SEAM
17/03/2014
Congruência de Triângulos
Temos que dois triângulos são congruentes:
•Quando seus elementos (lados e ângulos)
determinam a congruência entre os
triângulos.
•Quando dois triângulos determinam a
congruência entre seus elementos.
Casos de congruência:
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados
congruentes e ângulos formados também
congruentes.
2º LLL (lado, lado, lado): três lados
congruentes.
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos
congruentes e lado entre os ângulos
congruente.
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência
do ângulo adjacente ao lado, e congruência
do ângulo oposto ao lado.
Através das definições de congruência de
triângulos podemos chegar às propriedades
geométricas sem a necessidade de efetuar
medidas. A esse método damos o nome de
demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles,
os ângulos opostos aos lados congruentes
são congruentes. Os ângulos da base de um
triângulo isósceles são congruentes.
Pontos Notáveis de um Triângulo
Cevianas Notáveis
As cevianas aqui estudadas serão:
Mediana, Bissetriz Interna e Altura.
O nome ceviana foi dado a esses
seguimentos em homenagem ao
matemático italiano Giovanni Ceva (16481734), que demonstrou teoremas
importantes
Definição de Ceviana: é todo segmento que
tem uma das extremidades num vértice
qualquer de um triângulo e a outra num
ponto qualquer da reta suporte ao lado
oposto a esse vértice.
Por convenção, os pontos médios dos
lados opostos aos vértices A,
B e C são denotados por Ma e Mb ,
respectivamente e os comprimentos
das medianas relativas aos mesmos
são denotados por ma e mb .
Mediana e Baricentro
Num triângulo ABC, marquemos
ponto médio do lado BC.
,
Tracemos o segmento
:
O segmento
triângulo ABC.
é uma mediana do
Mediana de um triângulo é um
segmento com extremidades num
vértice e no ponto médio do lado
oposto.
Um triângulo tem três medianas. Na
figura, as três medianas são:

, mediana relativa ao lado
BC ou ao vértice A;

, mediana relativa ao lado AC
ou ao vértice B;

, mediana relativa ao lado AB
ou vértice C.
As três medianas de um triângulo
encontram-se num ponto chamado
baricentro do triângulo.
Na figura, G é o baricentro do triângulo
ABC.
Bissetrizes e incentro.
Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz
As, relativa ao ângulo Â. Chamemos de
S1 o ponto de encontro da bissetriz com
o lado BC.
Destaquemos o segmento
AS1. O segmento AS1 é uma
bissetriz do triângulo ABC.
Observe que:
O segmento AS1 está
contido na semirreta As
(bissetriz do ângulo Â);
S1 é a interseção do lado BC
com a bissetriz do ângulo Â.
Bissetriz de um triângulo é um segmento com
extremidades num vértice e no lado oposto e que
divide o ângulo desse vértice em dois ângulos
congruentes.
Um triângulo em três bissetrizes. Na
figura, as três bissetrizes são:
 As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice
A;
BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vértice B;
CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice.
As três bissetrizes de um triângulo
encontram-se num ponto chamado
incentro do triângulo.
Na figura, S é o incentro do
triângulo ABC.
Alturas e ortocentro
Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma
reta r perpendicular à reta que contém o lado
BC.
Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r
com a reta BC:
Destaquemos o segmento AH1:
O segmento AH1 é uma altura do triângulo
ABC.
O ponto H1 é a interseção da reta BC com a
perpendicular a ela conduzida pelo ponto A.
H1 também é chamado pé da altura.
Altura de um triângulo é o segmento
perpendicular à reta suporte de um lado, com
extremidade nessa reta e no vértice oposto a
esse lado.
Um triângulo tem três alturas. Observe:
Nas figuras acima, as três alturas são:
AH1, altura relativa ao lado BC
ou ao vértice A;
BH2, altura relativa ao lado AC
ou ao vértice B;
CH3, altura relativa ao lado AB
ou ao vértice C.
As três alturas, ou os seus
prolongamentos, encontram-se num
ponto chamado ortocentro do triângulo.
Nas figuras, H é o ortocentro do
triângulo ABC, o qual pode ser interno
ao triângulo (quando o triângulo ABC é
acutângulo) ou externo ao triângulo ABC
é obtusângulo).
Mediatrizes e circuncentro
Num triângulo ABC, tracemos a reta
perpendicular ao lado BC e passando
por
, ponto médio de BC.
A Reta
éa
mediatriz do
lado BC.
Um triângulo em três mediatrizes de lados.
Na figura abaixo, as três mediatrizes são:
•
•
•
, mediatriz de BC;
, mediatriz de AC;
, mediatriz de AB.
As três mediatrizes dos lados de um
triângulo encontram-se num ponto
chamado circuncentro do triângulo.
Na figura, O é o circuncentro
do triângulo ABC.
EXERCÍCIOS
1- No triângulo, determine
os valores de x e y:
2. Um triângulo tem dois
de seus ângulos medindo
46° e 112° ,
respectivamente. Qual a
medida do terceiro ângulo
desse triângulo?
4. Determine, na figura
abaixo, as medidas x, y e
z indicadas:
5- Um triângulo é
isósceles e dois lados
medem 4 cm e 6 cm.
Que medidas pode ter
o terceiro lado?
6- Se AS é bissetriz do
triângulo ABC determine  e
B nos casos:
7- Calcule o valor de x
nas figuras:
8 -O segmento de reta s do triângulo
abaixo é:
a) Mediana
b) Bissetriz
c) Altura
d) Incentro
9 - O segmento de reta M do
triãngulo abaixo é:
a) Mediana
b) Bissetriz
c) Altura
d) Incentro
10 - Dada a figura abaixo,
qual o nome do segmento
de reta H?
a) Mediana
b) Bissetriz
c) Altura
d) Ângulo
11 - Marque V para verdadeiro e F
para falso
( ) Existe a possibilidade de
desenhar um triângulo cuja
medidas dos lados são
respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm.
( ) A soma dos ângulos internos de
um triângulo é 180º.
( ) Altura é segmento de reta
com origem em um dos vértices
e perpendicular (forma um
ângulo de 90º) ao lado oposto.
( )Mediana é um segmento
que divide as bases do triângulo
em duas partes iguais.
( )Bissetriz também é um
segmento de reta com origem
em um dos vértices do
triângulo com a outra
extremidade no lado oposto a
esse vértice. Sendo que ela
divide ao meio o ângulo
correspondente ao vértice.