Luiz Carlos Terra
Análise de Regressão
Em mercadologia é importante conhecer as ferramentas
existentes para estimação dos valores de vendas, de preços
de produtos ou de custos de produção. A análise de
regressão representa um instrumento valioso para a
realização dessa tarefa. Nessa aula, você terá uma
importante base teórica para o entendimento dessa técnica.
(Luiz Carlos Terra)
Análise de Regressão
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Objetivo
Em mercadologia é importante conhecer as ferramentas existentes para estimação dos
valores de vendas, de preços de produtos ou de custos de produção. A análise de regressão
representa um instrumento valioso para a realização dessa tarefa. Nessa aula, você terá
uma importante base teórica para o entendimento dessa técnica.
Tópicos:
1 - Regressão linear simples.
2 - Diagrama de dispersão.
3 - Ajustamento da reta.
4 - Exercício resolvido.
5 - Saiba mais.
6 - Bibliografia.
1 – Regressão Linear Simples
Regressão Linear Simples: Quando você estudou as medidas de posição ou de dispersão,
o conjunto de dados era composto por apenas uma variável. Vimos na aula anterior que é
possível verificar se existe associação entre duas ou mais variáveis, calculando o coeficiente
de correlação. Agora mostraremos através da análise de regressão, como constroem-se
modelos estatísticos de relações entre essas variáveis, possibilitando a previsibilidade de
valores. Assim, estabelecendo um valor para a variável independente, é possível estimar o
valor para a variável dependente.
Na REGRESSÃO, assim como foi explicado na teoria da correlação, a variável y é chamada
de variável dependente e a variável x, de variável independente.
Sendo y uma variável que nos interessa estudar e cujo comportamento futuro desejamos
prever, é fácil identificarmos uma série de variáveis xi (x1, x2, x3,... xn) que influenciam o
comportamento de y, a variável dependente do modelo yi.(y1, Y2, Y3 ,...Yn).
O modelo a ser estudado é o de regressão linear simples, representado pela fórmula da
equação de reta: y = a + bx. É uma regressão linear por que supõe-se o ajustamento dos
pontos de encontro das duas variáveis em torno de uma reta. Ao mesmo tempo, esse
modelo é também uma regressão linear simples, pois embora a regressão possa envolver
mais de uma variável, abordaremos um caso com duas variáveis apenas. Quando tratar-se
do estudo da relação entre mais de duas variáveis, a regressão será chamada de regressão
múltipla e embora os cálculos sejam mais complexos, o raciocínio é o mesmo.
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Análise de Regressão
2 - Diagrama de Dispersão
Suponhamos que dispomos dos seguintes dados: a renda média familiar da população de
várias cidades e a quantidade de carros zero quilômetro vendidos pela principal loja da
cidade em um mês. Assim, observe o gráfico abaixo:
Renda
($1.000)
5
10
20
8
4
6
12
15
Cidade
A
B
C
D
E
F
G
H
Carros 0 km vendidos (em
unidades)
27
46
73
40
30
28
46
59
Uma forma de verificar se há relação entre a renda e as vendas de carros é colocar os
dados em um gráfico, denominado diagrama de dispersão, onde a renda é medida ao
longo do eixo horizontal e as vendas de carros, medidas ao longo do eixo vertical. O
cruzamento das duas observações é marcado com um ponto, conforme mostrado a seguir:
Vendas em função de renda
Vendas
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Renda
Observa-se nesse gráfico que há uma tendência de crescimento linear entre as variáveis,
ou seja, quanto mais elevada a renda, maior será o consumo do produto. O coeficiente de
correlação confirma essa tendência, pois seu índice é de 0, 98; ou seja, bem próximo de
um, o que significa uma forte relação positiva entre a renda e as vendas. Quanto mais
cresce a renda da população dessas cidades, maior é a procura por carros zero quilômetro.
Análise de Regressão
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3 - Ajustamento da Reta (Método dos Mínimos Quadrados)
Pela equação da reta y = a + bx, é necessário identificar qual é a verdadeira reta que passa
pelos pontos de cruzamento das observações. Para isso, é necessário calcular os valores
de a e b, que são os coeficientes de determinação dessa reta, sendo a o coeficiente linear,
ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo dos y e b; o coeficiente angular. Essa será a reta
que passa o mais próximo possível dos pontos observados no diagrama de dispersão,
tornando mínima a distância entre os pontos observados e ela. O método que minimiza as
discrepâncias entre os pontos e a reta, sendo o melhor para a determinação dos parâmetros
a e b é o método dos mínimos quadrados, que torna possível calcular esse parâmetros
com a aplicação das seguintes fórmulas:
Onde: n = tamanho da amostra.
