Os Resíduos de Solow
Notas de Aula
Prof. Giácomo Balbinotto Neto
UFRGS/FCE
Robert Solow (1924 -
Prêmio Nobel , 1987
2
Um esquema contábil do
crescimento econômico
Solow (1957) [Technical Change and the
Aggregate Production Function, RES]
desenvolveu um esquema contábil para medir
os principais fatores responsáveis pelo do
crescimento econômico.
3
A Contribuição Empírica de Solow
The empirical estimation of the contributions of various
production factors to GNP is linked with the work of
several other economists. Solow's contributions in two
articles, Technical Change and the Aggregate
Production Function, published in 1957, and in
Investment and Technical Progress, from 1960, laid the
foundations for what was later to develop into "growth
accounting".
4
A Contribuição Empírica de Solow
In his first article, Solow based his model on time series
figures for total production, the total input of labor and the
cost shares of these factors in total production. Solow thus
achieved a measure for continuous change in production
technology over time by calculating the difference between
the relative development of production and the
development of the supply of labor and capital, weighted by
factor shares. On the basis of this estimated series, Solow
could assess the production function, (ie the mathematical
relationship between production, on the one hand, and the
input of production factors, on the other).
5
A Contribuição Empírica de Solow
The change in production technology (the change in production which
could not be interpreted as changed inputs of labor and capital) was
interpreted as the result of changes in production techniques, that is
to say, technical progress.
Solow's analysis showed that technical improvements were neutral
over time (the distribution of GNP between earnings and capital yield
was not affected by technical change). He also demonstrated that
only a small proportion of annual growth could be explained by
increased inputs of labor and capital.
Solow's study had a dramatic impact - similar analyses were
undertaken in a great many other countries. Access to better
statistical data in the form of time series for capital and labor has
permitted more reliable results to be achieved.
6
A Contribuição Empírica de Solow
In an article published in 1960, Investment and
Technical Progress, Solow presents a new method of
studying the role played by capital formation in
economic growth. His basic assumption was that
technical progress is "built into" machines and other
capital goods and that this must be taken into account
when making empirical measurements of the role played
by capital. This idea then gave birth to the "vintage
approach" (a similar idea was discussed by Leif
Johansen in Norway at about the same time).
7
A Contribuição Empírica de Solow
The vintage approach assumes that new investments are
characterized by the most modern technology and that the capital
that is formed as a result does not change in qualitative terms over
its remaining life. Thus, the investment decision ties up future
technology to some extent, since technological knowledge is rooted
in the physical capital object. Solow's formulation of a mathematical
model based on these ideas enabled him to develop a theory which
permitted empirical calculations to be made. In principle, the model
established a new way of aggregating capital from different periods.
Solow's empirical results naturally gave the formation of capital a
markedly higher status in explaining the increase in production per
employee.
8
A Contribuição Empírica de Solow
The most important aspect of Solow's article was not so
much the empirical outcome, but the method of analysing
"vintage capital". Nowadays, the vintage capital concept
has many other applications and is no longer solely
employed in analyses of the factors underlying economic
growth. For example, many numerical general equilibrium
models utilize Solow's approach in the study of the
