AULÃO
REVISÃO DE
MATEMÁTICA
2009
PROF THIAGO MORETI
THIAGO DE CASTRO MORETI
GRADUADO EM
MATEMÁTICA PELA
UNIASSELVI
 PÓS-GRADUANDO EM
METODOLOGIAS
INOVADORAS DO ENSINO
DA MATEMÁTICA.
 PROFESSOR DO COLÉGIO
FAYAL E ESCOLAS ELITE.
 ATUANTE EM CURSINHOS,
PREPARATÓRIOS PARA
CONCURSOS, NO ENSINO
MÉDIO E FUNDAMENTAL.

OPSSSS!!!
O QUE VEM POR AÍ...
IMPORTANTE
INSTITUIÇÃO INSCRIÇÕES PROVAS
ACAFE
05/10 A 10/11
22/11
IFES
09/10 A 25 /11 28/11
UFSC
15/09 A 21/10
19/12, 20/12 E 21/12
UFPR
24/08 A 30/09
29/11 – 1ª FASE.
12/12 E 13/12 – 2ª FASE
UDESC
01/09 A 01/10
01/11 – 1ª FASE
29/11 – 2 ª FASE
UFRGS
20/09 A 04/10
10/01, 11/01, 12/01 E
13/01/2010
USP
28/08 A 11/09
22/11 – 1ª FASE
03 A 05/01/2010 - 2ª FASE
ENEM
15/06 A 19/07
05/12 E 06/12
DICAS IMPORTANTES...
Cuidado com a alimentação
nos dias das provas...
PERSEVERANÇA
DISCIPLINA
CONCENTRAÇÃO
PLANEJAMENTO
MOTIVAÇÃO
A VAGA É SUAAAAA!!!
VAMOS ENTÃO, AOS
CONTEÚDOS...
MATEMÁTICA BÁSICA
PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos
ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre
tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de
R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as
mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um
desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no
Grêmio, 90 são craques.

Podemos representar a porcentagens
de outras formas:
16) Um cofre contém apenas anéis e
brincos, de ouro ou de prata. Sabe-se que
80% dos anéis são de prata e 10% das
jóias são brincos. A porcentagem de jóias
desse cofre que são anéis de ouro é: R: d
a)90 %
b)63 %
20 90
1800
c)30 %


 18 %
100 100 10000
d)18 %

RESPOSTA: d
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo
prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos,
portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três
simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as
grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na mesma linha as grandezas de
espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo:
Com uma área de absorção de raios solares
de 1,2m2, uma lancha com motor movido a
energia solar consegue produzir 400 watts
por hora de energia. Aumentando-se essa
área para 1,5m2, qual será a energia
produzida?
1º) montando a tabela:
Área (m2)
1,2
1,5
Energia
(Wh)
400
x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna
que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a
energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos
uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
EXEMPLO:
Um trem, deslocando-se a uma velocidade
média de 400Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo
faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:
Velocidade
(Km/h)
400
480
Tempo (h)
3
x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna
que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta
no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando
a proporção e resolvendo a equação temos:
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é utilizada em
problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam
160m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários para
descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em
cada coluna as grandezas de mesma espécie e,
em cada linha, as grandezas de espécies
diferentes que se correspondem:
Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo
na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com
aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional
(seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos
aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta
para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a
razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Dois pedreiros levam 9 dias para construir um
muro com 2m de altura. Trabalhando 3
pedreiros e aumentando a altura para 4m,
qual será o tempo necessário para completar
esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo
na coluna que contém o x. Depois colocam-se
flechas concordantes para as grandezas
diretamente proporcionais com a incógnita
e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Logo, para completar o muro serão
necessários 12 dias
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
ax² + bx + c = 0
Fórmula de Bháskara:
 = b² - 4ac
REGRA DAS TETINHAS

EX: X² - 5X + 6 = 0
a=1
b = -5
POR BHASKARA:
c=6
 (5)  (5)²  4.1.6
x

2.1
6

x
'


3

5 1
2
x

2  x' '  4  2
2


PELAS TETINHAS:
FUNÇÕES
Domínio, Contradomínio e Imagem
Observe o diagrama a seguir:
Chamemos
esta função de f, logo o conjunto de
pares ordenados serão: f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da
função f. D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se
contradomínio da função f. C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f:
f(1)=2. Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}



Função injetora: A função é injetora
quando elementos diferentes de A
correspondem a elementos diferentes de B.
Função sobrejetora; A função é sobrejetora
quando todo elemento de B é imagem de
pelo menos um elemento de A, isto é,
quando o conjunto imagem for igual ao
contradomínio da função. Im(f) = CD(f).
Função bijetora: É toda função de A em B
que é simultaneamente, injetora e
sobrejetora.

