GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares II
Rotações
© antónio de campos, 2009
ROTAÇÕES
A rotação tem como objectivo permitir obter uma representação mais
conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver
problemas e situações que a representação inicial não nos permite.
A rotação consiste em rodar um objecto em torno de um eixo (ou
charneira), para colocar o objecto numa nova e mais favorável posição em
relação aos planos de projecção.
ELEMENTOS BÁSICOS DAS ROTAÇÕES
A – ponto a rodar.
e
e – recta em torno da qual o ponto A roda
(eixo de rotação).
AA’ – arco de circunferência que
corresponde à rotação do ponto A.
A’ – posição final do ponto A, após a sua
rotação.
θ – plano ortogonal a e (eixo de rotação),
no qual existe o arco da rotação de A.
O – centro do arco da rotação do ponto A.
αº - amplitude do arco da rotação do
ponto A.
θ
A’
O
αº
A
Transformação de um Segmento de Recta Oblíquo
num Segmento de Recta Vertical via Rotação
Pretende-se transformar um segmento de recta oblíquo [AB] num segmento
de recta vertical, com o recurso à rotação do segmento.
Primeiro é
necessário
transformar o
segmento de recta
[AB] num segmento
de recta frontal,
com alterações nos
afastamentos,
mantendo-se as
cotas.
Os arcos de rotação
estão contidos em
planos horizontais (ν
para o ponto P, ν1
para o ponto A e ν2
para o ponto B), e o
eixo da rotação será
uma recta vertical,
ortogonal aos planos
que contém os arcos
de rotação.
e2
A2
A’2
B2
O2 ≡ P’2 (fν)
(fν2)
B’2
B1
P’1 B’1
P2
A’1
x
P1
(fν1)
São utilizados um eixo de rotação
vertival qualquer (e) e um ponto
P, para efectuar a rotação (com o
ponto O como centro da rotação
de P).
A1
(e1) ≡ O1
A recta paralela ao eixo x é uma
recta de suporte para localizar
A’1 e B’1 para que o segmento de
recta fique com os afastamentos
iguais, dando origem a um
segmento de recta frontal.
A seguir, é
necessário rodar
o novo segmento
de recta frontal
[A’B’], até ficar
ortogonal ao Plano
Horizontal de
Projecção, para
obter o segmento
de recta vertical.
As alterações
serão agora em
relação às cotas,
mantendo-se os
afastamentos.
B’’2
e2
(fν1)
A2
(fν)
(fν2)
x
B2
A’’2
O2 ≡ P’2
T2
B’2
T1
A’1
P1
B1
P’1 B’1
Q1
A1
O plano frontal φ
contém o arco da
rotação do ponto
T.
T’2
A’2
P2
(hφ)
(e’2) ≡ Q2
(e1) ≡ O1
e’1
T’1 ≡ A’’1 ≡ B’’1
Transformação de uma Recta Oblíqua
numa Recta de Topo via Rotação
Uma recta oblíqua r é paralela ao β1,3, contém o ponto A (2; 4) e a sua
projecção frontal faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao
processo das rotações, transforma a recta r numa recta de topo.
r2
(e2)
e’2
A2
Primeiro é
necessário
transformar a
recta r numa
recta horizontal,
com alterações
nas cotas,
mantendo-se os
afastamentos.
O ponto F vai
permitir a
existência de dois
pontos para poder
definir por
completo a recta
horizontal r’.
A’2
r’2
x
A1
r1
F2
F’2
F1
F’1
A’1
r’1
A’’2 ≡ r’’2
e1
(e’1)
A’’1
r’’1
A seguir, é necessário
rodar a recta horizontal r’,
até ficar ortogonal ao Plano
Frontal de Projecção, para
obter a recta de topo.
As alterações serão agora
em relação aos
afastamentos, mantendose as cotas.
Transformação de uma Recta Oblíqua
numa Recta Fronto-horizontal via Rotação
Pretende-se transformar uma recta oblíqua numa recta fronto-horizontal.
Primeiro é
necessário
transformar a
recta r numa
recta paralela a
um dos Planos de
Projecção, que
neste caso será o
o Plano Horizontal
de Projecção, com
alterações nas
cotas, mantendose os
afastamentos.
O ponto M é o
ponto a rodar e O
o centro da
rotação de M.
e’2
r2
A seguir, é necessário rodar a
projecção horizontal da recta r,
até ficar paralela ao eixo x e ao
Plano Frontal de Projecção. Para
tal, é necessário outro ponto
qualquer para além de M’, para
que r’ seja definida antes de ser
rodada.
(e2) ≡ O2 ≡ Q2
Depois, será utilizado um
segundo eixo para rodar a
r’1, a partir do ponto T.
N2
r’2 ≡ (fυ ) ≡ r’’2
M2
M’2
T2
x
O plano frontal φ
contém o arco da
rotação do ponto
M.