sensitivity of economies to certain types of disruptive
effects. The vintage approach has proved invaluable, both
from the theoretical point of view and in applications such
as the analysis of the development of industrial structures.
9
Um esquema contábil do
crescimento econômico
A pergunta que os exercícios de growth
accounting buscam responder é a
seguinte:
Qual a contribuição de cada fator de
produção (capital e trabalho), bem como
do progresso tecnológico, ao crescimento
econômico?
10
Growth Accounting
Growth accounting é também conhecida
como sendo a análise das “ fontes do
crescimento econômico”.
Este é o processo pelo qual são
contabilizadas [medidas] as contribuições
de cada fator de produção ao crescimento
econômico.
11
Agregação e Parábola
[cf. Jones (1975,p.29-30)]
Aqui é assumido que a economia produz apenas
um único bem – milho - que é produzido na
economia. Neste caso, as dificuldades de
número-índice são totalmente removidas do
problema.
Isto nos permite definir o produto da economia
de modo não ambíguo em termos de toneladas
de milho. O milho é consumido ou investido, e
nesse caso ele se torna parte do estoque de
capital de milho.
12
A função de produção agregada
Seja a função de produção agregada:
Y = A(t) F (K, N)
onde:
A(t) – representa as mudanças tecnológicas e que
são uma função do tempo. Conforme o tempo
passa, o termo A(t) aumenta, o que significa que
mais produto será gerado para uma dada
quantidade de insumos usados na produção.
13
A função de produção agregada
O termo A (t) entre de forma multiplicativa na
função de produção. Esta especificação implica
que as mudanças tecnológicas não afetam a
produtividade marginal relativa dos dois fatores
de produção [capital (K) e trabalho (N)], dada
pela parte F(K,N).
A mudança tecnológica resulta em aumentos
iguais na produtividade de ambos os fatores. Esta
mudança tecnológica é denominada de mudança
tecnológica neutra [cf. Hicks]
14
A função de produção agregada
A quantidade de produto produzida por qualquer
economia é limitada pela oferta disponível de
capital e trabalho.
Isto pode ser resumido por uma função de
produção agregada: Y = F(K,N), que afirma que
o produto agregado (Y) é uma função do
montante de capital (K) e trabalho (N), na
economia.
15
A função de produção agregada
e suas propriedades
(i) Y é um conjunto não vazio, Y  ; este pressuposto
implica que as firmas nesta economia tem algo que
planejam fazer, pois caso contrário, não haveria
necessidade de estudarmos o comportamento da firma e
nem do crescimento da economia;
(ii) Ela deve ser definida e não negativa para qualquer
vetor Y de uma dimensão apropriada, tendo todos os
componentes não negativos, isto é F(Y)  0 para todo o
Y  0;
16
A função de produção agregada
e suas propriedades
(iii) As derivadas segundas com respeito a todos os
argumentos deve ser contínua;
(iv) No free lunch, isto é: F(0) = 0, ou seja, sem
insumos não há produto; ou em outras palavras, não é
possível produzirmos algo de nada;
17
A função de produção agregada
e suas propriedades
(v) os produtos marginais do capital e trabalho são
todos não negativos; isto é: Y/ K > 0 e Y/ N > 0.
Isto significa que um aumento tanto em capital quanto
em mão-de-obra vai sempre aumentar o fluxo de
produto na economia.
18
A função de produção agregada
e suas propriedades
Contudo, ainda que cada incremento de insumo gera
um incremento no fluxo de produto, sucessivos
incrementos produzem incrementos decrescentes no
fluxo de produto, ou seja:
2
2
Y/ K > 0
e
2
2
Y/ N > 0.
19
A função de produção agregada
e suas propriedades
(vi) a função de produção neoclássica é homogênea de
grau um; isto é há retornos constantes de escala; esta
hipótese irá permitir uma simplificação substancial da
função de produção agregada, já que pode ser escrita
na forma por trabalhador, ou seja, na forma intensiva.
20
A função de produção agregada
e suas propriedades
Diz-se que uma função de produção é linearmente
homogênea, isto é, opera sujeita a retornos constantes
