CINEMÁTICA ESCALAR
Setor 1202
A FUNÇÃO DERIVADA
Prof.Calil
A palavra derivada nos remete à idéia de provir, advir, ser originário de algo. Realmente,
a função derivada é a equação originária de uma outra função destinando-se, entre outras
finalidades, a determinar o máximo ou o mínimo da grandeza expressa pela função original, ou
determinar o seu valor em determinado momento. É dentro deste contexto que nós vamos
analisar o que reepresenta na Física, uma equação derivada de outra equação básica.
1- A ORIGEM
Consideremos um ponto material que se desloca obedecendo à equação das posições:
S = 2.T 2. Na trajetória indicada na figura, aplicando a equação dada, determinemos
sua posição entre dois instantes, a saber ti = 1s e tf = 2s, tão como o deslocamento
efetuado neste intervalo de tempo. Sabendo quanto vale o deslocamento ΔS e
conhecendo o correspondente intervalo de tempo ΔT em que ele aconteceu, podemos
determinar a velocidade média V, que é o quociente entre ΔS e ΔT. Repetimos o
procedimento, mantendo o instante inicial igual a 1s, mas diminuindo o instante final
para 1,5s, 1,1s, 1,01s, 1,001s, de tal forma que ΔT vai tendendo a zero. Calculemos
entre cada novo intervalo de tempo, o valor da posição final, o ΔS e o valor da velocidade
média, sempre utilizando a equação dada S = 2.T2:
O intervalo de tempo do movimento tende a zero: ΔT
1s
2m

1,001s
2,004002m
1,01s
2,042m
1,05s
2,205m
0
1,1s
2,42m
1,5s
4,5m
2s
8m




V = ΔS/ΔT
6m/s
5m/s
4,2m/s
4,02m/s
4,002m/s
.......
......


T inicial
T final
Δ T
S inicial
Sfinal
ΔS
1s
1s
1s
1s
1s
1s
1s
2s
1,5s
1,1s
1,01s
1,001s
....
....
1,0s
0,5s
0,1s
0,01s
0,001s
.....
.....
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
8m
4,5m
2,42m
2,0402m
2,004002m
.......
.......
6,0m
2,5m
0,42m
0,0402m
0,004002m
.......
........
Vi
Vf
Assim, percebemos que quando ΔT vai tendendo a zero, o valor da velocidade média vai
tendendo a um valor determinado, que é 4 m/s. Portanto, podemos dizer que no limite para
ΔT tendendo a zero, o valor da velocidade média dada por ΔS/ΔT converge para o valor 4
m/s, que é o valor da velocidade instantânea do ponto, quando T = 1s.
2- NA PRÁTICA:
A operação realizada no exemplo anterior é o limite da função ΔS/ ΔT, para ΔT tendendo
a zero, que se escreve: lim
Vm =
lim ΔS/ΔT = Vinstantânea
ΔT
0
ΔT
0
Esse limite é a função derivada da função S = f (T), ou seja, a derivada da
função horária.
Nota-se a derivada de uma função Y = f(X) por dY/dX ou simplesmente por Y’
Não é simples efetuar o cálculo descrito em 1. Então, de maneira mais direta,
N
realizamos o cálculo da derivada de uma função, do tipo Y = AX , pela regra do tombo,
a saber:
MULTIPLICA-SE A FUNÇÃO Y = AxN pelo expoente N do X, E
SUBTRAI-SE UMA UNIDADE DO EXPOENTE N.
Exemplo: Y = 3X 4
Y’ ou dY/dX = 4. 3X4 -1
Y’ = 12 X 3
Podemos derivar novamente: Y’’ = 3.12X3-1 e Y’’ = 36Y2 .
A próxima função derivada será: Y’’’ = 72X. E como será então a derivada seguinte?
