Capítulo 3- Resposta no Tempo
INTRODUÇÃO AO CONTROLO
1º semestre – 2011/2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap 3 – Resposta no Tempo
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Objectivos
• Rever conceitos sobre a resposta no tempo de SLITs
• Pólos, zeros, ganho estático e a resposta dinâmica de
SLITs
• Caracterização da resposta de sistema de 1ª e 2ª
ordem e ordem superior
• Sistemas de fase não mínima
• Relação tempo-frequência
 Referências
o Cap.3 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)
o Sinais e Sistemas, Isabel Lourtie, Escolar Editora (para revisão de
conceitos sobre TL)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência: definição
r(t)
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
y(t)
SLIT
Quociente da transformada de Laplace do sinal de
saída pela transformada de Laplace do sinal de
entrada considerando nulas as condições iniciais
Y(s)
G(s) 
R(s) c.i.0
R(s)
Y(s)
G(s)
Para condições iniciais nulas
Y(s)  G(s).R(s)
• A função de transferência é um conceito potente para descrever o
comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída
• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o
sistema do ponto de vista de entrada-saída
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo
r(t)
y(t)
SLIT
Dados
•a equação diferencial que representa um modelo do SLIT
•a entrada r(t)
•as condições iniciais
Pretende-se:
• Conhecer a evolução temporal da saída, y(t)
Uma maneira de resolver o problema
Resolver a equação diferencial que é a representação do
comportamento de entrada-saída
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência e a Resposta no Tempo
y(t)
r(t)
SLIT
R(s)
r(t)
Resolução da eq.diferencial
y(t)
TLu
TLu-1
R(s)
Y(s)
Y(s)  G(s).R(s)
Se as condições iniciais forem nulas
Y(s)
G(s)
Y(s)
G(s) 
R(s) c.i.0
Resposta no tempo a partir da FT:
exemplo de sistema de 1ª ordem
Capítulo 3- Resposta no Tempo
m
F(s)
f(t)
V ( s)
G(s) 
G(s)
b
1m
s m
Sistemas mecânicos de translação
exemplo-1ªordem
u(t) = escalão de Heaviside
1
f(t) = F u(t) = entrada do
sistema
F
TL(u( t )) 
1
s

TL( f ( t )) 
F
s
assume-se que o
sistema está
inicialmente em repouso
TL-1
F
1 

v( t )  TL1( V(s))  TL1 .
 s ms   
V ( s) 
F
1
.
s ms  
Resposta no tempo a partir da FT:
exemplo de sistema de 1ª ordem
Capítulo 3- Resposta no Tempo
F
1 

v( t )  TL1( V(s))  TL1 .
 s ms   
G(s) 
1m
s m
decomposição em fracções parciais
1 
F 1
F1 m
1 


 F.

s ms   s(s   m)
 s s   m) 

1
1  mt
v( t )  F u( t )  F e u( t )



1
1  mt
v( t )  F  F e


para t  0
saída
F

F
1

Ganho em
regime
estacionário
A FT e a obtenção da resposta de um SLIT
com c.i. não nulas
Capítulo 3- Resposta no Tempo
r(t)
Resolução da eq.diferencial
Utilização da Função de
Transferência na obtenção da
resposta de um SLIT
y(t)
TL
TL-1
Se as condições iniciais forem nulas
R(s)
Y(s)  G(s).R(s)
Y(s)
E se as condições iniciais não forem nulas?
Não é possível continuar a usar (directamente) a Função de Transferência ?
G(S)
eq.diferencial
TLu
TLu-1
Y(s)
R(s)
c.i. 0
Já tem em
linha de conta
as c.i.
y(t)
A FT e a obtenção da resposta de
um SLIT com c.i. não nulas
Capítulo 3- Resposta no Tempo
exemplo
dy(t)
 ay(t)  Kr(t)
dt
K
G(s) 
 Y(s)/R(s)
sa
TLu considerando c.i. não
r(t) u(t)
nulas
sY(s) y(0 )  aY(s) KR(s)
y(0 )  1
y(0 )
K 1
Y(s)

sa sa s
y(0 )
K
Y(s)

