Poliedros
Eles não rolam!
Corpos
Redondos
Eles rolam!
Outras formas
espaciais
 Além
dos poliedros, esses também são
formas espaciais .
 Com certeza os mais conhecidos fazem
parte do seu cotidiano. Veja:
 São
sólidos limitados por polígonos planos
tais que cada um dos lados desses polígonos
pertença a dois e somente dois deles. Dois
desses polígonos nunca são coplanares.
Convexos
Prismas
-Base triangular
- Paralelepípedo
-Base pentagonal
-Base hexagonal
-- de base ...
Pirâmides
-Base triangular
-Base quadrada
-Base pentagonal
Base hexagonal
- De base ...
Poliedros
Nãoconvexos
Outros
-Octaedro
-Dodecaedro
-Icosaedro
-outros
 Alguns
elementos dos poliedros recebem
nomes especiais:
 Face de um poliedro é cada um dos polígonos
que o delimitam.
 Aresta de um poliedro é cada um dos lados
das faces.
 Vértice de um poliedro é cada um dos
vértices das faces.
face
vértice
aresta

Um poliedro é convexo quando o segmento de reta
que ligar dois pontos distintos quaisquer desse
poliedro estiver contido no poliedro. Caso
contrário, é chamado de poliedro não-convexo.
Prédio em forma de
poliedro convexo
Escultura de metal
 Mais
exemplos de poliedros não-convexo
Número de
vértices (V)
Paralelepípedo
Prisma de base
triangular
Prisma de base
quadrada
Prisma de base
pentagonal
Prisma de base
hexagonal
Pirâmide triangular
Pirâmide de base
quadrada
Pirâmide pentagonal
Pirâmide hexagonal
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
Número de
faces (F)
Número de
arestas (A)

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces
são polígonos regulares, todos com o mesmo número de
lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de
arestas.
 Na



figura abaixo, temos:
Dois planos paralelos α e β
Um polígono P contido em α
Uma reta r que intercepta α e β, mas não
intercepta P
A
figura geométrica formada pela reunião
pela reunião de todos os segmentos de reta
paralelos à reta r, com uma extremidade
num ponto do polígono P e a outra no plano
β, denomina-se prisma.
 As duas faces opostas congruentes são
chamadas de bases e as outras em forma de
paralelogramo, de faces laterais.
 Num
prisma, convém destacar os seguintes
elementos:
 Um
prisma pode ser classificado pelo tipo
de polígonos que constitui suas bases. Ele
pode ser um prisma
 Triangular, se suas bases são triângulos;
 Quadrangular, se suas bases são
quadriláteros;
 Pentagonal, se suas bases são
pentágonos;
 Hexagonal, se suas bases são hexágonos;

Conforme a inclinação das arestas laterais em relação
aos planos das bases, os prismas podem ser retos ou
oblíquos.

Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos.
Nos prismas oblíquos, as faces laterais são
paralelogramos.

 Todo
prisma reto, cujas as bases são polígonos
regulares é chamado prisma regular
 As bases são
 No prisma
hexágonos
hexagonal regular
regulares;
abaixo , temos
 As faces laterais
que:
são retângulos
congruentes.

A intersecção de um prisma com um plano que
intercepta todas as arestas laterais denomina-se
secção do prisma.
A secção determinada num prisma por um plano
paralelo às bases é denominada de secção
transversal.
 Observe que a secção transversal é um polígono
congruente aos polígonos das bases.

 As
principais dimensões de um
paralelepípedo retângulo são comprimento ,
largura e altura .
 Quando
as três dimensões são iguais, o
paralelepípedo retângulo é denominado
cubo.
 Denomina-se
paralelepípedo o prisma cujas
bases são paralelogramos.