Adotando-se o mesmo procedimento:
Seja Y = aX. Na realidade temos Y = a X1. Então: Y’ = 1.aX1-1
Y’ = a . No exemplo: Y’’’ = 72X
Y’ = aX0 e
Y’ = 72
Quando a função é do tipo Y = a, temos: Y = aX0
Y’ = 0.aX0 e Y ’ = 0
RESUMINDO
A derivada de Y = aXN e Y’ = N.aXn-1
Na prática, a derivada de Y= aXn é Y’ =n.aXn-1 ; a derivada de Y = aX é Y’ = a
e a derivada de Y = a é Y’ = ZERO.
Exemplos: Y = 3X3  Y’ = 9X2 ; Y = 5X  Y’ = 5; Y = 168  Y’ = 0
3- REGRAS DE DERIVAÇÃO
a) A derivada de uma soma ou uma subtração é a soma ou subtração das derivadas dos
seus termos. Exemplo:
Y = 5X3 – 3X2 + 2X + 12  Y’ = 15X2 – 3X + 2 e Y’’ = 30X – 3 e Y’’’ = 30
b) Sejam U e V duas funções. No caso de ser Y = UV, temos:
Se Y = U.V, então Y’ = UV’ + VU’. Exemplo:
Se Y = (2X + 3). 8X2 , sendo U = 2X +3 e V = 8X2 então : Y’ = (2X + 3)16X + 2 (8X2) e
portanto Y’ = 48X2 + 48
c) Sejam U e V duas funções. No caso de ser Y = U / V, temos:
Se Y = U/V então Y’ = UV’ – VU’ / V2 . Exemplo:
Se Y = 2X2 – 2 / 3X + 2, com U = 2X2 – 2 e V = 3X + 2, então:
Y’ = (2X2 – 2)3 – (3X + 2 )(4X)  (3X – 2)2
Y’ = 6X2 – 6 – (12X2 + 8X)  9X2 - 12X + 4
Y’ =( -4X2 -8X – 6 )  ( 9X2 – 12X + 4)
d) A derivada da função: Y = senα é Y’ = cosα
e) A derivada da função Y = cosα é Y’ = - senα
4- APLICAÇÕES USUAIS
a) Cálculo de máximo ou mínimo:
Para se determinar o valor de X e Y que correspondem às coordenadas do ponto
que indica o máximo ou mínimo de uma função ( vértice da curva), basta derivar a
função, igualar a primeira derivada à zero, e obter nesta primeira derivada igualada à
zero, o valor de X que será a abscissa do ponto de máximo ou mínimo. Substituir este
valor de X na função original, e se obtém o correspondente valor de Y para o ponto
de máximo ou mínimo. Para se sabe se é máximo ou mínimo, observar a concavidade
da curva. Se for voltada para cima ( +ax2), será ponto de mínimo , mas se for voltada
para baixo ( - ax2) será ponto de máximo.
Exemplo: Determinar o ponto de máximo ou mínimo da função: Y = 2X2 – 8X + 3.
Como o coeficiente de X2 é positivo, a concavidade da curva que representa esta
função ( parábola), é voltada para cima, e o que vamos calcular será o ponto de
mínimo. Derivando, temos a primeira derivada: Y’ = 4X – 8. Igualando a zero:
0 = 4X – 8, e daí tiramos que X = 2, valor da abscissa para o mínimo. Levando na
função original, temos: Y = 2(2)2 – 8.2 +3  e Y = -5. Então o ponto de mínimo da
função dada tem coordenadas ( 2, - 5)
b) Exemplo de Aplicação na Física
Na Cinemática, dada a função horária de um ponto material que executa movimento
uniformemente variado S =So + Vot + at
derivada:
2
/ 2, determinemos a sua primeira
S’ = 0 + Vo +( 2 at2 -- 1  2)  S’ = Vo + at. Mas Vo + at é a equação que dá a
velocidade em cada instante.Então a primeira derivada da função horária fornece a
equação da velocidade. Achando a segunda derivada, ou seja a derivada da equação
da velocidade temos: S’’ = V’ = a, que é o valor da aceleração escalar. Resumindo:
Quem deriva a equação da posição tem a equação da velocidade
e derivando a equação da velocidade obtém-se o valor da aceleração.