R(s)
sa sa
TL-1
y(t)  y(0 )e
-
at
Resposta devida à
excitação pelas condições
iniciais
K
 (1  e at ), t  0
a
Resposta devida à excitação
pela entrada r(t)
Sistema linear
Princípio da sobreposição
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de transferência: caso geral. Pólos e Zeros
R(s)
Y(s)
G(s)
G(s) 
N(s) polinómio de grau m

D(s) polinómio de grau n
N(s) bmsm  bm1sm1    b1s  b0
G(s) 

, m, n  N0
D(s) ansn  bn1sn1    a1s  a0
Função de transferência
• própria
 nm
Só estudaremos este tipo de FT
• estritamente própria  n>m
• não própria
 n<m
Pólo do SLIT
C é um polo do sistema com FT própria G(s) sse |G()|=
Zero do SLIT
C é um zero do sistema com FT própria G(s) sse |G()|=0
Se N(s) e D(s) não tiverem factores comuns
• Os pólos do sistema são os zeros de D(s)
• Os zeros do sistema são as zeros de N(s)
cuidado ao cancelar factores comuns nos
polinómios N(s) e D(s)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Função de Transferência: outras representações
N(s) bmsm  bm1sm1    b1s  b0
G(s) 

, m,n  N0
n
n1
D(s) ans  bn1s    a1s  a0
Representações alternativas (Se não houver pólos e/ou zeros na origem, nm )
G(s) 
Pólos
Forma das
constantes de
tempo
N(s)
(s  z1 )(s  z2 )....(s  zm )
K
, m,n  N0
D(s)
(s  p1 )(s  p2 )....(s  pn )
{-p1, -p2, ... , -pn}
Zeros
{-z1, -z2, ... , -zm}
(em rad/seg)
N(s)
(1 sT1 )(1 sT2 )....(1 sTm )
G(s) 
 K0
, m, n  N0
D(s)
(1 s 1 )(1 s 2 )....(1 s n )
1
Ti 
zi
i 
1
pi
(em seg)
Se -pi for um pólo real
K 0 ganho estático
Atenção ao valor do ganho
estático quando houver pólos
e/ou zeros na origem
i 
1
pi
constante
de tempo
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no tempo a partir da FT:
exemplo de sistema de 1ª ordem (cnt)
f(t)
m
1m
G(s) 
s m
pólo =   (rad/seg)
m
não tem zeros
constante de tempo=
b
F(s)
m
(seg)

V ( s)
G(s)
FT na forma das constantes de tempo
G(s) 
1 1
 1  s m
jw
1
Ganho estático=
= 1.33



m

Quando  m aumenta,
• a resposta do sistema torna-se mais rápida.
• a constante de tempo diminui
• o regime transitório atenua-se mais rapidamente

1
m
 O pólo determina a natureza da componente
natural da resposta; pólo real  exponencial
amortecida
 Como é a resposta em frequência para estas duas
situações?
|pólo| a aumentar

 0.375
m
  0.75

Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: caso geral de 1ª ordem
R(s)
G( s)  K 0
a
sa
Y(s)
jw
Pólo = -a (rad/seg)
Constante de tempo = 1/a (seg)
Ganho estático = K0
r(t)=u(t)
R( s ) 
1
s