(hφ)
T1
Q1
(hφ’)
r’1
O1 ≡ M’1
Z2 ≡ T’2
N’2
N’1
M1
N1
T’1
r’’1
r1
e1
O resultado é a projecção
frontal r’2 paralela ao eixo
x, após a rotação.
(e’1) ≡ Z1
O resultado final é a
recta r’’, que é a recta r
na sua nova posição
paralela a ambos os planos
de projecção e portanto
uma recta frontohorizontal.
Uma recta oblíqua r é paralela ao β1,3, contém o ponto A (2; 3) e a sua
projecção frontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao
processo das rotações, transforma a recta r numa recta vertical.
Depois de desenhar as
projecções da recta r,
é necessário
transformar a recta r
numa recta frontal,
com alterações nos
afastamentos,
mantendo-se as cotas.
r2
r’2
r’’2
A2
A’2≡ O2
O eixo da rotação será
uma recta vertical
qualquer (e).
Um outro ponto (F) da
recta r é necessário
para definir r2.
(e’2) ≡ Q2
e2
A’’2
F2
x
As alterações serão
agora em relação às
cotas, mantendo-se
os afastamentos.
F’2
F1
r’1
r1
A1
Q1
A’1
(e1) ≡ O1
e’1
A seguir, é
necessário rodar a
nova posição da
recta r, a recta
frontal r’, até ficar
ortogonal ao Plano
Horizontal de
Projecção, para
obter o segmento de
recta vertical.
F’1
A’’1 ≡ (r’’1)
O novo eixo (e’’) será
uma recta de topo
qualquer, para se
rodar A’.
O resultado final é a
recta r’’, que é a recta r
na sua nova posição de
recta vertical, passando
pelo ponto A.
Transformação de uma Plano Oblíquo
num Plano Horizontal via Rotação
Pretende-se determinar a V.G. do triângulo [ABC] , recorrendo a rotações.
Para determinar a
V.G., o plano δ será
transformado em
plano horizontal.
e2
fδ
f’δ
Primeira rotação
será determinada
por um eixo vertical
(e) para rodar o
plano transformando
as suas rectas
horizontais em
rectas de topo.
As alterações vão
ser realizadas ao
nível dos
afastamentos.
C2 ≡ C’2
A2
x
O ponto M é o ponto
do plano δ a rodar.
O plano δ rodado é um plano
de topo. O traço frontal
rodado do plano δ (f’δ) é
concorrente com h’δ no eixo
x e contém C’2.
A seguir se rodão os pontos
A, B e C. A’2 e B’2 estão
sobre f’δ.
B2
M2
A’2 ≡ B’2
M’2
C1≡ (e1) ≡ O1≡ C’1 B’1
A1
hδ
O2
M1
B1
M’1
A’1
h’δ
e2
Segunda rotação
será determinada
por um eixo (e’),
recta de topo, com o
ponto P utilizado
para a rotação,
resultando num
plano horizontal.
fδ
C2 ≡ C’2
P2
A2
B2
M2
x
No fim a V.G. é
conseguida no
triângulo [A’’B’’C’’].
(e’2) ≡ Q2
f’δ
P’
M’2 2 Q1 ≡ P’1 (f’’δ)
P1 C’’2A’’2 ≡ B’’2
A’2 ≡ B’2
C1≡ (e1) ≡ O1≡ C’1 B’1
A1
hδ
O2
C’’1
M1
B1
M’1
A’1
B’’1
A’’1
h’δ
e’1
Um triângulo oblíquo [ABC] é contido num plano oblíquo α. O plano α é
ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo
x.Os vértices do triângulo são A (4; 3), B (2; 2) e C (1; 5). Determina a V.G. Do
triângulo, transformando o plano α num plano frontal, por meio de rotações.
Primeiro, há que desenhar o
triângulo, pertencente ao plano,
via os traços horizontais.
B’2
C2
f’α
P2
fα
P’2
x
A seguir Primeiro, há que realizar
a primeira rotação determinada
por um eixo de topo (e) para rodar
o plano transformando as suas
rectas frontais em rectas
verticais, obtendo um plano
vertical. Para economizar traços, o
eixo passa pelo ponto A.
C’2
A2 ≡(e2) ≡ O2 ≡A’2
P’1
P1
O1
C’1
C1
B’1
B1
A1 ≡A’1
e1
hα
As alterações vão ser realizadas
ao nível das cotas.
O ponto P é o ponto do plano α a
rodar.
B2
h’α
B’’2
Segunda rotação será
determinada por um
eixo (e’), vertical, com o
ponto A utilizado para a
rotação, resultando num
plano frontal.
B’2
e’2
C2
f’α
P2
fα
Q2 ≡ A’’2
P’2
C’’2
A2 ≡(e2) ≡ O2 ≡A’2
P’1
x
(h’’α) C’’1
C’2
B’’1
A’’1
B2
P1
O1
C’1
As alterações agora
serão ao nível dos
afastamentos.
C1
B’1
B1
A1 ≡A’1
e1
(e’1) ≡ Q1
hα
h’α
No fim a V.G. é
conseguida no triângulo
[A’’B’’C’’].