Sinal de uma função de 1º grau:
a>0

a<0
Sinal de uma função de 2º grau:
a>0
a<0
EXEMPLO: Um botânico registrou o crescimento de
uma planta, em centímetros, durante cinco meses. Os
resultados estão apresentados no gráfico a seguir.
Considerando que o
eixo y marca a altura da
planta (em centímetros)
e o eixo x, o mês em
que foi feita a medida,
pode-se afirmar que:
a) y = 1,4x.
b) y = 3 + 1,4x.
c) y - 1,4 = 3x.
d) y + 3x = 1,4.
e) y = 3x.
ACAFE CFS 2003) Um comerciante teve uma despesa
de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como
vai vender cada unidade por R$ R$ 5,00, o lucro final
será dado em função das x unidades vendidas. É
correto afirmar que:
a) se forem vendidas 100 unidades, o lucro será de R$
280,00.
b) haverá um prejuízo, se ele vender 50 unidades.
c) haverá um lucro de R$ 315,00, se ele vender 109
unidades.
d) haverá um lucro entre R$ 100,00 e R$ 180,00, se o
número de unidades vendidas estiver entre 65 e 83.
L(X) = 5 . X – 230
C) L(109) = 5.109 – 230 = 315
7-(Cfs bombeiro 2005). Um fabricante vende um
produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do
produto consiste numa taxa fixa de R$ 55,00 mais o
custo de produção de R$ 0,30 por unidade. É correto
afirmar que o fabricante: r: c
a) deve vender 50 unidades do produto para não ter
lucro nem prejuízo.
b) se vender 100 unidades do produto terá um lucro de
R$ 80,00.
c) deve vender 110 unidades do produto para não ter
lucro nem prejuízo.
d) se vender 100 unidades do produto terá um prejuízo
de R$ 50,00.
L(X) = (0,8 – 0,3) . X – 55
L(X) = 0,5 . X – 55
C) L(110) = 0,5 . 110 – 55 = 55 – 55 = 0
LOGARÍTMOS
loga 1  0
loga a  m
m
loga a  1
a
loga b
b
loga b  loga c  b  c
PROPRIEDADES:
loga ( x. y)  loga x  loga y
 x
loga    loga x  loga y
 y
loga x  m. loga x
m
MUDANÇA DE BASE:
logb x
loga x 
logb a
EXEMPLOS:
Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
b) log9
c) log5
d)
P.A. E P.G.
Fórmulado termogeral de uma P.A.: an  a1  (n 1).r
(a1  an ).n
Soma de termos de uma P.A. finita : Sn 
2
Fórmula do termo geral de uma P. G.:


a1 q n  1
Fórmula da soma dos termos de uma P. G.: S n 
q 1
SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. INFINITA ( -1 < q < 1):
a1
s 
1 q
EXEMPLO: (CFS 2005) Numa estrada que liga a
entrada de uma fazenda até a sua sede existem
duas palmeiras, uma a 8 metros da entrada e
outra a 260 metros. O proprietário deseja plantar,
entre elas, outras cinco palmeiras, com a mesma
distância entre elas. A distância, em metros, entre
as palmeiras, é de:
a) 54
b) 42
c) 50,4
d) 36
Como são 2 árvores + 5 árvores, totalizamos 7
árvores, o que determina então 6 “espaços”.
Portanto temos:
260 – 8 = 252 m
252m / 6 espaços = 42 m
cfs 2003)Uma indústria produziu 74.400
unidades de certo produto num período de
5 anos. Supondo que a produção tenha
dobrado a cada ano, o número de unidades
produzidas nos dois primeiros anos, foi de:
a) 7400
b) 7200
c) 4800
d) 3600
X + 2x + 4x + 8x + 16x = 74400
31x = 74400
x = 2400
R: 2400 + 4800 = 7200
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
Lembrando da Relação de Euler:
V+F=A+2

Os vértices, as arestas e as faces de
um sólido geométrico.
Sólidos importantes:

Este sólido geométrico
chama-se cubo. É um
prisma em que todas as
faces têm a forma de
quadrados.Este sólido
geométrico tem: 8
vértices, 12 arestas e 6
faces.