a
K
K
1 a
Y(s)  K 0 .
 0 0
s sa s sa
y(t)  K0  K0eat
Para t0
declive  K 0 .
1
 K 0 .a
cons tan te de tempo
K0
t s (2%) 
86.5%
Tempo de estabelecimento (a 2%)–
tempo ao fim do qual a resposta se
confina a uma faixa de 2% do valor
final.
4
 4 * constante de tempo
a
ts a 5%
t s (5%) 
3
 3 * constante de tempo
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
Teorema do Valor Inicial
lim x( t )  lim sX (s)
X(s)  TL [ x( t )]
t 0
s
Se todos os pólos de sX(s) estão no s.p.c.e
Teorema do Valor Final
lim x( t )  lim sX ( s)
t 
s0
De que modo estes teoremas podem ser usados na
análise do comportamento (da saída) de SLITs ?
R(s)
G(s)
Y(s)
Y(s)  G(s).R(s)
Sem o cálculo explícito da saída para
uma dada entrada é possível avaliar
valores particulares da saída:
y(0 ), lim y(t ), y (0 ), y(0 ),....
t 
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Teoremas dos Valores Inicial e Final (para SLITs)
no cálculo de características da saída de um SLIT
R(s)
Y(s)
G(s)
Valor Inicial da Saída
lim y( t )  lim sY (s)  lim sG (s)R(s)
t 0
Entrada
escalão
unitário
s 
R(s) 
s 
1
s
lim y(t)  lim sG(s)
s
t 0
1
 lim G(s)
s s
Valor Final da saída
limy( t )  lim sY (s)  lim sG (s)R(s)
t 
Entrada
escalão
unitário
s 0
R( s ) 
s 0
1
s
limy( t )  lim sG (s)
t 
s 0
1
 lim G(s)
s s 0
Valor do ganho em
regime
estacionário
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Ganho Estático: exemplo
X
f(t)
m
b
Entrada=f(t)
F(s)
Saída = x(t)
X(s)
G1(s)
F(s)
1m
s m
V ( s)
1
s
este sistema tem um pólo na origem (a
posição é o integral da velocidade)
G1(s) 
1m
s(s   m)
K 0  limG1(s)  
s 0
X(s)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem
X
exemplo
m
f(t)
Objectivo: controlar o sistema em posição
b
G1(s)
R(s) +
_
K
F(s)
1m
s m
V ( s)
1
s
X(s)
Qual é a função de transferência do sistema controlado?
X(s)  G1(s)F(s)  G1(s)KR(s)  X(s)
(1 KG1(s))X(s)  KG1(s)R(s)
X(s)
KG1(s)

R(s) 1  KG1(s)
K
X(s)
m
G(s) 

R(s) s2  s   K
m m
• sistema de 2ª ordem, com 2 pólos, sem zeros
• ganho estático = ?
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem. Caso geral
Y(s)
R(s)
G(s)
w n2
G(s)  2
s  2w ns  w n2
Qual é a resposta para uma entrada escalão de amplitude unitária ?
• depende da localização dos pólos
s  ζw n  w n ζ 2  1
s2  2wns  wn2  0
0
jw n
 
jw d
0   1
Pólos complexos
conjugados
wn
Sistema subamortecido
 w n  jwn 1  
 1
Pólo real duplo
  arcsin
2
Sistema criticamente amortecido
 1
 wn
 w n  w n
wd  wn 1   2
 1
Pólos reais distintos
Sistema sobreamortecido
 w n  w n  2  1
 w n
 jw d
 jw n
0
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
w n  1,   0
w n  1,   0.3
Sistema subamortecido
wn  1,   1
Sistema criticamente amortecido
w n  1,   2
Sistema sobreamortecido
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Resposta no Tempo: sistema de 2ª ordem (exemplos)
w n  1,   0.3
Sistema subamortecido
zoom
w n  1,   2
Sistema sobreamortecido
zoom
A derivada na origem é nula
Demonstre este resultado usando o
teorema do valor inicial, mostrando que:
swn2
0
lim y (t )  lim 2
2
s


s  2w ns  w n
t 0
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido 0    1
pólos complexos
Wn – freq. oscilações naturais NÃO amortecidas
 -- coeficiente de amortecimento
Wd – frequência das oscilações amortecidas
s1,2  w n  jw n 1   2

wd
Resposta a uma entrada escalão unitária
y(t )  1
1
1 
2
e
w n t
sin(w n 1  t  )
2
Td
t0
Período das oscilações
sobreelevação
parte real dos pólos
S
1
Consequência de o ganho
estático ser unitário
parte
imaginária dos
pólos
 2%
0.9
1 2
  arctg

