GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS
• distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo
possibilidade
do espaço não ser
“euclidiano”
Geometria euclidiana
soma dos ângulos
= 180o
C=2R
ESPAÇOS UNIFORMES
Espaço euclidiano  uniforme = homogêneo + isotrópico
(espaço plano)
Princípio cosmológico
geometria congruente  formas espaciais invariantes a
rotações e translações
++=s
Existem somente 2 tipos de espaços não-euclidianos que são uniformes:
•espaço esférico (geometria de Riemann)
•espaço hiperbólico (geometria de Lobachevski)
espaços de comprimento intrínseco R
Se R >> região  geometria local euclidiana
Se R for muito grande em comparação com regiões conhecidas em
escalas cósmicas  dificuldade em distinguir entre os três tipos de espaços
nossa experiência é com fenômenos em pequena escala
Universo localmente euclidiano
Postulados:
1. Em um espaço plano  somente uma paralela a uma
dada linha reta que passa num dado ponto.
2. Em um espaço esférico  paralela a uma dada linha
reta que passa num dado ponto
3. Em um espaço hiperbólico  várias paralelas a uma
dada linha reta que passam num dado ponto
Espaço esférico:
Soma dos ângulos > 180o
C > 2r
Espaço hiperbólico:
Soma dos ângulos < 180o
C < 2r
Exemplo : Terra
arco de círculo máximo
(geodésica)
Quantidade que se quer determinar: curvatura do espaço K
relacionada com a escala intrínseca R
do espaço
CURVATURA DE UMA CURVA PLANA
Definição: curvatura média entre
M e M’
w
K (M,M')

MM'
w
= ângulo formado pelas duas tangentes à curva
nos pontos M e M’

MM'
= distância entre os dois pontos medida sob a curva
Curvatura no ponto M:
K(M) 
lim
MM'
w

MM'
y=f(x)
w=-
s
Y ''
K ( x) 
(1  Y '2 )3 / 2
y+y
y


x
x+x
y' 
dy
dx
Aplicação de
Y ''
K ( x) 
(1  Y '2 )3 / 2
• reta: y=ax+b 
K (x) = 0
• círculo: x2+y2 = R2 
K (x) = 1 / R
• parábola: y=ax2  K (x)=2a/(1+4a2x2)3/2
origem K (0)=2a (dependente do sistema de coordenadas)
CURVATURA DE UMA SUPERFÍCIE
• Superfície representada por uma função Z = f (x,y)
• Escolhendo a orientação de x e y tal que F(x,y) ~ parabolóide:
z = F(x,y) ~ ax2+bx2
DEFINIÇÃO: Ҝ=k1K2
onde k1=2a e k2=2b
x
P
y
Na vizinhança de P:
F(x,y) ~ 1/2k1x2+1/2k2y2
Aplicação:
ESFERA
x2+y2+(z - R)2 = R2
Z
z ~ (x2+y2)/2R
R
P
X
Y
K1= 1/R = K2
Ҝ= 1/R2
Neste caso a curvatura independe das coordenadas  esfera de raio R
é uma superfície de curvatura constante e positiva
HIPERBOLÓIDE
z = ax2 + by2
com
P
aeb>0
Ҝ= -4ab
ATENÇÃO!!! Somente a região central representa um
espaço hiperbólico uniforme
fora da região central o espaço não é isotrópico nem homogêneo
Ҝ= -1/R2
Medidas intrínsecas de curvatura de uma superfície
Triângulos desenhados sobre a superfície
Teorema de gauss:
       Kds  
sobre a área do triângulo
• K=0  ++ = 
• K > 0  ++ > 
• K < 0  ++ < 
Hilbert: não se pode construir num espaço plano uma
superfície bidimensional que represente exatamente a
geometria de um espaço UNIFORME hiperbólico
Ҝ constante e < 0