Um prisma reto cujas bases são retângulos é
chamado paralelepípedo retângulo ou bloco
retangular.
 Na
figura abaixo, indicamos por d a medida
da diagonal do paralelepípedo, por d1 a
medida da diagonal da base e por a,b e c as
medidas das arestas.
 Aplicando
o teorema de Pitágoras no
triângulo ABD:
 d1 = a² + b²
 Aplicando o teorema novamente, agora no
triângulo BDH:
 d² = d1² + c²
 Portanto:
d² = a² + b² + c²
No caso particular de um cubo, de aresta a,
temos:

A figura abaixo, à direita, representa a planificação de
um prisma triangular regular.

Vamos definir a área de algumas partes da superfície
desse prisma.
 Área da base (Sb): é a área de um dos polígonos das
bases.
 Área lateral (Sl): é a soma das áreas de todas as faces
laterais.
 Área total (St): é a soma da área lateral e das áreas das
bases.
 Observe
que todos esses sólidos tem uma das
faces como sendo uma região poligonal
qualquer e as demais faces são triangulares
com um vértice comum. A esses tipos de
poliedros chamamos de pirâmides.
 Numa
pirâmide a região poligonal é chamada
de base e as outras faces, todas triangulares,
são chamadas de faces laterais.
 De
acordo com o polígono da base, uma
pirâmide pode ser:





Triangular – a base é um triângulo;
Quadrangular – a base é um quadrado;
Pentagonal – a base é um pentágono;
Hexagonal – a base é um hexágono;
e assim por diante.
 Vejamos
alguns exemplos de pirâmides:
Em relação ao segmento que une o vértice da
pirâmide ao centro da base, as pirâmides podem
ser:
 Pirâmide reta – quando esse segmento for
perpendicular ao plano da base.
 Pirâmide oblíqua – quando o segmento citado não
for perpendicular ao plano da base.


Uma pirâmide reta que tem como base um polígono
regular é chamada de pirâmide regular
 Em




toda pirâmide regular:
As arestas laterais são congruentes;
As faces laterais são triângulos isósceles
congruentes;
O apótema do polígono regular da base é
chamado de apótema da base;
A altura de uma face lateral relativa à aresta
da base é chamada de apótema da pirâmide.
 Indicamos
as medidas:

Da aresta da base por a;
Da altura da pirâmide por h;
Do apótema da base por m;
Da aresta lateral por l;
Do apótema da pirâmide por g;
Do raio do círculo que circunscreve a base por r.

COLOCAR FIGURA.





 Utilizando
o teorema de Pitágoras nos
triângulos, encontramos as relações métricas
a seguir:

Do triângulo retângulo VOM, temos:


Do triângulo VOA, temos:


h² + m² = g²
h² + r² = l²
Do triângulo retângulo VMA, temos:

g² + (a/2)² = l²
 Área
da base (sb): é a área do polígono da
base.
 Área lateral (sl): é a soma das áreas das faces
laterais.
 Área total (st): é a soma da área lateral com
a área da base.




Vamos, através de uma experiência, encontrar o volume de
uma pirâmide.
Usando uma folha de cartolina, construímos um prisma
reto, sem uma das tampas, e uma pirâmide de mesma base
e mesma altura do prisma sem o fundo.
Enchemos a pirâmide de areia e despejamos dentro do
prisma, repetindo essa operação ate encher o prisma de
areia
Agora é repetir a experiência usando outras pirâmides e
outros prismas de mesma base e de mesma altura.
 Quais
são as diferenças entre poliedros e
corpos redondos?
 Quais as diferenças existentes entre:
 Um prisma e uma pirâmide?
 Um prisma e um cilindro?
 Uma pirâmide e um cone?
 Um cone e um cilindro?

Um fabricante de embalagens de papelão quer construir
uma caixa em forma de prisma hexagonal regular.
Sabendo que a altura da caixa é de 20cm e que o lado
do polígono da base mede 16 cm, calcule a área de
papelão necessária para se construir essa embalagem.
Admitindo que se utilize 25% a mais de material do que
o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e
para que seja possível fazer colagens necessárias à
confecção da caixa. (Use √3 = 1,73.)