0.1
Nota: wn actua apenas como factor de escala
tr
de tempo
Tempo de
subida
tp
Tempo
de pico
ts
Tempo de estabelecimento
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Especificações no domínio do tempo
• As especificações para o desempenho de um sistema controlado são, por
vezes, expressas em termos da sua resposta no tempo
• Especificações típicas em termos de:
– Tempo de subida (tr) – tempo que o sistema demora a atingir a vizinhança de
um novo set-point
• Vulgarmente o intervalo entre 0.1 e 0.9 do valor final
– Tempo de estabelecimento (ts) – tempo que o regime transitório demora a
decair
• Vulgarmente o tempo até a saída se confinar a uma faixa de  5% do valor final
– Sobreelevação - (S%) – valor máximo da saída menos o valor final divido pelo
valor final
– Tempo de pico (tp) – é o tempo que o sistema demora a atingir o valor máximo
da saída
• Para sistemas de 2ª ordem, sem zeros, subamortecidos, estas
especificações podem expressar-se como função de  e de n
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido
Características da resposta
• Pontos em que a derivada se anula
dy( t )
0
dt
Para n=0
t
y (0 )  0
n
n

w d wn 1  2
n  0,1,2,...
A derivada na origem é nula
•Período das oscilações - Td
Td 
2
wd
•Tempo de pico - tp
Tempo ao fim do qual ocorre o máximo absoluto de y(t)
π Td
tp 

n=1
wd 2
w d  w n 1 ζ 2   parte imaginária dos pólos  t p 
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido
Características da resposta
• Sobreelevação – S%
S%  100
ymax  y final
y final
y max  y(tp )  1 e
S%  100.e


Só depende do
coeficiente de
amortecimento
ζπ
1ζ 2
ζ   S% 

1 2
• Tempo de subida - tr
Tempo requerido para a saída evoluir de 10% a 90% do valor final
Não há uma expressão analítica simples que relacione tr
com o coeficiente de amortecimento e a frequência wn.
Mas há expressões aproximadas
tr 
tr
1.8
wn
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido
Características da resposta
• Tempo de estabelecimento a 2% (ts(2%))
•Instante de tempo em que a saída atinge e se mantém numa faixa de  2% do valor final
•A mesma definição usada nos sistemas de 1ª ordem
y(t )  1
1
1 
2
e
1
1  2
w n t
 0.02
a 2%
ts 
4
w n
a 5%
ts 
3
w n
a 1%
ewnt sin(w n 1  2 t  )
4.6
ts 
ζw n
aproximação
sin( w n 1   2 t   )  1
wn  | parte real dos pólos|  t s 
Valores aproximados
Verifique a analogia com os
sistemas de 1ª ordem
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
Figuras retiradas de
Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido – Vários Exemplos
Figuras retiradas de
Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem Subamortecido
Lugar geométrico dos pólos que correspondem
a determinadas especificações
ωn constante
Tempo de subida constante
ξωn constante
Tempo de estabelecimento constante
ξ constante
Sobreelevação, constante
ωd constante
Tempo de pico constante
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Exercício
R(s) +
K
1
s2
1
s
Y(s)
_
• O ganho estático do sistema em cadeia fechada depende de K?
• Determine o valor de K para que a resposta do sistema em cadeia fechada a uma
entrada escalão de amplitude unitária tenha sobreelevação de 20%.
• Para esse valor de K qual é o tempo de estabelecimento a 5% da resposta?
K
Y(s)
K
s(s  2)

