TC DE FÍSICA – SELETIVA DA IPHO
Professor: Edney Melo
ALUNO(A):
TURMA:
Nº
TURNO:
DATA:
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COLÉGIO:
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1. Cálculo Diferencial
Em vários ramos da ciência, é necessário algumas vezes utilizar as ferramentas básicas do cálculo,
inventadas por Newton, para descrever os fenômenos físicos. O uso do cálculo é fundamental no tratamento de
vários problemas na mecânica newtoniana, na eletricidade e no magnetismo. Nesta nota de aula, enunciamos
simplesmente algumas propriedades básicas e regras práticas que devem ser uma revisão útil para o estudante.
Inicialmente, é necessário especificar uma função que relaciona uma variável a outra variável (por
exemplo, uma coordenada como função do tempo). Suponha que uma das variáveis seja chamada y (a variável
dependente) e a outra, x (a variável independente). Poderíamos ter uma relação funcional como
Se a, b, c e d são constantes especificadas, então y pode ser calculado para qualquer valor de x. Lidamos geralmente com funções
contínuas, isto é, aquelas para as quais y varia “suavemente” com x.
A derivada de y em relação a x é definida como o limite das inclinações das cordas traçadas entre dois
pontos na curva y contra x, quando ∆x se aproxima de zero. Matematicamente, escrevemos essa definição como
em que ∆y e ∆x são definidos como ∆x = x2 – x1 e ∆y = y2 – y1 (conforme a figura abaixo). É importante observar
que dy/dx não significa dy dividido por dx, mas é simplesmente uma notação para o processo-limite da derivada
como definida pela equação acima.
Uma expressão útil para lembrar quando y(x) = axn, em que a é uma constante e n é qualquer número
positivo ou negativo (inteiro ou fracionário), é
Se y(x) é uma função polinomial ou algébrica de x, aplicamos a equação anterior para cada termo no
polinômio e tomamos d[constante]/dx = 0. Nos exemplos 1 a 4, calculamos as derivadas de várias funções.
-Exemplo 1: Suponha que y(x) seja dada por
Em que a e b são constantes. Segue-se então que
de forma que
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Substituindo isso na equação que traduz a definição de derivada, obtém-se
- Exemplo 2: Encontre a derivada de
Solução: Aplicando a equação na qual está contida a definição de derivada a cada termo independentemente, e
lembrando que d/dx (constante) = 0, temos:
2. Propriedades especiais da derivada
- A derivada do produto de duas funções. Se uma função f(x) é dada pelo produto de duas funções, digamos,
g(x) e h(x), então a derivada de f(x) é definida como:
- A derivada da soma de duas funções. Se uma função f(x) é dada pela soma de duas funções, digamos, g(x) e
h(x), então a derivada de f(x) é definida como:
- A regra da cadeia do cálculo diferencial. Se y = f(x) e x = g(z), então dy/dz pode ser escrita como o produto de
duas derivadas:
- A derivada segunda. A derivada segunda de y em relação a x é definida como a derivada da função dy/dx (a
derivada da derivada). È escrita geralmente como:
- Exemplo 3: Encontre a derivada em relação a x da função
Solução: Podemos reescrever a função da seguinte forma
e aplicando a propriedade da derivada do produto, temos:
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- Exemplo 4: Uma fórmula útil a partir da derivada do produto é a derivada do quociente de duas funções. Mostre
que:
Solução: Podemos escrever o quociente entre as duas funções com sendo gh-1 e aplicando as propriedades já
conhecidas, temos:
3. Tabela de derivadas
Algumas das derivadas de funções utilizadas mais comumente estão listadas na tabela abaixo.
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4. Cálculo integral
Pensamos na integração como o inverso da derivação. Como um exemplo, considere a expressão:
que foi o resultado da diferenciação da função
no exemplo 1. Podemos escrever a expressão inicial da seguinte forma
e obter y(x) pelo “somatório” de todos os valores de x. Matematicamente, escrevemos essa operação inversa
como:
Para a nossa função analisada, temos que:
em que c é uma constante de integração. Esse tipo de integral é chamado de integral indefinida porque seu valor
depende da escolha de c.
Uma integral indefinida geral I(x) é definida como:
em que f(x) é chamado de integrando e f(x) = dI(x)/dx.
Para uma função contínua geral f(x), a integral pode ser descrita como a área sob a curva limitada por f(x)
e pelo eixo x, entre dois valores especificados de x, digamos, x1 e x2, como na figura a seguir.
A área do elemento sombreado mais escuro é de aproximadamente f(xi)∆xi. Se somamos todos esses elementos
de área de x1 até x2 e tomamos o limite dessa soma quando ∆xi → 0, obtemos a área exata sob a curva limitada
por f(x) e pelo eixo x, entre os limites x1 e x2:
Integrais do tipo definido por essa equação são chamadas integrais definidas.
Uma integral comum que surge em várias situações práticas possui a forma
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Esse resultado é óbvio, pois a diferenciação do lado direito em relação a x fornece f(x) = xn diretamente. Se os
limites de integração são conhecidos, essa integral torna-se uma integral definida e é escrita como:
Exemplos:
5. Integração parcial
Algumas vezes é útil aplicar o método de integração parcial (também chamado de “integração por partes”)
para calcular certas integrais. O método utiliza a propriedade que:
em que u e v são escolhidas cuidadosamente de forma a reduzir uma integral complexa em uma mais simples.
