Campos de direções e singularidades em mergulhos de
superfı́cies de codimensão maior que um
R. A Gonçalves, J. M. Alfaro, M. del C. Romero Fuster,
A. Montesinos.
Os autovetores do operador de forma determinado pelo jacobiano
da aplicação normal de Gauss de uma superfı́cie S, mergulhada em R3 , definem as direções principais de curvatura sobre S. Os autovalores associados,
em cada ponto p de S, são conhecidos como curvaturas principais de S
no ponto p. Os campos de direções correspondentes juntamente com suas
linhas integrais (linhas de curvaturas) e seus pontos crı́ticos (umbı́licos) determinam a configuração principal de S. Na ausência de pontos crı́ticos, as
linhas de curvatura definem dois folheações unidimensionais, mutuamente
ortogonais.
O estudo das configurações principais de superfı́cies imersas em R3
se remonta desde os trabalhos de Monge e Dupyn, nos quais estão apresentados os primeiros exemplos não triviais de estruturas de configuração
em torno de pontos umbı́licos. Posteriormente, surgiu o trabalho de Cayley. Pouco depois, Darboux [Dar] publicou resultados que permitem uma
descrição completa das possı́veis configurações locais em torno de pontos
umbı́licos genéricos, atualmente conhecidos como Darbouxianos. Vários trabalhos concernentes ao assunto em pauta têm sido publicados e revelam
um crescimento, considerável, pelo interesse no desenvolvimento das teorias
existentes (ver, por exemplo, [B-T],[GS1]). Isto se deve, em parte, ao surgimento de novas técnicas, tanto na área de Sistemas Dinâmicos, quanto na
de Geometria Genérica. Tais técnicas permitem abordagens de configurações
principais e suas implicações geométricas com um maior nı́vel de profundidade.
Por outro lado, a conjectura de Caratheodory , a qual afirma que
há pelo menos dois pontos umbı́licos em qualquer superfı́cie difeomorfa à 2esfera, proporcionou importante estı́mulo ao estudo de questões correlatas.
A “dinâmica” das superfı́cies imersas em R4 , é dizer, o tema das
equações diferenciales binarias naturais foi abordado, pela primeira vez, por
A. Ramirez-Galarza e F. Sánches-Bringas em [RG-SB]. As configurações assintóticas genéricas destas superfı́cies foram estudadas com detalhe por R.
Garcia, D. Mochida, M.C. Romero-Fuster e M.A.S. Ruas em [GMRR]. A
dinâmica associada à geometria de superfı́cies mergulhadas em R4 apresenta também outros aspectos, como por exemplo os campos definidos pelos
eixos principais das elipses de curvatura e suas correspondentes curvas integrais (ver [GGGT], [GGST], e [Garcia-Soto]), ou campos de curvatura média
associados aos pontos determinados pelo vetor de curvatura média sobre a
elipse de curvatura em cada ponto (ver, por exemplo, [Mel]).
A generalização desde o ponto de vista do estudo de superfı́cies
mergulhadas em espaços euclidianos n-dimensionais foi iniciado nos artigos
[RF-SB]e [MRS].
Neste trabalho apresentamos alguns resultados sobre dois tipos de
configurações que passaremos a descrever brevemente.
No que diz respeito às superfı́cies totalmente semiumbı́licas em R4
(superfı́cie na qual em cada um de seus pontos a elipse de curvatura se degenera num segmento) descrevemos exemplos conhecidos de superficies total-
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mente semiumbı́licas, i.e., superfı́cies hiperesféricas e superfı́cie produto de
duas curvas simples, fechadas e regulares mergulhadas em planos ortogonais.
Ademais, descrevemos outro método para produzir superfı́cies totalmente semiumbı́licas em R4 (respondendo assim um problema proposto na tese de
doutorado de Simone Moraes). Para ele estudiamos a natureza do conjunto dos pontos singulares das equações diferenciais binárias para as linhas
de curvatura direcional média, vendo que em alguns casos esses pontos singulares podem apresentar-se em forma isolada e em outros, em forma de
conjuntos de curvas.
Em seguida, estudamos a configuração das equações diferenciais
binárias para as linhas de curvatura direcional média nas proximidades de
pontos isolados de inflexão, que constituem um dos tipos de singularidade
dessas equações.
Outro tipo de singularidade vem dado pelos pontos umbı́licos não
minimais. Mostramos mediante uma técnica própria que nos pontos onde a
elipse se degenera em um ponto, os pontos singulares são provavelmente na
sua maioria de tipo de Darboux. Esto requer um esclacrecimento: impusemos que o desenvolvimento em serie de Taylos de uma superficie ao redor de
um seu puonto p cumpra que a elipse de curvatura se degenere num punto
en p e que las derivadas primeiras dos comprimentos de seus eixos maiores se anulem también en p. Entonces se pode fixar livremente alguns dos
coeficientes do desenvolvimento de forma que os coeficientes a,b,c,d de la
ecuación binaria estudada, em sua aproximação de primeira ordem
(au + bv + O(2))(du2 − dv 2 ) + 2(cu + dv + O(2))dudv = 0
assumam quaisquer valores predeterminados.
Com respeito às superficies mergulhadas em Rn , com n > 4, definimos as direções de curvatura media relativa, destacamos que os seus pontos
singulares ocorrem nos pontos semiumbı́licos (elipse de curvatura se degenera num segmento) e nos pontos pseudoumbı́licos (o vetor curvatura média
é ortogonal ao plano da elipse de curvatura). Mediante uma carta isotérmica, exibimos uma forma geral para uma aproximação de primeira ordem da
equação diferencial binária das linhas de curvatura média relativa e concluimos que os pontos semiumbı́licos e dos mergulhos de superficies em R5 não
são de tipo Darbouxiano, e fornecemos exemplos de este fenómeno.
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