 2
R(s) 1 K
s  2s  K
s(s  2)
O sistema em cadeia fechada
tem uma f.t. da forma
w n2
G(s)  2
s  2w ns  w n2
Por
2ξω n  2
comparação: 
2
 K  n
Confirme resultados usando Matlab
Ganho estático unitário, independente de K
Das especificações pretendidas:
S %  20%  e
ωn 
t s (5%) 
3
n

1

 3seg
1 2
ln 2 0.2
 0.2   
 2  ln 2 0.2
  0.46
ωn  2.2  K  4.8
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 2ª ordem – Criticamente amortecido
w n2
G(s)  2
s  2w ns  w n2
 1
 1
 wn
w n2
G(s) 
( s  w n )2
entrada escalão de amplitude unitária
1
R( s ) 
s
c3
w n2
c1
c2
Y(s) 



s(s  w n )2 s (s  w n )2 s  w n
y(t)  1 wntewnt  ewnt
y(t)  1 (1 wnt)e wnt
t0
t0
ganho estático unitário
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior. Efeito de pólos adicionais
a.w n2
G(s)  2
(s  2w ns  w n2 )(s  a)
R( s ) 
1
s
Y(s) 
R1 R2 (s  w n )  R3 w d
R4


s
(s  w n )2  w 2d
sa
y(t)  R1  ewnt (R2 coswdt  R3 sin wdt)  R4eat
t0
• De que modo um pólo influencia a resposta global?
Através de:
– tipo de pólo (real, complexo, simples, duplo)
– parte real - que determina o ritmo de
decaimento da componente transitória associada
– resíduo associado – que depende da localização
dos outros pólos e zeros.
Contribuição de pólos para a
resposta transitória
e
 at
e  at , te  at
pólo simples
pólo duplo
eat sin(bt  )
pólos complexos
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de 3ª ordem sem zeros
G(s) 
25 * a
(s  a)(s2  4s  25)
-2
-8
-3
-1
sistema de 3ª ordem c/ 2 pólos complexos conjugados e um pólo real
a =1, 3, 8 rad/seg
sistema de
2ª ordem
a=8
a=3
a=1
 Quando |a| aumenta
• a influência do pólo real diminui
• O pólo torna-se “menos dominante”
• A resposta é “dominada” pelos pólos complexos
 Em qualquer das situações o sistema torna-se mais lento
• A largura de banda DECRESCE quando |a| diminui
Compare o diagrama de Bode para as quatro situações
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
G(s) 
25 * a
(s  a)(s2  4s  25)
 Quando |a| aumenta
• a influência do pólo diminui
• O pólo torna-se “menos dominante”
• Os pólos complexos são pólos dominantes
 Em que condições é possível desprezar o pólo (real) não dominante ?
 Quando o regime transitório associado é desprezável, no conjunto de todas as
contribuições transitórias, ao fim de aproximadamente 5 constantes de tempo.
 Quando o módulo do pólo real é pelo menos cinco vezes maior que o módulo
da parte real dos pólos dominantes.
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas de ordem superior: Pólos não dominantes
G(s) 
25 * a
(s  a)(s2  4s  25)
a  10
G(s) 
2ªordem
250
(s  10)(s2  4s  25)
3ªordem
25
G(s) 
(
1
s  1)(s2  4s  25)
10
O desprezo de pólos não
dominantes tem que preservar o
ganho estático
G(s) 
Que acontece no domínio da frequência?
Qual é o conceito de pólo não dominante no domínio da
frequência?
25
(s  4s  25)
2
Aproxima o sistema de 2ªordem,
no que respeita à resposta no
tempo
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Efeito de zeros adicionais
Qual a influência de zeros na resposta de SLITs?
G(s) 
bc
(s  a)
a (s  b)(s  c)
1
R(s) 
s
ganho
estático
unitário
Entrada escalão de
amplitude unitária
Cálculo geométrico dos resíduos
-c
Y(s) 
R1 
R
bc R1
R
(  2  3 )
a s sb sc
a
bc
ab
( b )(c  b)
c a
R3 
( c )(b  c )
R2 
Os zeros determinam o valor dos resíduos
-a
-b
y( t ) 
bc
(R1  R 2e bt  R 3 e ct )
a
aproximação
•
Os resíduos R2 ou R3 serão
pequenos se o zero estiver
próximo de pólo em –b ou do pólo R2  R3
em –c, respectivamente.
y( t ) 
bc
(R1  R 3 e ct )
a
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Pólos não dominantes: Redução de ordem
Em que condições
Sistemas de ordem superior podem ser aproximados por sistemas de ordem mais baixa?
•
Quando há PÓLOS NÃO DOMINANTES
– o resíduo associado ao pólo é pequeno
• Proximidade com um zero
– a parte real do pólo é elevada
• Regime transitório extingue-se muito rapidamente
Como se faz a aproximação ?
– despreza-se o pólo e o zero
– despreza-se o pólo
Cuidado a ter na aproximação
O sistema original e o aproximado devem ter o mesmo ganho estático
exemplo
G(s) 
236(s  1.1)
(s  1)(s  20)[(s  2)2  32 ]
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
w n2 (s  b)
G(s) 
b ( s  w n )2
1 pólo duplo e 1 zero
Para entrada escalão unitário
w n2 (s  b)
1 ( w n  b)w n / b
1
Y(s) 