Chamamos
paralelepípedo a este
prisma. Todas as suas
faces têm a forma de
retângulos.Tem 8
vértices, 12 arestas e 6
faces.
Este sólido geométrico
denomina-se pirâmide
triangular porque a
sua base é um
triângulo.
 Tem 4 vértices, 6
arestas, 4 faces e 1
base.


Chamamos pirâmide
quadrangular a este
sólido pois tem um
quadrado na sua base.
Tem 5 vértices, 8
arestas, 5 faces e 1
base.
A base da pirâmide
pentagonal é um
pentágono.
 Tem 6 vértices, 10
arestas, 6 faces e 1
base.

A esfera é um sólido
geométrico limitado por
uma superfície curva.
 A sua forma é esférica;
não tem bases, não
tem vértices e não tem
arestas.

O cilindro está
limitado por uma
lateral curva. Tem duas
bases iguais na forma
de circunferência e
nenhum vértice.

O cone está
limitado por uma
superfície curva.
Tem uma base na
forma de
circunferência e
tem 1 vértice.
Fórmulas importantes das
figuras planas:
S = π.r²
Prisma
Cilindro
Pirâmide
Cone
Esfera
Área Total
Volume
At = Al + 2Ab
V = Ab . h
At = Al + Ab
V = (Ab . h)/ 3
4 π r2
(4 π r3) /3
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Forma de apresentação de números ou muito
pequenos ou muito grandes. Consiste em apresentar
esses número como um produto de um número
compreendido entre 1 e 10 por uma potência de base
10.
Exemplos:
47300 = 4,73 x 104;
1 MIL = 10³
6
0,000000021 = 2,1 x 10-8.
1 MILHÃO = 10
1 BILHÃO = 109
Se a vírgula vai
para:
Aumenta o
expoente
Diminui o
expoente
Algumas conversões








1 dm³ = 1 litro
1 l = 1 000 cm³
1 cm³ = 1 ml
1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l
1 km = 1000 m / 1 km² = 1000000 m²
1 m = 100 cm / 1 m² = 10000 cm ²
1 m³ = 1000000 cm ³
1 dm = 10 cm / 1 dm² = 100 cm ²
(SIMULADO ENEM) Numa molécula tridimensional de carbono,
os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12
faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em
uma bola de futebol. Dadas estas informações, analise as
afirmações abaixo e assinale a alternativa correta:
I - Existem 60 átomos nessa molécula.
II - Essa molécula é constituída por 180 ligações entre seus
átomos.
III – A figura mostra uma das formas alotrópicas do Carbono,
estrutura esta do diamante.
IV – Este poliedro possui 60 vértices, 32 faces e 90 arestas.
Esta correto o que se afirma somente em:
a) I e II.
b) II e III.
c) I e III.
d) II e IV.
e) I e IV
CADA ÁTOMO REPRESENTA UM VÉRTICE E SUAS
LIGAÇÕES SÃO AS ARESTAS.
TEMOS ENTÃO:
12 FACES PENTAGONAIS: 12 X 5 = 60 ARESTAS
20 FACES HEXAGONAIS: 20 X 6 = 120 ARESTAS
SOMAMOS AS ARESTAS: 120 + 60 = 180
MAS DIVIDIMOS POR 2 (SEMPRE): 180 / 2 = 90.
Então temos: F = 12 + 20 = 32
A = 90
Por Euler: V + F = A + 2
V + 32 = 90 + 2
V = 60
EXEMPLO: Uma máquina fotográfica digital
tem uma capacidade máxima que permite
armazenar 120 fotos na memória, para que
sejam reveladas no formato 20 centímetros
por 30 centímetros. Ao optar-se por uma
revelação no formato 10 centímetros por 15
centímetros, mantendo a mesma qualidade,
é possível armazenar na memória dessa
máquina:
a) 120 fotos
d) 360 fotos.
b) 160 fotos.
e) 480 fotos.
c) 240 fotos.
20 CM
30 CM
4 X 120 = 480
10 CM
15 CM
EXEMPLO: Uma pista de atletismo oficial tem um
perímetro de 400m na raia interna e é formada por
duas partes retas e por duas curvas de 180º (veja a
figura a seguir).
Cada parte reta tem 90m de
comprimento. Assim, sabendo que o
comprimento de uma circunferência é
dado pela expressão c = 2R, o raio de
curvatura da raia interna será de:
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Fatorial: Para resolver problemas de Análise
Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta
matemática chamada Fatorial.
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos
o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como
sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24.
Casos especiais:
0! = 1
1! = 1
Princípio fundamental da contagem – PFC
No Brasil as placas dos veículos são
confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto
e 4 algarismos. Qual o número máximo de
veículos que poderá ser licenciado?
R: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em
175.760.000.
No Brasil, antes da alteração do sistema de
emplacamento de automóveis, as placas dos
veículos eram confeccionadas usando-se 2
letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o
número máximo de veículos que podia ser
licenciado neste sistema?
R: 26.26.10.10.10.10 que resulta em
6.760.000.