Em muitos casos, várias reduções têm de ser feitas. Considere a função
Ela pode ser calculada integrando duas vezes por partes. Primeiro, se escolhermos u = x2, v = ex, obtemos:
Agora, no segundo termos, escolhendo u = x, v = ex, obtém-se:
6. A diferencial exata
Outro método útil para lembrar é a utilização da diferencial exata, na qual procuramos uma mudança de
variável tal que a diferencial da função seja a diferencial da variável independente aparecendo no integrando. Por
exemplo, considere a integral
Esta se torna fácil de calcular se escrevemos a diferencial como d(cos x) = - (sen x) dx. A integral torna-se então:
Se mudarmos agora de variável, fazendo y = cos x, obtemos:
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7. Tabela de Integrais
A tabela a seguir lista algumas integrais indefinidas úteis. Logo desta tabela está sendo fornecida uma
tabela de integrais das probabilidades de Gauss muitos utilizadas no tratamento estatístico da termodinâmica e da
mecânica quântica, e outras integrais definidas.
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8. Aplicações do cálculo diferencial e integral na Física
A seguir resolveremos alguns problemas bem simples de Física que envolvem cálculo diferencial e
integral. É ideal que você acompanhe passo a passo os problemas, desde a escolha do elemento diferencial até o
método de integração utilizado.
- Problema 1: Uma caixa de areia inicialmente em repouso, é puxada pelo chão por uma corda onde a tensão não
pode ultrapassar 1100N . O coeficiente de atrito estático entre o chão e a caixa é 0,35. Qual deverá ser o ângulo
da corda em relação à horizontal, de forma a permitir puxar a maior quantidade de areia possível?
Solução: A maior dificuldade será colocar a caixa em movimento. Devemos encontrar o ângulo adequado para
que a força externa seja suficiente para equilibrar a força de atrito estático máximo.
Quando a caixa estiver prestes a se mover, a força resultante ainda será nula, logo:
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Note que a força peso é uma função do ângulo θ e o nosso problema pede o valor desse ângulo para que o peso
seja máximo. Uma função possui um valor máximo quando a derivada neste ponto de máximo é nula (ou seja,
quando a inclinação da reta tangente é nula). Logo o peso será máximo quando sua derivada em relação a θ for
nula, logo temos:
- Problema 2: Calcule o centro de massa de uma haste com uma distribuição uniforme de massa, de comprimento
L e massa M .
Observação: O centro de massa de um sistema de partículas, por definição é dado por:
Solução: Vamos considerar um elemento de massa dm de largura dx localizado na posição x . Como a
distribuição de massa é uniforme, podemos dizer que:
- Problema 3: Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio R , ângulo θ0 e massa M .
Solução: Como definido no problema anterior, temos:
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Considerando que a distribuição de massa no fio é uniforme, podemos encontrar uma relação entre a quantidade
infinitesimal de massa dm e o ângulo dθ que delimita essa massa, usando a proporção a seguir:
A posição ( x , y ) de um elemento de massa genérico dm é pode ser expressa como:
Desse modo termos:
e de modo equivalente:
A partir desses resultados podemos o centro de massa de outras figuras semelhantes:
i. Um quarto de círculo θ0 = π/2 .
ii. Um semicírculo θ0 = π.
iii. Um círculo θ0 = 2 π.
- Problema 4: Observa-se no dia-a-dia que objetos quentes e frios se esfriam o aquecem até a temperatura do
ambiente ao seu redor. Se a diferença de temperatura ∆T ente um objeto e o seu ambiente ( ∆T = TObj – TAmb ) não
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for muito grande, a taxa de resfriamento ou de aquecimento de um objeto é proporcional, aproximadamente, a
essa diferença de temperatura; ou seja:
onde A é constante. O sinal negativo aparece porque ∆T diminui com o tempo se ∆T for positivo e aumenta com o
tempo se ∆T for negativo. Essa equação é conhecida como a Lei de resfriamento de Newton.
a) De que fatores depende A ? Qual é a sua unidade?
b) Se em algum instante t = 0 a diferença de temperatura for ∆T0 , mostre que em um instante posterior ela será
Solução:
a) A constante A depende principalmente da condutividade térmica do objeto. O lado esquerdo da equação tem
unidades de temperatura sobre tempo, e desse modo, a unidade de A é o inverso de tempo: s-1.
b) Da equação diferencial, encontramos que:
e quando integramos:
ou seja
Considerando as condições iniciais:
chegamos a:
- Problema 5: Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo
do seu comprimento L . Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a
figura a seguir. Calcule a força de interação gravitacional entre a haste e a massa pontual.
Solução: Devemos calcular a força que um elemento de massa dM da haste exerce sobre a partícula. Essa força
é dirigida para a haste e tem módulo:
A força total que a haste exercerá sobre a partícula será a soma de todas as contribuições das massas
elementares que compõe a haste. Por outro lado existe uma relação entre o elemento de massa dM e o espaço dx
que ele ocupa na haste. Como a haste tem a massa distribuída uniformemente, temos a proporção:
Desse modo, a força total tem a forma:
Fazendo a mudança de variáveis u = L + d - x , encontramos:
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ou seja
- Problema 6 ( Vocês terão uma semana para resolver esse problema. No final da semana colocarei a
solução completa do mesmo no click-professor, ok! Boa sorte e trabalho.)
Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo do seu
comprimento L. Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a figura
abaixo.
Utilizando cálculo diferencial e integral, encontre a força de interação gravitacional entre a haste e a massa
pontual.
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