Exemplo 1:
A função horária do movimento de um ponto material, é S = 2t 2 – 12t + 5 (SI). Determinar o valor da velocidade nos instantes 0s e 5s, e o instante em que o corpo inverte o
sentido do movimento.
Solução:
Derivamos a função horária dada: S’ = 4t – 12. Esta é a equação da velocidade
instantânea. Temos: V = 4t -12. Para t = 0s  Vo = - 12 m/s ; para t = 5s  V5 = 8 m/s.
Quando o corpo inverte o sentido, ele para,e então V = 0. Temos: V = 4t -12 0 = 4t – 12
e o corpo inverte o sentido do movimento no instante t = 3s
Exemplo 2:
Sobre o eixo X, um corpo movimenta-se seguindo a equação X = t 2 (SI), a partir do
instante t = o. Um segundo corpo parte da origem sobe o mesmo eixo e se movimenta
com velocidade escalar V a partir do instante t = 4s, no sentido de encontrar o primeiro. A
velocidade mínima V para que efetivamente haja encontro é:
a) 8m/s
b) 4m/s
c) 24m/s
d) 16m/s
e) 20m/s
Solução:
No instante t = 4s o primeiro corpo, que vamos
chamar de A estará na posição: S = 42 = 16m.
0m
16m
S A = SB
Se ele saiu de So = 0m, então neste instante o
B
A

segundo corpo, que vamos chamar de B, estará
V=?
VA=8m/s
nesta posição. O problema do encontro inicia
neste instante quando então o corpo A estará em So =16m, com velocidade: S’A =VAinicial =
2t = 2(4) = 8 m/s e com aceleração a = S’’ = 2 m/s2.
A função horária de A é: S A = 16 +8t +2t2/2 ou seja: S A = 16 + 8t + t2
A função horária de B é: SB = 0 + Vt
No encontro S A = SB e então: 16 + 8t + t2 = Vt  V = (16 + 8t + t2 )  t, sendo U = 16 + 8t +t2
e V= t, vamos derivar a expressão: V’ = (UV’ – VU’)  V2  V’ = (16+8t+t2)1-t(8+2T)V2
Igualando a derivada à zero para se ter o mínimo: V’ = (16 + t2 – 2t2)  V2 = 0 
16 - t2 = 0 e t =4s, que é o tempo do encontro, com V mínimo. Levando na equação
original de V, temos: V = 16 + 8t + t2 t  V = 16 +8.4 + 42 4 e Vmínimo = 16 m/s
Exemplo 3:
A equação que dá tensão elétrica fornecida por um gerador ( bateria ou pilha), é:
U = 10 – 2i, onde U é o valor da tensão em volts, e i é a intensidade da corrente que
atravessa o gerador, em ampéres. A potência útil que o gerador fornece é dada pela
expressão P = Ui, em watts. Determine o valor da máxima potência que este gerador
poderá fornecer ao circuito em que for ligado.
