Matemática
Ensino Médio, 2º Ano
Matriz Inversa
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Noções iniciais
•
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b,
denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b = b.a =1
•
É bastante comum indicarmos o inverso de a por
Exemplo:
1 1
5  5  1
5 5
1
ou a -1.
a
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Definição
•
Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se,
existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
A B  B  A  In
Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e
indicada por A-1 .
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Exemplo 1:
 3  1
• Verifique que a matriz B  
 é a inversa da matriz

11
4


 4 1
A  
. 
11
3


 4 1   3  1  1 0 
  
  

A  B  
11 3   11 4   0 1 
 3  1  4 1   1 0 
  
  

B  A  
  11 4  11 3  0 1 
Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.
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Observações:
• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e,
em
caso
afirmativo,
determinar
sua
inversa,
apresentaremos, a seguir, um processo baseado na
definição de matriz inversa e na resolução de sistemas
lineares.
• Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz
não singular, caso contrário, será uma matriz singular.
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Exemplo 2:
 3 2

 .
A

• Vamos encontrar, se existir, a inversa de
5 4
a b 
1

 , tal que A . A-1 = In.
A

Devemos verificar se existe
c d 
Logo:
 3 2   a b   1 0   3a  2c 3b  2d   1 0 

  
  
  
  

 5 4   c d   0 1   5a  4c 5b  4d   0 1 
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Exemplo 2 (continuação):
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas:
3a  2c  1

5a  4c  0
, cuja solução é a = 2 e c = -5/2
3b  2d  1
, cuja solução é b = -1 e c = 3/2

5b  4d  0
Então,
 2  1
A  5 3 


 2 2
1
É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita.
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Exemplo 3:
 4 2

 .
A

• Vamos encontrar, se existir, a inversa de
 2 1
Fazendo A.A-1 = In , temos:
 4 2   a b   1 0   4a  2c 4b  2d   1 0 

.
  
  
  

 2 1   c d   0 1   2a  c 2b  d   0 1 
Logo:
4a  2c  1
4b  2d  0
e


2
a

c

0

2b  d  1
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Exemplo 4:
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos:
4a  2c  1

2a  c  0 .(-2)
4a  2c  1

 4a  2c  0
0  1 (Impossível)
4b  2d  0

2b  d  1 .(-2)
4b  2d  0

 4b  2d  2
0  2 (Impossível)
Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir
que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu
solução).
.
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Observações:
• O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar
do grande nível de complexidade, pode ser usado para o
cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com
n ≥ 2.
• Estudar métodos para solução de sistemas lineares será
bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem
n, com n ≥ 3.
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Exercícios
 2 1
 .
01. Obter a matriz inversa da matriz A  
 1 1
Resolução:
 a b
 , temos:
Sendo A  
c c
1
 2 1  a b   1 0   2a  c 2b  d   1 0 

.
  
  
  

 1 1  c d   0 1   a  c b  d   0 1 
2 a  c  1
, cuja solução é a = 1 e c = -1

 1  1
a  c  0
1
 A  

 1 2 
2b  d  1
, cuja solução é b = -1 e c = 2

b  d  0
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Exercícios
 2  5
02. Verifique se 
 é a inversa de
 1 3 
3 5

 .
1 2
Resposta: SIM
1 2 
 .
03. Determine, se existir, a inversa da matriz 
1 0 
Resposta:  0
1

2
1
1
 
2
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Exercícios
1 0 0


04. Verifique se a inversa de  0  2 0 
 1 0 3




 1
é a matriz  0
 1

 3
0
1

2
0


0
0 .

1

3
Resposta: SIM
 y  3
 é a matriz
 2 x 
05. A inversa de 
Resposta: x = 7 e y = 1
x  4
 x

 . Determine x e y.
1 
x 5
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Propriedades
• Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos
as seguintes propriedades:
• Dada A, se existir A-1, então ela é única;
• (A-1)-1 = A;
• (A . B)-1 = B-1 . A-1;
• (A-1)t = (At)-1.
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Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única.
• Demonstração:
De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C
sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e
AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os
lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja,
(CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C.
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Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e
(A-1)-1 = A .
• Demonstração:
Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,
A.B=B.A = In.
Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.
Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é
a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A.
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Exemplo 5:
 3 2
. .
• Vamos encontrar a inversa de A  
5
4


 3 2   a b   1 0   3a  2c 3b  2d   1 0 
  
  
  
  

Fazendo A . A-1 = In: 
 5 4   c d   0 1   5a  4c 5b  4d   0 1 
Então
 2  1
A  5 3 


 2 2
1
Calculando (A-1)-1
2 y  w   1 0
 2  1  x y   1 0   2 x  z
 5 3 
 5





3
5
3



  z w   0 1    x  z  y  w   0 1 
2
2
2 
 2
 2 2
A 
1 1
 3 2
  A
 
5 4
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Propriedades
• Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1.
• Demonstração:
Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que
(AB)B-1A-1=In e B-1A-1(AB) = In .
(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA-1 =AA-1 = In .
A segunda identidade é inteiramente análoga.
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Exemplo 6:
 3 2
 2 1
 e B  
• Encontrando as inversas e o produto de A  
 1 1 .
5
4




 2  1
 8 5
 1  1
1
A1   5 3 




AB

B

 1 2 


14 9 


 2 2
Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade:
 AB
1
 9

 5

 2



7
8


 9

 5

B A  2



7
8


1
1
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Propriedades
• Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.
• Demonstração:
Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos:
    A A  I
A  A  AA   I
t
A A
1 t
1 t
t
1
t
t
n
 In
1 t
t
n
 In
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Matriz Inversa
Exemplo 6:
• Vamos verificar a propriedade
(At)-1
=
(A-1)t
 3 1
para a matriz A  

 2 1
Calculando At e A-1 , teremos respectivamente:
3 2

At  
1 1 
 1  1

A1  
 2 3 
Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:
A 
t 1
 1  2
  A1
 
 1 3 
 
t
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Aplicação prática:
1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado
banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros
são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível
 3 1
denominada matriz chave, para X  

4
2


manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o
banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida.
a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave
e a matriz transmitida?
 26 12
 ,
b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é T  
36
18


qual sua senha?
Resposta:
a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S
b) 2509
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Exercícios de fixação
01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível:
3

a) A   4
5

6
3

5
2

3
Resp: é singular
 2

b) B   2
2 2


 2

2 
 cos
c) C  
 sen
 sen 

cos 
Resp:
1/5
√2
-2/5 √2
Resp:
1/5
√2
1/10
cosɵ senɵ
-senɵ cosɵ
√2
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Exercício de Fixação
  2  3
 2 0
 e B  
.,calcule:
02. Dadas as matrizes A  
1
1
4
1




a) (AB)-1
Resp: a)
c) AA-1 – I
b) (AB)t
1/2
3/2
-3
-8
-16
b)
-3
d) (2B)-1
6
1
c) 0
d)
1/4
0
-1
1/2
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Matriz Inversa
Exercício de Fixação
03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A
solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz
(BAX), é a matriz X tal que:
a)
X   AB B t
1
b) X  BA1 Bt
c) X  B t  AB
1
d) X  Bt BA1
Resposta: B
Exercícios de fixação
04. Se
 1 1

A  
0 1

-1
e
(A-1.X) = B.
Resposta:
 2 1

X  
 1 0
0 1 
 , determine a matriz X2x2 tal que
B  
 1  1