de escala, se a multiplicação de ambos os insumos, K e
N, por um número positivo implica que o produto gerado
seja multiplicado pelo mesmo número, isto é:
F(K, N) =  F(K, N) - Y para todo o > 0.
Assim, se a função de produção agregada for
homogênea, a multiplicação de ambos os insumos por 2,
temos que o produto dobra.
21
A função de produção agregada
e suas propriedades
(vii) Quase concavidade estrita: para qualquer Y  0,
Y’  0, 0 <  < 1 e para qualquer c > 0, se F(Y)  c
e F(Y’) = c, então, F[Y + (1- ) Y’]  c, com
igualdade se e somente se Y’ = Y.
22
A função de produção agregada
Utilizando a regra da cadeia e da derivada
total da função de produção temos que:
dY/dt = d[[A(t) F(K,N)]/dt
=
A(t) [F (K,N)/ K] (dk/dt) +
A(t) [F (K,N)/ N] (dN/dt) +
[F (K,N)/ K] (dA(t)/dt)
23
A função de produção agregada
Dividindo ambos os lados da expressão acima
por
Y= A(t) f(K,N), obtemos:
(dY/dt)/Y = [A(t)/A(t) F(•)] [[F (K,N)/ K] (dk/dt)]
+ [A(t)/A(t) F(•) [F (K,N)/ N] (dN/dt)
+[ F(•)/ A(t) F(•)] [(dA(t)/dt)]
24
A função de produção agregada
(dY/dt)/Y = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) (dK/dt)
+ N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N) (dN/dt)
+ [1/ A(t)][(dA(t)/dt)]
Definindo:
wk = K/ F(•) [F (K,N)/ K] (1/K) e
wn = N/ F(•) [F (K,N)/ N](1/N)
25
A função de produção agregada
Temos que:
•
•
•
•
Y/Y = A/A + wk (K/K) + wn (N/N)
A taxa de crescimento do produto é função da
taxa de mudança do estoque de capital e do
número de trabalhadores empregados,
ponderados pelas respectivas contribuições do
capital e trabalho na produção.
26
A função de produção agregada
Assim, vemos que a taxa de crescimento do
produto pode ser considerada dependente da
taxa de crescimento do progresso tecnológico
ao longo do tempo e das taxas em que a oferta
de insumos está crescendo.
27
Growth Accounting
Iniciando com uma função de produção do tipo
Cobb-Douglas:
Y =A (t) Kα . N1-α
Onde Y é o produto agregado, K é o capital, N
é o fator trabalho e A (t) é uma medida do
progresso tecnológico e α é um parâmetro.
28
Growth Accounting
A função de produção Cobb-Douglas é uma
função de produção padrão que exibe as
seguintes propriedades:
(i)Há uma considerável posibilidade de
substituição entre os dois insumos, K e N.
(ii) A elasticidade de substituição entre os
insumos é constante.
(iii) aqui assumimos que há retornos
constantes de escala, o que implica que:
 + (1 - ) = 1.
29
Growth Accounting
A primeira derivada parcial de Y com respeito a K,
mede um incremento no produto devido ao
emprego de uma unidade extra do capital. Isto
nada mais é do que a produtividade marginal do
capital [PMgK]:
ΔY/Δ K = ( Kα-1 ) . A L
=  . (Y/K)
1- α
=  . A Kα . L1- α / K =
Por outro lado, PMgK=custo real do capital (taxa
real de juros) em equilíbrio temos que:
 (Y/K)= r/ p.
30
Growth Accounting
A derivada parcial de Y com respeito a mão-deobra nos dá a produtividade marginal da mão-deobra:
ΔY/ΔL = (1- ) L1- α -1 . A Kα =
(1- ) . A Kα . L1- α / L = (1 - ) . (Y/L).
Em equilíbrio temos que: (1-  ) Y/L = w/p.
31
Growth Accounting
O equilíbrio competitivo assegura que os fatores
de produção recebam sua remuneração justa
[fair], isto é, as recompensas do capital e
trabalho são iguais as suas contribuições na
produção; ou seja, os fatores de produção são
pagos de acordo com seus produtos marginais.
32
Growth Accounting
A participação da mão-de-obra na renda total é
dada por: [(PMgN).N/Y] ou [(W/P). (N /Y)].
Substituindo o valor de (W/P) na equação
acima, a participação do trabalho no produto é
igual a: (1- α).
33
Growth Accounting
Este é um resultado interessante. Ele affirma que
os parametros de uma função de prdução CobbDouglas, (1- ) e (), nada mais são do que as
participações do trabalho e capital no produto
[PIB].
Empiricamente, a participação da mão-de-obra na
renda, nos EUA, situa-se em torno de 2/3. Isto
significa que: (1- ) = 2/3, e portanto, a
participação do capital (K) no PIB é igual a
α = 1/3.
34
Growth Accounting
Seja então a função de produção do tipo CobbDouglas

