ME623
Planejamento e Pesquisa
3. Experimentos com um Único Fator
(Completamente Aleatorizados)
2
Estimador de σ2

Soma de Quadrados dos Erros

O termo entre colchetes dividido por n – 1 é a
variância amostral para o i-ésimo tratamento:

Então um estimador de σ2 é dado por
3
Construção do Teste F (Intuição)
Se não existe diferença entre as médias, pode-se
também usar a variação entre tratamentos para
estimar σ2
 Isso se deve ao fato que
. Então

também é um estimador de σ2.
 Portanto, no caso de igualdade das médias, MSE e
MSA deveriam ser próximos.
 Caso contrário, suspeita-se que a diferença seja
causada pela diferença nas médias dos tratamentos.
4
Quadrados Médios (MS)
A quantidade
Quadrado Médio

é chamada de

Quadrado Médio do Erro (MSE)

Quadrado Médio do Fator A (MSA)
5
Construção do Teste F (formal)

O valor esperado de cada Quadrado Médio:
Exercício:
Prove essas
igualdades!!
MSE é um estimador não viciado de σ2
 Sob
, MSA também é um
estimador não viciado de σ2.
 Então, um teste de hipótese para testar igualdade
das médias pode ser elaborado através da
comparação de MSE e MSA.

6
Construção do Teste F

Assumimos que

Isso implica que

Então, as quantidades SST, SSA e SSE são somas de
quadrados de v.a. normais e pode-se mostrar que
SSE e SSA
são independentes?
7
Construção do Teste F
8
Construção do Teste F

Como
pelo Teorema de Cochran temos que
são v.a. qui-quadrado independentes.
e

Temos então a estatística do teste

Se H0 é falsa, o valor esperado de MSA é maior que
o valor esperado de MSE e então, devemos rejeitar
H0 para valores grande de F0 , isto é, rejeita H0 se
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Tabela ANOVA
Único Fator com Efeito Fixo
Mostre que as SS podem ser simplificadas como:
SSE é obtida pela subtração:
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Exemplo da Fibra Sintética
%
Algodã
o
Resistência
yij 2)
(lb/in
( )
1 2 3 4
5
15
20
25
30
7 7 15 11 9
12 17 12 18 18
14 18 18 19 19
19 25 22 19 23
35
7 10 11 15 11
y··
yi·
Total
yi·
Média
49
77
88
108
9.8
15.4
17.6
21.6
54
= 376
y··
10.8
=15.04
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Análise Estatística
Exemplo Fibra Sintética
Queremos testar se:
Calcular SST, SSA e SSE
2. Encontrar a tabela
ANOVA
1.
Figura: Boxplot da resistência para
cada % de algodão
12
Análise Estatística
Exemplo Fibra Sintética
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Tabela ANOVA
Exemplo Fibra Sintética
No R, usando a função aov
> dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE)
> fit <- aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)
> summary(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Algodao) 4 475.8 118.94
14.76 9.13e-06 ***
Residuals
20 161.2
8.06
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Análise Estatística
Exemplo Fibra Sintética
Gráfico da Distribuição F(4,20), α=0.05
Conclusão: Como F0 = 14.76 > 2.87 (ou p-valor < 0.01),
rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos
diferem. Ou seja, a porcentagem de algodão na fibra afeta
significativamente a resistência média.
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Estimação dos Parâmetros

No modelo com um único fator
os parâmetros são estimador por:

Pela suposição que
, temos
Onde
16
Intervalos de Confiança

Para a média do i-ésimo tratamento (μi)

Um 100(1 - α)% IC para μi é:

Similarmente, um IC para a diferença das médias
de dois tratamentos (μi – μj) é
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Estimação dos Parâmetros
Exemplo Fibra Sintética
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Dados Não-Balanceados
Número de observações/replicações sob os
tratamentos diferem
 A Análise de Variância mostrada anteriormente
pode ser usada com pequenos ajustes.
 Seja ni o número de observações dentro do iésimo tratamento e


Então:
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Exercício
ME623A – Aula 4 – 19/08/2013
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