b s(s  w n )2 s
(s  w n )2
s  wn
 w ( w  b)

y( t )  1   n n
t  1e w nt , t  0
b


Características da resposta
y(0  )  0
w n2
y (0 ) 
b
y( )  1
Use os teoremas dos valores inicial e final para chegar a
estas conclusões

Pode ser negativo se
o zero estiver no spcd
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
w n2 (s  b)
G(s) 
b ( s  w n )2
0  wn  b
-b
0  b  wn
-wn
-wn
-b
Existe
sobreelevação
wn  2
wn  2
b4
b 1
w n2 (s  b)
Y(s) 

b s(s  w n )2
 ( s  b)
Combinação linear de um sinal
e da sua derivada
w n2
1
 sY1(s)  bY1(s)
b s(s  w n )2

Y1 ( s )
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistemas com zeros. Efeitos de um zero adicional
w n2 (s  b)
G(s) 
b ( s  w n )2
b  0  wn
-wn
Pólo duplo e zero no spcd
-b
Sistema tem um zero no spcd
- sistema de FASE NÃO MÍNIMA
Derivada na origem é negativa
• Sistema de fase não mínima é aquele que
tem pelo menos um pólo e/ou um zero no
semi-plano complexo direito
– Pólo no spcd – instabilidade
– Qual é o efeito de um zero no spcd ?
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
Exemplo – Barrilete
– Centrais termoeléctricas
– Produção de vapor
r(t)
Caudal de água
fria à entrada
barrilete
h(t)
Altura da água no
barrilete
Lento
• Relação entre a abertura da válvula da
água fria e a altura da água no
barrilete depende de:
• Efeito rápido de contracção da água
devido à injecção de água fria
• Efeito de integração devido à adição de
massa
Rápido
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de Fase não mínima: Exemplo. Barrilete
Exemplo – Barrilete
•
•
G(s) 
H(s) H1(s) H2 (s)


R(s) R(s) R(s)
G(s) 
K1
1
K  (K1  1)s

 1
s s  1
s( s  1)
Para certa relação de K1 e  o sistema tem um zero no semi-plano complexo direito ( <1/ K1 )
Nos sistemas reais <<1, K1<<1.
entrada escalão r(t) =u(t)
Capítulo 3- Resposta no Tempo
Sistema de fase não mínima: Manipulador Flexível
Manipulador Rígido
T
saída

entrada
T(t)
(t)
t
0
t
0
T-binário motor
Manipulador Flexível
saída
T

entrada
T(t)
0
(t)
t
T-binário motor
Efeito de “chicote” (FASE NÃO MÍNIMA)
t