Y = AK .
(1- )
N
Em termos logaritmicos, ela pode ser escrita
como:
lnY = ln A +  ln K + (1- ) ln N.
35
Growth Accounting
Derivando totalmente a equação, temos que:






Y/Y = (A / A) +  (K/K) + (1- ) (N/N)


Y/Y = (A / A) +  (K/K) + (1- ) (N/N)
36
Growth Accounting
Subtraindo N/N de ambos os lados obtemos:






(Y/Y ) - (N/N) = (A / A) +  (K/K) + (1- ) (N/N) - (N/N)







[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) +  [(K/K) -  (N/N)] + (N/N) - (N/N)
Taxa de crescimento
per capita
37
Growth Accounting





[(Y/Y ) - (N/N) ]= (A / A) +  [ (K/K) - (N/N)]
Taxa de variação da
Taxa de crescimento per
capita
relação capital/trabalho
Taxa de crescimento
tecnológico
38
Growth Accounting e
o Resíduo de Solow
Taxa de
Crescimento
Tecnológico
Taxa observada de crescimento
na produção
+
Taxa de variação no capital por
trabalhador vezes []
39
As Fontes do Crescimento
Econômico
Por esta formulação, nós encontramos a
contribuição de cada fator ao crescimento
corrente do produto, bem como a
contribuição que não é devida a nenhum
destes fatores.
40
O Resíduo de Solow
A parte da taxa de crescimento econômico
que não pode ser explicada por nenhum dos
fatores de produção é chamado de Resíduo de
Solow ou de crecimento da produtividade
total do fatores [growth of total factor
productivity (TFP)].
41
O Resíduo de Solow
O resíduo de Solow é a parte do crescimento
econômico decorrente de um progresso
tecnológico neutro.
Ele equivale a uma medida de nossa ignorância,
visto que é calculado como a parte do
crescimento que não é explicável pelos fatores de
produção observáveis, capital e trabalho.
42
Passos da Growth Accounting:
Um Exemplo Numérico
43
Equação de Growth Accounting para uma
função de Produção do Tipo Cobb-Douglas
A diferencial total do produto é dada por:
dY  (dA) K  N1  A( K  1dK ) N1  AK  (1   ) N  dN
Então, a taxa de crescimento do produto pode
ser decomposta como:
dY
(dA) K  N 1
A( K  1dK ) N 1
AK  (1   ) N  dN