Solução:
Multipliquemos a expressão U = 10 – 2i por i. Obtemos: Ui = 10i -2i2 . Sendo Ui a
potência útil P, vem: P = 10i – 2i2 . Derivando esta expressão temos: P’ = 10 – 4i, e
igualando a zero para obter o ponto de máximo: 0 = 10 – 4i e i = 2,5 A que é o valor da
corrente para o gerador fornecer a máxima potência útil. Levando este valor na equação
de U, temos: U = 10 – 2(2,5) e a tensão U para a máxima potência será U = 5V. O maior
valor da potência que este gerador poderá fornecer ao circuito no qual for ligado será:
P = Ui = 5. 2,5  P = 12,5 W
EXERCÍCIOS APLICANDO A FUNÇÃO DERIVADA
1- Determine dois números cuja soma seja 20 e cujo produto seja máximo. 10 e 10
2- Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja
máximo. 40 e 80
3- As dimensões de um retângulo são X e Y. Sabendo-se que sua área é 9 cm2, calcule x e y
para que seu perímetro seja mínimo. 3cm e 3cm
4- Ache p e q de modo que a função f(x) = x3 + px2 + qx + 3 tenha máximos relativos em x = 1
e x = 3. p = - 6 e q = 9
5- A baixada Santista foi atingida pela epidemia de dengue. O departamento e estatística do
setor de saúde calculou que o número de pessoas atingidas de pois de um tempo T , que
foram infectadas a partir do 1º dia de epidemia é da do por P = 64T – T3/3. Sabe-se que a
taxa de expansão em cada dia da epidemia é obtida pela solução da derivada desta função,
com T em dias e P em número de pessoas. Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias
de epidemia ? 48 pessoas foram atingidas pela dengue
6- Com uma folha retangular de cartolina que se construir um caixa de volume máximo
possível, cortando um quadrado em cada canto. Se os lados da folha de cartolina são 60 cm
e 40 cm, qual será o volume máximo obtido?8450,45cm3
7- Numa indústria o gasto para se produzir uma unidade de um produto é dado, em reais, por
(0,25x + 35 + 25.x -1) sendo x a quantidade desse produto produzida diariamente. O preço
de venda de cada produto, em reais, é ( 50 – 0,5x). Qual deve ser a produção diária para se
obter um lucro máximo na venda de x produtos? Qual o custo unitário de cada produto
para se ter o lucro máximo? 10 unidades; R$10,00
8- Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml =350 cm3
de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo. 3,82 cm
9- FEI – Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando 16 m de
tela. Sabendo que o fazendeiro vai fazer um muro como fundo do galinheiro, determine as
dimensões do mesmo para que a área seja máxima. 4m x 8m
10- Um ponto material executa um movimento obedecendo à equação horária: S = 4t 2 – 8t + 6
(SI). Determinar o instante em que o corpo inverte o sentido do movimento, e em que
posição isso ocorre. 1s e 2m
11- Um corpo se movimenta obedecendo a função horária:
S = -1 + 8t – t 3 (SI).
a) Classifique o movimento ( progressivo ou retrogrado, acelerado ou retardado) em
função das posições ocupadas pelo corpo na trajetória. (da posição -1m até +7m é
movimento progressivo retardado. Após a posição 7m, é movimento retrógrado
acelerado)
b) Qual a aceleração média do movimento entre t = 1s e t = 5s?- 4m/s2
12- Um gerador fornece uma tensão elétrica útil dada pela expressão: U = 40 – 5i. Qual o valor
da máxima potência útil que o gerador poderá fornecer ao circuito em que estiver ligado?
80W
SOLUÇÕES
1- X + Y = 20 → Y = 20 – X (1); Temos: P = X . Y (2); Levando (1)→(2): P = X (20 – X) e
P = 20X – X2. Derivando: P´= 20 – 2X. Igualando a zero obtemos: X = 10
Fazendo a 2ª derivação: P´´ = - 2X e para X = 10 temos P´´ = -20. Como P´´ < zero, X é
máximo. Levando X em (1) vem : Y = 10
Resposta: Para o produto ser máximo, divide-se 20 em duas partes iguais a 10.
2- O número é Z = 120. Vamos dividi-lo em duas partes X e Y. Então: X + Y = 120 e
Y = 120 – X (1). O produto solicitado é: P = X. Y2 (2). Levando (1) em (2):
P = X(120 –X)2 → P = X3 – 240 X2 + 14.400X; Derivando e igualando a zero, vem:
3X2 – 480 X + 14.400 = 0 e daí X1 = 120 e X2 = 40.
Efetuando a segunda derivada: P´´ = 6X – 480. Para X1 = 120, vem P´´ = + 240 > zero.