ARRANJO X COMBINAÇÃO
An, p
n!
QUANDO A

(n  p)! ORDEM IMPORTA
Cn , p
n!
QUANDO
A

(n  p)! p! ORDEM NÃO
IMPORTA
PERMUTAÇÃO SIMPLES:
(UM TIPO ESPECIAL DE ARRANJO, MUITO
UTILIZADO EM ANAGRAMAS)
Pn  n!
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:
Pn
a ,b , c
n!

a!b!c!
Exemplos: Determine o número de anagramas
da palavra MATEMÁTICA:
P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Quantos anagramas podem ser formados com
as letras da palavra MARIA?
P = 5!/2! = 5.4.3 = 60
Quantos anagramas podem ser formados com
as letras da palavra ARARA?
P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10
(ANEEL 2004)Dez amigos, entre eles Mário e
José, devem formar uma fila para comprar as
entradas para um jogo de futebol. O número de
diferentes formas que esta fila de amigos pode
ser formada, de modo que Mário e José fiquem
sempre juntos é igual a:
a) 2! 8!
Considera-se as duas pessoas
b) 0! 18!
juntas como um único grupo:
c) 2! 9!
d) 1! 9!
e) 1! 8!
9 2
P .P  9!2!
PROBABILIDADES
Por exemplo, no lançamento de um dado,
um número par pode ocorrer de 3 maneiras
diferentes dentre 6 igualmente prováveis,
portanto:
P = 3/6= 1/2 = 0,5 = 50%
ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o
Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião
comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A
distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de
filhos, é mostrada no gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas exalunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido
um(a) filho(a) único(a) é:
(A) 1/3.
(B) 1/4.
(C) 7/15. (D) 7/23.
(E) 7/25
ESPAÇO AMOSTRAL: TOTAL DE FILHOS
1 FILHO X 7 MÃES = 7 CRIANÇAS
2 FILHOS X 6 MÃES = 12 CRIANÇAS
3 FILHOS X 2 MÃES = 6 CRIANÇAS
TOTAL: 25 CRIANÇAS
EVENTO: SER FILHO ÚNICO: 7 CRIANÇAS.
PORTANTO:
P = 7/25
MATRIZES
DETERMINANTES DE ORDEM 3:
REGRA DE SARRUS:
SISTEMAS LINEARES
REGRA DE CRAMER
Discutindo o sistemas, temos então:

Possível e determinado:

Possível e indeterminado:
det A  0
det A  0

e
det A  det A  ...  det A  0
1
2
n


Impossível: det A  0 e pelo menos um
det An  0
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
D
≠ 0: O sistema é SPD (A admite apenas a
solução trivial)
D = 0: o sistema é SPI (A admite outras
soluções, isto é, soluções próprias).
A SI nunca ocorrerá, pois o sistema
homogêneo é sempre possível
É isso aí, para
vocês só desejo
muito, mas muito
sucesso !!!