1

1
Y
AK N
AK N
AK  N 1
dY
dA
dK
dN


 (1   )
Y
A
K
N
44
Fontes do Crescimento Econômico nos EUA
(Edward Denison) (por cento por ano)
45
Decomposição de Solow, 1913-1987
(taxas de crescimento anual médias)
Fonte: Burda & Wyplosz (2005, p. 49)
País
PIB
Resíduo
2,8
Contribuição
dos Insumos
1,4
Alemanha
França
2,6
1,1
1,5
Holanda
3,0
2,0
1,0
RU
1,9
1,2
0,7
Japão
4,7
3,0
1,7
EUA
3,0
2,0
1,0
1,4
46
Growth accounting: América Latina (1940-1980),
Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)
País
Taxa de cresc.
PIB
Contribuição
do capital
Contribuição
do trabalho
Resíduo de
Solow
Argentina
(=0,54)
0,0360
0,0155
(43,1%)
0,0095
(26,4%)
0,0110
(30,5%)
Brasil
(=0,45)
0,0640
0,0325
(50,%)
0,0130
(20,3%)
0,0185
(28,9%)
Chile
(=0,52)
0,0380
0,0130
(34,25)
0,0100
(26,3%)
0,0150
(39,5%)
Colômbia
(=0,63)
0,0480
0,0205
(42,7%)
0,0155
(32,3)
0,0120
(25,0%)
México
(=0,69)
0,0630
0,0255
(40,5%)
0,0145
(23,0%)
0,0230
(36,5%)
Venezuela
(=0,55)
0,0520
0,0295
(56,7%)
0,0175
(33,7%)
0,0050
(9,6%)
47
Growth accounting: países asiáticos (1966-1990),
Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)
País
Taxa de
cresc.
PIB
Contribuição
do capital
Contribuição
do trabalho
Resíduo de
Solow
Hong Kong
(=0,37)
0,0730
0,0309
(42,3%)
0,0200
(27,6%)
0,0220
(30,1%)
Cingapura
(=0,53)
0,0850
0,0620
(73,1%)
0,0268
(31,6%)
-0,0040
(-4,7%)
Coréia do Sul
(=0,32)
0,1032
0,0477
(46,2%)
0,0435
(42,2%)
0,0120
(11,6%)
Taiwan
(=0,29)
0,0910
0,0368
(40,5%)
0,0362
(39,8%)
0,0180
(19,8%)
48
Growth accounting: Paises do G7 (1960-1990),
Fonte: Barro e Sala-i-Martin (1995, p.381)
País
Taxa de cresc.
PIB
Contribuição
do capital
Contribuição
do trabalho
Resíduo de
Solow
EUA
(=0, 41)
0,310
0,0140
(41,5%)
0,0129
(41,5%)
0,0041
(13,2%)
UK
(=0,39)
0,0249
0,0131
(52,3%)
-0,0010
(-4,2%)
0,0130
(51,9%)
Japão
(=0,42)
0,0681
0,387
(56,9%)
0,0097
(14,3%)
0,0196
(28,8%)
Itália
(=0,38)
0,0410
0,0202
(49,3%)
0,0011
(2,8%)
0,0197
(47,9%)
Alemanha
(=0, 40)
0,0320
0,0188
(58,7%)
0,0025
(-8,1%)
0,0158
(49,4%)
Canadá
(=0, 45)
0,0410
0,0229
(55,0%)
0,0135
(32,8%)
0,0046
(11,3%)
49
Growth accounting: EUA, 1913-1992
Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)
Item
1913-1950
1950-1973
1973-1992
Cresc. PIB
2,85
3,92
2,39
Total de horas
trabalhadas
0,35
1,15
1,27
Produtividade do trabalho
2,48
2,74
1,11
Total do estoque de
capital não residencial
2,01
3,27
3,13
50
Growth accounting: EUA, 1913-1992
Fonte: Maddison (1995, p. 41-42)
Item
1913-1950
1950-1973
1973-1992
Produtividade do
capital
0,81
0,63
-0,72
Produtividade total
dos fatores
1,50
1,72
0,18
Efeito do comércio
externo
0,03
0,11
0,05
Efeitos estruturais
0,29
0,10
-0,17
Efeito escala
0,09
0,12
0,07
Resíduo não
explicado
1,09
1,39
0,23
51
Crescimento total dos fatores –
uma comparação (% a.a) [Young (1995)]
País
Período
Taxa de Crescimento
Canadá
1960-89
0,5
França
1960-89
1,5
Alemanha
1960-89
1,6
Itália
1960-89
2,0
Japão
1960-89
2,0
Reino Unido
1960-89
1,3
EUA
1960-89
0,4
52
Crescimento total dos fatores –
uma comparação (% a.a) [Young (1995)]
País
Período
Taxa de Crescimento
Brasil
1950-1985
1,6
Chile
1940-1985
0,8
México
1940-1985
1,2
Brasil(M)
1960-1980
1,0
Chile (M)
1960-1980
0,7
México (M)
1940-1970
1,3
Venezuela (M)
1950-1970
2,6
53
As limitações da abordagem
da growth accounting
Os exercícios de growth accounting podem ser capazes
de proporcionar um tipo de decomposição mecânica do
crescimento do produto em taxas de crescimento dos
vários insumos e no fator de produtividade total
[tecnologia].
54
As limitações da abordagem
da growth accounting
Este tipo de exercício é útil e pode estimular o
desenvolvimento de úteis teorias de crescimento
econômico.
Contudo, a growth accounting não constitui uma
teoria de crescimento porque ela não busca explicar
como as mudanças nos insumos e as melhorias na
tecnologia se relacionam a elementos tais como as
preferências, tecnologia e políticas governamentais que
podem ser revistas como os fundamentos das teorias
do crescimento econômico.
55
Bibliografia Recomendada
Sachs & Larrain (1995, cap. 18.2)
Barro & Sala-i-Martin (1995, cap. 10.4)
Charles Jones (2000, cap. 2.3)
Hywel G. Jones (1975)
Robert Solow (1957)
Young (1995) – The Tyrany of Numbers
Bacha & Bonelli (2004) http://www.ipea.gov.br/pub/td/2004/td_1018.pdf
http://www.oswaldocruz.br/download/artigos/social9.pdf
56
FIM
Prof. Giácomo Balbinotto Neto
UFRGS/FCE