temos:
No ponto
Logo, a equação da reta, será:
Os vértices do triângulo serão (0,0) e os pontos onde x=0 e y=0. Assim, teremos:
Para x=0
Para y=0
Como a área do triângulo é (base x altura)/2 , teremos:
3) Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1cm/s
e o raio da base do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10cm e o raio da base do cilindro é
de 6cm?
Resposta:
Temos o seguinte esquema:
Pelo teorema de Pitágoras:
Derivando a relação que achamos por Pitágoras dos dois lados, teremos:
A área lateral do cilindro pode ser calculada por:
Derivando dos dois lados, teremos:
4) Considere a função
três raízes reais distintas.
Mostre que a equação f’(x)=0 possui exatamente
Resposta:
Sabemos que os pontos onde f’(x)=0 são pontos críticos (máximos ou mínimos locais). O Teorema de
Rolle nos diz:
“Se uma função, contínua e derivável em [a,b], tiver f(a) = f(b), há um ponto c onde a derivada é zero
(f’(c) = 0).”
Nessa função vemos que existem 4 intervalos em que os pontos passam em f(x)=0 que são as raízes. São
elas (0,-1,-2 e -3).
Aí podemos afirmar que ente o intervalo [-3,-2] há um ponto com derivada zero, [-2,-1] e [-1,0] também
têm um ponto com a derivada zero. Logo, vemos que nesses intervalos existem 3 pontos críticos f’(x)=0.
Que tem os 3 já provamos, devemos agora provar que só temos os 3, e isso a gente pode fazer fazendo
o estudo do sinal da derivada.
Como um polinômio do 3° grau só pode ter no máximo 3 raízes, os 3 pontos críticos estão entre [-3,0],
que foram os que a gente a gente encontrou.
Se quiser ter certeza mesmo...
Fazer o estudo do sinal das derivadas é meio ruim porque temos um polinômio do 3° grau como
derivada, e não conseguimos determinar suas raízes, porém devemos provar pelo menos que para
valores maior que 0 a derivada será sempre positiva e para menores que -3 a derivada será sempre
negativa.
Fazendo
e quanto maior for o meu x maior será o valor da derivada, pois todos
os coeficientes são positivos e nunca tenderá a zero novamente.
Fazendo f’(-3) e f’(-4) veremos que será sempre menor que zero e cada vez mais vai diminuir então, não
terá mais derivada nula. Então podemos garantir que só teremos derivadas nulas no intervalo [-3,0].
Bons Estudos!!
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