= média dos xi.
= média dos yi.
Com os parâmetros a e b definidos, a reta de regressão que se ajusta aos dados é
representada por:
Y = 14,58 + 2,90 X;
onde, calculando pela fórmula acima, descobre-se que 2,90 equivale ao b calculado; 14,58
ao a, X é a renda observada e Y é o número de carros vendidos.
Com essa equação da reta de regressão, é possível fazer a projeção de valores para outras
cidades, verificando a possibilidade de estabelecer novas lojas de carros nelas.
Por exemplo, se existe a informação de que em determinada cidade a renda média mensal
da população é de $ 25.000, pode-se estimar que haverá uma demanda por
aproximadamente 87 carros novos.
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Análise de Regressão
O cálculo para estimar esse valor foi feito com base na equação da reta de regressão,
assim:
Y = 14,58 + 2,90 x 25, onde 14,58 e 2,90 são os parâmetros calculados para identificação da
reta, 25 é a observação da renda dessa cidade ($ 25.000,) e Y é o valor que se quer estimar.
Logo, Y = 14,58 + 72,50 = 87,08.
Vale lembrar também que a complexidade dos cálculos para identificação dos parâmetros
da reta é superada pela possibilidade de calculá-los através de calculadoras eletrônicas
ou ainda, pelo excel. Em SAIBA MAIS, estarão os passos para os cálculos dos coeficientes
da reta de regressão pela HP12C e pelo excel.
4 - Exercício Resolvido
Utilizando os dados abaixo:
a) Construa o diagrama de dispersão.
b) Ajuste uma reta aos dados pelo método de mínimos quadrados. Trace-a no
diagrama de dispersão.
c) Qual é o custo para 16 unidades do artigo?
Quantidade
(x)
Custos
(y)
10
11
12
13
14
15
100
112
119
130
139
142
Solução:
a) Diagrama de dispersão
Custos
Diagrama de dispersão
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
Quantidades
Análise de Regressão
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b) Ajustamento da reta
Nesse item, precisamos avaliar a e b. É conveniente a construção da tabela:
∑
6
X
10
11
12
13
14
15
75
Y
100
112
119
130
139
142
742
Xy
1000
1232
1428
1690
1946
2130
94
26
X2
100
121
144
169
196
225
955
Análise de Regressão
140
_____ y= 15,79 + 8,63x
Custos
130
120
110
100
10
11
12
13
14
Quantidades
c) Custo para 16 unidades
Como x = quantidade e y = custo, basta calcularmos o valor de y quando x = 16. Assim:
y = 15,79 + 8,63. (16)
y = 153,87
Logo o custo para dezesseis unidades será de R$ 153,87.
Cálculo dos parâmetros a e b, pela HP-12C.
- Após a introdução dos dados Y – ENTER e X -∑+, para cálculo do coeficiente de
correlação (lembre-se: introduzidos X e Y, tecla azul seguida de tecla 2 e tecla x<>y =
- r -.), digitam-se na sequência as seguintes teclas:
- Tecla 0, tecla g, tecla 2 = o valor que aparece é o valor de a.
- Tecla STO, tecla 0, tecla 0, tecla g, tecla 1, tecla CHS, tecla RCL, tecla 0.
- Tecla x<>y; tecla ¸ = o valor que aparece é o valor de b.
saiba mais
Cálculo pelo Excel:
- Primeiro passo – colocar os valores de X e Y em duas colunas.
- Segundo passo – escolha as funções: inclinação para conhecer o valor de b e a
função intercepção para conhecer o valor de a. Em – val, conhecidos- digita-se a
primeira e a última célula tanto dos valores de Y quanto dos valores de X, separadas
por dois pontos.
Análise de Regressão
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Anotações:
bibliografia
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_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Spiegel, Murray R.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Estatística – Ed.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
McGraw-Hill – 1993
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Lopes, Paulo Afonso –
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Probabilidade e
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
estatística – Ed.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Reichmann e Affonso
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Editores.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Stevenson, William J.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Estatística aplicada à
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
administração –
Editora Harbra
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Complementar.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Braule, Ricardo –
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Estatística aplicada
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com excel – Editora
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Campus.
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______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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