Então X1 é mínimo. Para X2 = 40, vem P´´= - 240 < zero. Então X2 é máximo. Como
queremos P máximo, X2 = 40. Substituindo X2 em (1), resulta Y = 80
Resposta Para o produto ser máximo, X = 40 e Y = 80
3- Lados do retângulo: X e Y. Temos X.Y = 9 cm2 e Y = 9 / X (1). O perímetro é dado por P
= 2X + 2Y (2). Levando-se (1) em (2), vem: P = 2X + 2. (9/X) e P = 2X + 18/X
Ou ainda: P = 2X + 18.X -1 . Derivando vem: P´= 2 + (-1).18X -1 -1 → P´= 2 –18 X -2 ou
P´= 2 – 18/X2. Igualando a zero: 2 – 18/X2 = 0 → 18/X2 = 2 → 2X2 = 18 → X2 = 9 e
X1 = +3 ou X2 = -3. Derivando-se a segunda vez: P´´ = 36.X – 3 = 36/X3. Se X1 = + 3, resulta
P´´ = 36/27 ~+ 1,33 > zero. Então a X1 é mínimo. Para X2 = - 3, P´´ = 36/ -27
e P´´ ~- 1,33 < zero. Então X2 é ponto de máximo. Como queremos área mínima, então X
= 3 cm. Levando X1 em (1), vem : Y = 3
Resposta: Para a área ser mínima teremos que ter um quadrado de lado 3 cm
4- Y = X3 +pX2 + qX + 3. Derivando: Y´= 3X2 + 2pX + q. Igualando a zero: 3X2 + 2pX + q = O
Para X = 1 vem: 3(1)2 +2 p(1) + q = 0 → 3 + 2p + q = 0 → 2p + q = -2 (I). Para X = 3 vem:
3(3)2+ 2p(3) + q =0→ 27 + 6p + q = 0 →6p + q = - 27 (II).Resolvendo o sistema formado
pelas equações (I) e (II), resulta p = -6 e q = 9.
Resposta: Para Y = f(X) ter máximo relativo quando X = 1 e X = 3 temos p = -6 e q = 9
5- Derivando P = 64T – T3/3 vem: P’ = 64 – T2. Se esta é equação da taxa de variação, após 4
dias temos: P’ = 64 – 42 = 48.
Resposta: após 4 dias teremos 48 pessoas contaminadas
6x

60–2x
40 -2x


V = (60 – 2x). (40- 2x). x e desenvolvendo: V = 2400x – 200x2 + 4x3 (I)
Derivando: V’= 2400- 400x + 12x2; V’ = zero: 0 = 2400 – 400x + 12x2. Resolvendo obtemos:
x1 = 25,4 e x2 = 7,85. Fazendo a nova derivada de Y’, vem: V’’ = - 400 + 24x. Então para:
x1 = 25,48 → V’’ = -400 + 24 (25,48) = 211,52, que por ser positivo é ponto de mínimo.
X2 = 7,85 → V’’ = -400 + 24 (7,85) = - 211,52 que por ser negativo é ponto de máximo.
Como queremos o volume máximo, então em (I): Vmax = 2400(7,85) – 200(7,85)2 4(7,85)3, e
Resposta: Vmáximo = 8450,45 cm3
7-Custo de 1 unidade: C = 0,25X + 35 + 25/x . O custo de X unidades é: CT = 0,25X2 + 35X + 25 (I)
Venda de 1 unidade: V = 50- 0,5 X. venda de X unidades: VT = 50X – 0,5X2 (II)
Lucro é (II) – (I): L = (50X – 0,5X2) –(0,25X2 + 35X + 25) e L = 15X – 0,75X2 – 25. Derivando e
igualando a zero: 0 = 15 – 1,5X → X = 10 unidades por dia
Custo unitário mínimo: C = (0,25x2 + 35x + 25)  x. Derivando para achar máximo, e considerando
que a derivada é do tipo U/V, temos:
C’ = (0,25x2+ 35x + 25).1 – x(0,5x +35) x2 = ( -0,25x +25) x2. Igualando a zero e resolvendo
obtemos: X = R$10,00
Resposta: valor de cada peça = R$10,00 e produção diária de 10 peças
8-
1
A área lateral da lata é composta de 3 partes, duas tampas cada com
área R2 e um retângulo de área 2Rh. A área lateral total vale:
2R
2 A =R2 + 2Rh + R2  A = 2R2 + 2Rh
h
(I)
O volume da lata é o volume do cilindro, e no caso vale 350ml, ou
3
seja 350 cm3. Então: V = R2.h  350 = R2h, donde tiramos que
h = (350) / R2 (II)
Levando (II) em (I): A = 2R2 + 2R(350)/R2  A= 2 R2 + 700/R 
A = (2R3 + 700)  R2. Fazendo U = 2R3 + 700 e V = R2, vem: A’ = (UV’ – VU’) V2 
A’ = (2R3 + 700).1 – R(6R2)  R4  A’ = (- 4R3 + 700) R4. Igualando a derivada à zero:
0 = - 4R3 + 700  4R3 = 700  R3 ~ 55,732 e extraído a raiz, obtemos: R ~ 3,82 cm
Resposta: O raio da lata tem valor 3,82 cm aproximadamente .
9parede
Temos 16 m de tela. Então: 2X + y = 16, e Y = 16 – 2X (I)
A área é dada por A = X.Y (II). Levando (I) em (II):
X
X
A = X(16-2X), e A = 16X – 2X2 . Derivando e igualando a 0:
Y
16 – 4X = 0  X = 4m e Y = 8 m. Como a 2ª derivada é negativa ( -4) , X e Y são máximos.
Resposta: X = 4m e Y = 8m.
10- Derivando a equação dada: S = 4t2- 8t +6, obtemos a equação da velocidade: V= 8t – 8. O
corpo pára quando V=0. Igualando a equação da velocidade a zero, obtemos: 0=8t-8, e achamos t
= 1s. Substituindo esse tempo na equação da posição dada: S= 4(1)2-8(1)+6, achamos a posição
onde o corpo pára: S = 2m.
Resposta: o corpo pára no instante t = 1s e na posição S=2m.
11- S = -1 + 8t – t3. Derivando ( dS/dt) obtemos a equação da velocidade: V = 8 – 3t2, e derivando
a velocidade (dV/dt) obtemos a equação da aceleração: a = - 6t.
Calculemos o instante em que V = 0: na equação da velocidade temos: 0 = 8 – 3t2 e
resolvendo, achamos t = 1,63s ( t = aproximado). Então o corpo pára no instante 1,63s.
Após parar, irá executar movimento oposto ao que fazia antes de parar. Daí,de 0s até 1,63s,
como Vo é positivo (+8m/s) e a aceleração para qualquer t ›0s é negativa, o movimento é
progressivo e retardado (V+ e a-). Após 3s será então o oposto: movimento retrógrado e acelerado.
Em relação às posições, usando a equação das posições: S = -1 + 8t – t3:
Para t = 0s: S = -1 + 27(0) – (0)3 So = - 1m;
Para t = 1,63s: S = -1 + 8(1,63) – 1,633  S1,63 aproximadamente = 7,7m.
Resposta: entre a posição -1m e 7,7m é movimento progressivo retardado. Pára na posição 7,7m. Em seguida
volta em movimento retrógrado e acelerado.
12- U = 40 – 5i. Multiplicando por i (valor da corrente elétrica): Ui = 40i – 5.i2. Mas Ui é
expressão a potência útil. Então, derivando essa expressão e igualando a primeira
derivada a zero, obtemos o valor da corrente para Pútil máxima:
P = 40i – 5.i2  P’ = 40 – 10.i . Igualando a zero: 0 = 40 – 10.i e i = 4 A
Na expressão P = 40i – 5.i2, se i = 4 A, então P é máxima. Daí: P = 40(4) – 5(4)2. P = 80W
Resposta: A potência útil fornecida máxima é de 80W, quando o valor da corrente elétrica for de 4 A.